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1、-三年级数学思维训练(上)02265-第 23 页第一讲 和倍问题（一） 知识要点和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。此类题我们常采用画线段图的方法解答。解答此类题首先要找倍数关系，通过倍数关系画出线段图，然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和。于是根据图产生这样的思路：相对小的数自己是自己的一倍，而相对大的数是相对小的数的几倍,当然俩个数相等时这个几就是1），那么就有大数和小数的和就是小数的几+1倍，又因为大数和小数的和已知，于是这个题就变成了一个简单的，已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题。从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一
2、倍的数，我们简称为1倍数. （二） 例题选讲例1 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？精妙解答160（3+1）=40（本）-作为一倍数的乙班的403=120（本）-根据题意关系求的甲班的或者：160-40=120（本答：甲班有图书120本，乙班有图书40本例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？精彩思路已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360千米
3、，故1时共行 3602180(千米)，这就是两辆车的速度和。精妙解答乙车的速度为(3602)(21)= 60(千米/时)，甲车的速度为602=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？精彩思路容易求得“二数之和”为 4575=120(人)。如果从“
4、乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下：从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(4575)就是甲队剩下人数的 314(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。精妙解答甲队调动后剩下的人数为(4575)(31) 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-3015(人)。答：甲队要调15人到乙队。例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使
5、哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？仿照例3的分析可得如下解法。精妙解答兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(61)倍，根据和倍公式，妹妹剩下(5324)(61)11(本)。故妹妹给哥哥书24-1113(本)。答：妹妹给哥哥书13本。例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？精彩思路及解答这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是1602010150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”
6、。线段图如下：根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)(160-2010)(51)25(个)，故小灰兔原有蘑菇25-1015(个)，大白兔原有蘑菇160-15145(个)。答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。练习初试牛刀1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克？3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？挑战自我1.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不
7、合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？2.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？3.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？第二讲 还原问题（三） 知识要点对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法
8、解题的问题叫做还原问题。（四） 例题选讲例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？精彩思路这个问题是由 （446）3104，求出。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是41014；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14342；可知这个数乘以4后的积为424688，因此这个数是884=22。精妙解答（410）346422。答：这个数是22。例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？精彩思路利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为
9、把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。精妙解答123-450169。答：正确的结果应是169。例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？精彩思路先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-618（棵），欢
