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1、-与球有关的切、接问题(有答案)22545-第 9 页For personal use only in study and research; not for commercial use与球有关的切、接问题1球的表面积公式：S4R2；球的体积公式VR32与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，COOSR，OEr，SE a，CEa，则有Rr a，R
2、2r2|CE|2，解得Ra，ra.(2)正方体与球：正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示设正方体的棱长为a，则|OJ|r(r为内切球半径)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|Ra.正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|Ra.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合如图，设AA1a，则Ra.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以
3、补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2(l为长方体的体对角线长)角度一：正四面体的内切球1(2015长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.角度二：直三棱柱的外接球2(2015唐山统考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A2 B1 C. D.解析：选C由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，
4、BC为截面圆的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中心设正方形BCC1B1的边长为x，RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R为球的半径)，221，即x，则ABAC1，S矩形ABB1A11.角度三：正方体的外接球3一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2R2(R为球的半径)，R，球的体积VR34.答案：4角度四：四棱锥的外接球4(2014大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面
5、上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.解析：选A如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242，故选A.类题通法“切”“接”问题的处理规律1“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作2“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离
6、等于球的半径牛刀小试1(2015云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于()A100 B. C25 D.解析：选A易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S4R2100.2(2014陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以V球13.故选D.3已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为()A3 B. C2 D2解析：选D设正六棱柱的高为h，则
7、可得()232，解得h2.4(2015山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的体积为_解析：设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OAOBOCOD，外接球的半径r，从而体积V3.5一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_解析：设等边三角形的边长为2a，则V圆锥a2aa3；又R2a2(aR)2，所以Ra，故 V球3a3，则其体积比为.高考全国课标卷真题追踪1（15课标1理）已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ C
8、）(A) (B) (C) (D)2.（13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A ) （A） （B） （C） （D） 3.（12课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为（ A ）(A) (B) (C) （D）4.（12课标文）平面截球的球面所得圆的半径为1,球心到平面的距离为,则此球的体积为 （ B ）（A） （B）4 （C）4 （D）65.（10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都
9、在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A) (B) (C) (D) 6.（10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B ) （A） （B） （C） （D） 7（07新课标文）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上,球心在上,底面,则球的体积与三棱锥体积之比是（）. . . .8.（13新课标2文）已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则以为球心,为半径的球的表面积为。9.（13新课标1文）已知是球的直径上一点,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_。10.（11新课标理）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为.11.
10、（11新课标文）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.12.（0都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,那么这个球的体积为仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et l
11、a recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文