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1、反比例函数知识点归纳和典型例题知识点归纳（一）反比例函数的概念1（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2（）也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性
2、质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作x轴于A点，y轴于B点，则矩形的面积是（三角形和三角形的面积都是）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作的延长线于C，则有三角形的面积为 图1 图25
3、说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（四）充分利用数形结合的思想解决问题例题分析1反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）A3x B C31 D（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）AB CD2图象和性质（1）已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么若y随x的增大而减小，那么（2）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第象限（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数
4、的图象一定不经过第象限（4）已知ab0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数的图象经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函数和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D3函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（ ）ABCD（3）下列四个函数中：； y随x的增
5、大而减小的函数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个（4）已知反比例函数的图象与直线2x和1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）4解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）A正比例函数 B反比例函数C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则，它们的另一个交点为（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（4）已知一次函数与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x0，3）求x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式5面积计算（1）如图，在函数的图
6、象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、，则（ ）ABCD 第（1）题图 第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，轴，轴，的面积S，则（ ）A1 B1S2 C2 DS2（3）如图，的顶点A在双曲线上，且S3，求m的值 第（3）题图 第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线，2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1
7、R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（5） 如图，正比例函数（k0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接，若面积为S，则 第（5）题图 第（6）题图（6）如图在中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，x轴于B且S求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和的面积（7）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k0，x0）的图象上，点P （m，n）是函数（k0，x0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形在正方形以外的部分的面积为S 求B点坐标和k的值； 当时，
8、求点P的坐标； 写出S关于m的函数关系式6综合应用（1）若函数1x（k10）和函数（k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围（3）如图所示，已知一次函数（k0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m0）的图象在第一象限交于C点，垂直于x轴，垂足为D，若1 求点A、B、D的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结，（O是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； 双曲线上是否存在一点P，使得和的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由（5）不解方程，判断下列方程解的个数 ；