10、欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 181028（棵）。精妙解答365（12）2-610=28（棵）。答：乐乐最初拿了28棵树苗。例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？精彩思路及解答尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有30333（本），乙组有303532（本），丙组有30525（本）。例5、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去
11、余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？精彩思路由逆推法知，第二次用完还剩下157=22（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（243）254（米）。 精妙解答（15710）23254（米）。答：这捆电线原有54米。练习初试牛刀1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。3.在125381=1999中，内应填入什么数？4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？挑战自我1.粮库内有一批面粉
12、，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？ 2.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？ 3.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？第三讲 巧求长方形、正方形的周长（一）知识要点我们知道：长方形、正方形的公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。下
13、面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的。由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。（二）例题选讲例1一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。你知道其中的道理吗？分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由A处到B处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：(1)ACDEB；(2)ACOEB；(3)ACOFB；(4)AHGFB；(5)AHOEB；(6)AHOFB。因为AC与H
14、O，GF的路程一样长，所以可以把它们都换成AC；同理，将OE，FB都换成CD；将AH，CO都换成DE；将HG，OF都换成EB。这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。路程、速度都相同，当然到达B处的时间就相同了。例2 计算下列图形的周长(单位：厘米)。解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图)，这样正好移补成一个正方形，所以它的周长为254=100(厘米)。 (2)与(1)类似，可以移补成一个长方形，周长为(1015)2=50(厘米)。例3 求下面
15、两个图形的周长(单位：厘米)。解：(1)与例2类似，可以移补成一个长(151015)厘米、宽(1220)厘米的长方形，所以周长为(151015)2(1220)2144(厘米)。(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个长60厘米，宽(152015)厘米的长方形，此时，还有两条长35厘米的竖线段。所以周长为602(152015)2352290(厘米)。例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。在所有的这些画法中，(1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？(2)
16、哪种画法画出的线段总长最短？有多长？分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线段就越短。因此，类似图1那样画的线条最长，共画了344=48(厘米)。右图画的线条最短，共画了(33)6=36(厘米)。例5下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度。分析与解：如左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3，5，7厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。所以螺线总长度为(357)413=63(厘米)。（三）练习1.试求左下图的周长(单位：厘米)。2.上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。试求出其
17、周长。3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度(单位：米)。请你算出它的周长。5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。求这个图形的周长。5.下面两图中的小方格的大小相同。图(1)的周长为48厘米，图(2)的周长等于多少？6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？（四）参考答案1、 移动成长3+5+4、宽6+7的长方形，所以周长=（12+13）*2=502、移动成5+1的长方形，没有宽、长为4的长方形，再加上4段边。（5+1）*2+2*4+4=243、移动成长50、宽28+16的
