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1、-专题研究-数列求通项(2017学生版)-第 7 页前言：数列问题是高考的重点，求数列通项公式又是解决数列问题的第一道门槛，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列问题的瓶颈.一方面需要我们掌握一定应试技巧，另外也可以掌握一些规律性的东西，从而谋定而后动，决胜千里之外。研究一个例题例题 设数列的前项和为 已知.（1）设，证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式.分析：题目条件涉及数列的前项和与，可用公式消，由， 则当时，有 得： .此时要善于借助命题者搭好的桥梁，构造结构求解.（郑老师将它称为试题的暗示）下一步往哪里去？那就应该由桥梁型条件，为了构造中的结
2、构，由构造，等式两边同减 有 由及，有是，公比为的等比数列（2）由（1）可得，没有了暗示，下面怎么办？认真学习我们的专题吧。你将学会几个绝招！ 知识约定：定义1：若数列满足，则称为数列的特征函数.定义2:方程=x称为函数的不动点方程，其根称为函数的不动点.专题研究-数列求通项学习目的：掌握求数列通项公式的规律性结论和技巧（一）定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型（是等差或等比数列）的题目. 例1. 等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，. 求数列的通项公式.（二）公式法若已知数列的前项和与或与的关系，求数列的通项可用公式求解.例2. （
3、1）数列的前n项的和满足，求数列的通项公式.（2）数列的前n项的和满足：求数列的通项公式点评：利用公式求解时，要注意对n进行分类讨论，但若能合并时一定要合并.（三）由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.类型1：递推公式为解题思路：对形如的递推式利用叠加法，将；各式相加，得到：例3. 已知数列满足，求.练习1：（08四川文）设数列中，则通项 _.练习2数列中，（），求的通项公式类型2：递推公式为解题思路：把原递推公式转化为，利用累乘法求解.例4. 已知数列满足，求.类型3：递推公式为（其
4、中p，q均为常数，）.解题理论1：利用待定系数的思想将递推公式转化构造为等比数列，对进行代数变换：假设存在实数，使得，再将转化为，与比较系数得，从而有，知数列是公比为p的等比数列.例5. 已知数列中，求.解题理论2、对而言，数列的特征函数为=，函数的不动点满足=，不动点为则，知数列是公比为p的等比数列已知数列中，a1=2，求的通项。类型3推广：型 研究问题的基本思想是通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。例6 设数列，求通项公式。 解：设，则， 所以， 即 。 设 这时，所以。 由于bn是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得
5、：。 使用待定系数法运算比较大，这里提供一个小技巧，我们先照顾一次项，先令则的边同减有整理，呵呵，化成类型3了。类型4：递推公式为，其中p，q， r均为常数）解题理论（1） 当 pq时，一般利用待定系数配项等比法构造等比数列，令，与已知递推式比较，得，即，从 而转化为是公式为p的等比数列；（2）当p=q时， ，将递推式两边同时除以，得，从而转化为是公差为 的等差数列.例7. 已知数列中，求.类型5：递推公式为（其中p，q均为常数）.解题理论：对于形如的二阶递推式，方程，叫做数列的特征方程。可先利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造两数列等比和，分别解出通项与，再将、看成未知数，从而解
6、出的表达式；若此方程有两相等的实根，则先解出，再利用“待定系数法”可解出的表达式例7. （2005年广东卷改编）已知数列满足，（），求的值。练习1：已知数列中，求.提示：.类型6：分式递推式解题理论： 对于形如的递推式求解通项，可利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造数列等比，若此方程有两相等的实根，则可构造等差数列，从而解得的表达式。已知数列中，n2时，求通项公式.练习1：(2006.重庆.文.22)数列求数列的通项公式. 练习2、已知数列中，求通项公式解答后归纳：形如:递推式可以取倒数法化归为型。变式（2006年江西卷）已知数列满足：，且（），求数列的通项公式。分析：两边取倒数得
7、 ，化简可得，又，所以数列为公比为的等比数列，则，因此有。形如的递推式两边取常用对数得到：，令，则，求出之后计算.例7： 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.专题练习1、若数列的前项和为，则这个数列（ ）A是等差数列，且 B不是等差数列，但 C是等差数列，且 D不是等差数列，但 2、数列中，则（ ）A B C D 3、在数列中，则 ABCD4、在等比数列中，若，则 ABC或D或5、在等差数列中，公差，若成等比数列，则 ABCD 7、数列中，则 8、若数列满足，若，则的值为_。9在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.