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1、-三角形五心及其性质延伸-第 5 页三角形五心及其性质延伸1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 角平分线性质:到角两边距离相等.内心性质：到三角形三边距离相等。ABDCEcbc延伸：内角平分线定理 如图，AD为ABC中的平分线，则有证明过程如下：作BE/AC交其延长线于E,则.,=c.又BE/AC,易证ADC EDB, ,得证。ABCDEF外角平分线定理如图，AD为ABC的外角平分线，交BC 延长线于D，则有证明过程如下：作CE/AB交AD于E,则.,又CE/AB,易证ADB EDC, ,得证。三角形内角平分线长公式cbcAFBDCE如图，AD为ABC中的平分线，则有
2、证明过程如下：作BE/AC交其延长线于E,BFAE交其于F。由前文的内角平分线定理可知，ADC EDB, .又,即.而ABE为等腰三角形, BFAE,.OAFBDCE内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S，则有证明过程如下：连接OA,OB,OC. 相切，即SAOB = ，同理SAOC = ，SBOC = .又S=SAOB + SAOC + SBOC ,即S= ,2.重心:三角形三条中线交点AGFECBDH中线性质:将三角形面积等分成两部分. 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF为ABC三条中线，G为其重心，则有证明过程如下：作BH/FC交A
3、D延长线于H,易证GDC HDB，又BH/FG，F为AB中点，G也为AH中点，即，其他同证.AFBEDC延伸:三角形中线长公式如图,AD为ABC的中线,则有证明过程如下:作BE/AC交AD延长线于E,易证ADC EDB，BE/AC，。作AFEB交其延长线于F。又AB=c，BF=AB=，AF=，故EF=。3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。.OABDC垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。外心性质：到三角形三个顶点距离相等。内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= (某边除以它对角正弦的2倍)证明过程于下:连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R.又(直径所对的
4、圆周角是),AB=c, (同弧AB所对的圆周角相等),AD= ,即2R , R= .延伸:正弦定理由于R= ,同理易证,变形得到ABCD正弦定理: (每边除以它所对角的正弦为2R)延伸:余弦定理证明过程如下：作CD AB交其于D，BD= ，又，即=，其他边角也同求4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。 旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，P2ACP3P1BM2M3N1N3N2 但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。证明过程如下：如图，P1、P2、P3为ABC三个旁心。以P1为例，P1在平分线上，P1到AB、AM2距离相等，即P1到AB、AC所在直线M1N1、M2N2距离相等，同理，P1在平分线上，P1到AB、BM3距离相等，即P1到AB、BC所在直线M1N1、M3N3距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相等。ABDC补充：三角形面积公式 （底高）（某角的正弦值乘以它两边长度的积）证明过程如下：作ADBC，则，得证，其他边角同理可求。