18、长方形，所以周长=（50+28+16）*2=1884、移动成长4*3+5*3、宽5的长方形，再加上6个（5-3）所以（12+15+5）*2+6*2=765、图一移动成长5宽3的长方形，周长段为（5+3）*2=16，周长为48，每段为48/16=3，图二移动后为（7+1）*2+4=20，每段为3，共60。6、把长方形的宽看作一份，长为3份。一个长方形的周长是8份，8份是16，1份是2，3份是6，正方形的周长是6*4=24第四讲 图形计数（五） 知识要点小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出
19、图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。（六） 例题选讲例题1 数出下面图中有多少条线段？精彩思路我们可以采用以线段左端点分数数的方法，我们还可以把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，精妙解答采用以线段左端点分数数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；以C点为左端点的线段有：CD共1条。所以，图中共有线段321=6条。我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：由1条基本线段构成的线段：AB、BC、CD共3条；
20、由2条基本线段构成的线段：AC、BD共2条；由3条基本线段构成的线段：AD只1条。所以，图中共有321=6条线段。例题2 数出下图中有几个角。精彩思路数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 精妙解答以AO为一边的角有：AOB、AOC、AOD三个；以BO为一边的角有：BOC、BOD两个；以CO为一边的角有：COD一个。所以图中共有321=6个角。小朋友，如果把图中AOB、BOC、COD看作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋。例题3 数出下面图中共有多少个三角形。 精彩思路数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数，还可以数出图中三角形的个数，只需数出ABE的底边中包含几条线段就可以了。 精妙解
21、答数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以AB为边的三角形有：ABC、ABD、ABE三个；以AC为边的三角形有：ACD、ACE二个；以AD为边的三角形有：ADE一个。所以图中共有三角形321=6个。我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出ABE的底边中包含几条线段就可以了，即321=6条。所以图中共有6个三角形。例题4 数出下图中有多少个长方形。精彩思路数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有321=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有61=6个长方形；而AC上共21=3条线段也就有63=18个长方形。
22、 精妙解答 长方形的总数=长边线段的总数宽边线段的总数63=18（个）长方形例题5 有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张 精彩思路这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：从图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2个小朋友还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片以此类推，第9个小朋友只要再与1个小朋友合影，再照1张照片。精妙解答 一共要照987654321=45张照片。练习初试牛刀1，数出下图中各有多少条线段？ 2，数出下图中有几个角。3、数出下面图中共有多少个三角形。4、数出下图中有多少个长方形。 挑战自我 1，三年
23、级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？2，有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？3，有16六个数字，能组成多少个不同的两位数？ 参考答案初试牛刀1、 4+3+2+1 = 10（条） 5+4+3+2+1 = 15（条）2、1+2+3 = 6（条）3、 1+2 = 3（个） 1+2+3+4 = 10（个）4、 （1+2+3+4）（1+2）= 30（个） （1+2+3+4）（1+2+3）= 60（个） 挑战自我1、假设班号为、。班和其他班比赛的场次是：、，5场；班因为已经和班比赛过，不能重复计算，还可以比赛的场次是：、，4场；同理，班还可以比
24、赛的场次是：、，3场；同理，班还可以比赛的场次是：、，2场；同理，班还可以比赛的场次是：，1场共计：5+4+3+2+1 = 15（次）2、可以扎的方法：红黄、红蓝、红白、黄蓝、黄白、黄、蓝白。共计：3+2+1 = 6（种）3、1可以和其他5个数组成5种：12、13、14、15、16；2可以和其他4个数组成4种：23、24、25、26； 3可以和其他3个数组成3种：34、35、36；4可以和其他2个数组成2种：45、46；5可以和其他1个数组成1种：56。与前面题目类型不同的是，这两个数可以颠倒，比如1、2，可以组成12或者21。此题共有：（5+4+3+2+1）2 = 30（种） 第五讲 和差问
25、题（一）知识要点和差问题是小学数学常见的一种应用题，它在日常生活中应用很广泛，解题的关键在于找出题目中的和与差，再利用以下的数量关系式去解答，就显得容易了。（和差）2较大的数； （和差）2较少的数或 和较大的数较少的数； 和较少的数较大的数（二）例题选讲 精彩思路精妙解答（1）32=（3+2）精妙思路精妙解答 精彩思路 精妙解答精彩思路精妙解答精妙思路 精妙解答练习初试牛刀1、学校做扫除，张娟和陈芳一共擦玻璃31块，又知张娟比陈芳少擦9块，张娟、陈芳各擦玻璃多少块？2、小兰期末考试时语文和数学平均分是96分，数学比语文多4分，问小兰语文多少分？数学多少分？3、今年弟弟16岁，哥哥20岁，当两人
