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1、-三角恒等式证明9种基本技巧-第 4 页三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。1化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例1求证：tanx - tanx =思路分析：本题的关键是角度关系：x=x -x，可作以下证明：2化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函
2、数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设+=1，求证：tanA、tanC、tanB顺次成等比数列。思路分析：欲证tan2C = tanAtanB，将条件中的弦化切是关键。3化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4-4cos2+3=8sin4思路分析：应用降幂公式，从右证到左：4化常数 将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如1=sin2+cos2=sec2-tan2=csc2-cot2=tancot
3、=sincsc=cossec，1=tan450=sin900=cos00等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 =思路分析：将左式分子中“1”用“sin2+cos2”代替，问题便迎刃而解。5化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos2+bsin2=mcos2，asin2+bcos2=nsin2，mtan2=ntan2(n) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解
4、题带来方便。例6 已知(1+cos)(1-cos)=1-2(0，1)。求证：tan2=tan2思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。7化结构 观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。例7设A+B+C=，求证：sinA+sinB+sinC=4coscoscos思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。8化拆项 这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。例8 求cosx+cos2x+cosnx=思路分析：左边同乘以sin,去括号，积化和差可得 9.数学归纳法 与自然数有关的命题，还可以用
5、数学归纳法解决。上述例题可用数学归纳法证明。三角恒等式证明答案 ：1.右式= tanx - tanx。2. sin2C= ，sin2A= = 由已知可得=1-=， 即tan2C = tanAtanB 命题成立。3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：右边=8()2=2(1-2cos2+cos22)= 2(1-2cos2+)=cos4-4cos2+3=左边。4. 思路分析：将左式分子中“1”用“sin2+cos2”代替，问题便迎刃而解。左边=右边5. 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan2=ntan2得n=0，显然成立。当m0时，只须消去、即可。由acos2+bsin2=mcos2，as
6、in2+bcos2=nsin2得=tan2，再由mtan2=ntan2得=tan2即可得=tan2，解得tan2=1，所以sin2=cos2=。求得cos2=，sin2=，又由cos2+sin2=1不得。+=1 ，即 (a+b)(m+n)=2mn6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。 由已知得1+cos-cos-2coscos=1-2, 2(coscos-1)= (cos-cos)， = 依合分比定理得=tan2cot2 tan2=tan2 7. 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。 A+B+C= sinC=sin-(A+B)=sin(A+B) 左边=2sincos+ sin(A+B)= 2sin(cos+cos)=2sin2coscos=4 coscoscos8. 思路分析：左边同乘以sin,去括号，积化和差可得 左边=(sin-sin)+(sin-sin)+(sin-sin)=(sin- sin)=cossin