26、的年龄和是52时，弟弟多少岁。4、一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是 8 ，两个数字之差是 2，这个数是多少？ 挑战自我 1、甲框里有苹果 30 千克，乙框里有桔子若干千克，如果从乙框里取出12千克桔子，苹果就比桔子多10千克，乙框原有桔子多少千克。 2、甲乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船少57人，这时两船乘客同样多，甲船原来有乘客多少人。3、 无线电厂、二厂共有工人864人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂32名工人，这样一厂工人数还比二厂多48，一厂、二厂原来各有工人多少人？4、一部书有上、中、下三册，上册比中册贵5角，中册比下册贵7角，这样的四部书共值340角，上、
27、中、下册多少角？5、两筐苹果共重90千克，如果从第一框中取出6千克，放入第二筐后，两筐的重量相等，两筐苹果原来各多少千克？ 6、两个水桶共盛水50千克，如果把第一桶里的水倒出6千克，两个水桶的水就一样多了。第一桶原盛水多少千克？ 参考答案初试牛刀1、陈芳；（319）220（块） 张娟；20911块2、数学（9624）98分 语文98494分3、弟弟【52 （2016）】224岁4、（82）25 523挑战自我1、30101232千克2（6233457）22663、 一厂；（86448）232488人 二厂； 864488376人4、上；（342557）3119角 中；1195114角 下；11
28、47107角5、 902639（千克） 903951（千克）答； 第一筐有51千克， 第二筐有39千克6、（506） 222（千克） 502228（千克） 答； 第一桶原盛水28千克。第六讲 余数问题（七） 知识要点在三年级上期的学生开始初步接触有余数的除法，知道了余数必须比除数小，余数是余下的不能够再分（整数）的数。尽管学生初次接触，但余数这个概念在数学上有着非常重要的地位，故在此进行一些拓展。这里，主要介绍一些在整数范围内的余数问题。1、利用直观体验的方法，使学生会观察、学会深入思考问题，从中领悟如何利用余数解决一些有关余数的实际问题，提高学生学习的能力，激发学生进一步学习数学的兴趣。2、
29、弄清一些数量关系：被除数除数商余数；商除数余数被除数；进一步弄清余数的两个性质：两个数相除，余数一定小于除数；两个数相除，若除数是a，那么，余数就有(a1)种可能。（八） 例题选讲例1、如图：，那么,第13个图是什么形? 第115个图是什么形?精彩思路通过观察可以看出这些图形的排列是有规律的，按照“”一组，不断的在重复出现。第一小题，可以让学生根据自己观察到的规律，自己接着往后面画，就能够得出第13个图形是什么图形了。第二小题，学生根据观察的规律，如果再往后边画，到第115个图形，显然有些复杂，很花费时间。此时，再引导学生观察这样的一组“”有3个图形，13里面最多能够有这样的几组？还剩下几个？
30、学生很直观观察到了其结果。进一步引导用算式表示，并说出算式与图形之间的内在联系。用这样的思维来解决第二小题，从而提升学生解决问题的能力，并锻炼了其思维。 精妙解答因为，是按照这样“”3个为一组在不断的重复。1153=38（组）1（个）所以，第115个图形应该是“”。例2、一段路上的树，按2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树的顺序栽种，第50棵树是什么树? 精彩思路学生按照2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树的顺序画图，不难发现其中的规律按是2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树为一组在不断地重复，故可以按照有余数的问题的思维来解决。精妙解答因为按2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树为一组在不断地重复，509=4（组）5（棵）所
31、以，第50棵树是槐树。 例3、今天是星期一，从今天算起第100天是星期几？精彩思路今天是星期一，求第100天是星期几，因为今天已经算第1天，实际上从明天算起第99天是星期几就是本题的解。精妙解答997=14（周）1（天）99天共有14个星期又1天，今天是星期一，过14个星期还是星期一，再过一天就是星期二。例4、有同样大小的红、黄、蓝三色珠子共360个，按先3个红色珠子，再2个黄色珠子，再4个蓝色珠子排列。三色珠子各是多少个？ 精彩思路按先3个红色珠子，再2个黄色珠子，再4个蓝色珠子排列，一个循环就是9（423=9），在360个珠子里包含有3609=40（个）循环（循环也称为周期）。以求黄珠子为
32、例，每个周期里有2个黄色珠子，共40个周期，因此240=80（个），同理可求红珠子和蓝珠子的个数。精妙解答360（423）=40（个）340=120（个）；240=80（个）；440=160（个）例5、2008个学生按照下列的方法编号排列：A B C D E1 2 3 4 59 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 1418 19 20 21 25 24 23 22那么，最后一名学生应该排在第几列？ 精彩思路仔细观察排列规律，除15以外，从第二行开始8个数按一个循环依次不断地重复排列，每个循环的第一个数排列在的后面。如果2008名学生先去掉5名，还剩下20085=2003（名）学
33、生，把2003名学生按每8个一组，20038=250（组）3（名），从而得到所求的解。精妙解答 （20085）8=250（组）3（名）所以，最后一名学生应该排在B列。练习初试牛刀1、如图：那么第38个图是什么形？ 第121个图是什么形？ 第60个图是什么形？2、学校插彩旗，按照2面红旗，1面蓝旗，4面黄旗的顺序插旗子，这样第82的面是什么旗子？3、有一堆围棋，按“二白三黑”的顺序排列，那么第31个是白子还是黑子？4、国庆节挂灯，按“红、黄、红、蓝、绿”的顺序挂，一共挂了100盏，这些灯各有多少盏？5、今年六月一日是星期三，那么今年八月一日是星期几？6、下面有一列数：1、3、5、1、3、5、1、
34、3、5第32个数是几？这32个数的和是多少？7、1993年9月1日是星期三，再过58日是星期几？ 那年的10月15日是星期几？ 挑战自我1、某年的9月1日是星期三，问该年的4月1日是星期几？2、今年的1月1日是星期四，问今年的5月1日是星期几？3、某年的十月里有五个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？参考答案初试牛刀1、386=6（组）2（个），第38个图是形。1216=20（组）1（个），第121个图是形。606=10（组），第60个图是形。2、82（2+1+4）=11（组）5（面）所以，这样第82的面是黄旗子。3、31（2+3）=6（组）1（个）所以，第31个是白子。4、国庆节
35、挂灯，按“红、黄、红、蓝、绿”的顺序挂，一共挂了100盏，这些灯各有多少盏？1005=20（组）220=40（盏），120=20（盏）所以，红灯有40盏，黄、红、蓝、绿各有20盏。5、（29+31+1）7=8（周）5（天）那么今年八月一日是星期一。6、323=10（组）2（个）第32个数是3。（1+3+5）10+1+3=94.所以这32个数的和是94。7、1993年9月1日是星期三，587=8（周）2（天），所以再过58日是星期五。 （29+15）7=6（周）2（天）那么，那年的10月15日是星期五。 挑战自我1、（29+31+30+31+31+1）7=21（周）5（天），那么该年的4月1日是
36、星期五。2、今年是2009年，是平年，所以二月只有28天。（30+28+31+30+1）7=17（周）1（天），那么，今年的5月1日是星期五。3、这年的10月1日是星期三。 第七讲 竖式数字谜（一） 知识要点在竖式中，有一些待定的数字，如何根据运算法则和式子的结构特征，通过掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，灵活运用运算法则和整数的性质，找出解题的“突破口”，把待定的数字确定出来，使原式成立。这里我们所用的数字都为整数中的数字。（二）例题选讲例1 在下面的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？【精彩思路】：显然，C=5，D=1(因两个数字之和只能进一位)。由于A41即A5的个位
37、数为3，且必进一位(因为43)，【精妙解答】C=5,D=1A5=13，从而A13-5=8。同理，由7B1=12，即B812，得到B12-84。故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和： 1 4 9 1 9 5【精彩思路】：(1)由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9918，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是“突破口”)再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。故这两个加数的四个数字之和是914=23。(2)由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加
38、数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”，与(1)不同)这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。所求的两个加数的四个数字之和是151833。注意：(1)(2)两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。(1)是从和的个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析。例3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？ A B C D+ E B E D E B C A D 精彩思路由于四位数加上四位数其和为五位数，所以可以确定和的首位数字E=1。又因为个位上D+D=D，所以D=0。此时算式为：A B C 0+ 1 B 1 0 1 0 C A 0下面分两种情况进行讨论：（1）
39、 若百位没有向千位进位，则由千位可确定A=9，由十位可确定C=8，由百位可确定B=4，由此得到问题的一个解。（2） 若百位向千位进1，则由千位可确定A=8，由十位可确定C=7，百位上不论B为什么样的整数，B+B的个位都不可能为7，因此不成立。【精妙解答】 9 4 8 0+ 1 4 1 0 1 0 8 9 0例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。炮 车 车 炮 车 马 车 _ 马 车 马精彩思路例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知“炮”1被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相
40、减，所以，“马”9。至此，得到下式：由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”2。【精妙解答】炮=1，马=9，11-车=9则车=2因此，符合题意的数字式为： 1 2 2 1 - 2 9 2 9 2 9例5 在下面的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？谜式谜填式谜+ 巧填式谜2 0 0 0精彩思路由(4谜)的个位数是0知，“谜”0或5。当“谜”0时，(3式)的个位数是0，推知“式”0，与“谜”“式”矛盾。当“谜”5时，个位向十位进2。由(3式+2)的个位数是0知，“式”6，且十位要向百位进2。由(2填+2)的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”4
41、。最后推知，“巧”1。精妙解答“巧”1，“填”4，“式”=6，“谜”5。练习【初试牛刀】1.在下面的乘法竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学”代表的数字是（ ） 数 学 数 学 （）（） 学（） 0 8 勤 奋 好 学2 在下面的算式中，汉字“珊，瑚，小，学，三，年，级”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得加法算式成立，则“珊，瑚，小，学，三，年，级”所代表的7个数字的和等于（ ） 珊 瑚 小 学 + 三 年 级 2 0 0 93.【挑战自我】1.在下面的竖式中，不同的字母代表不同的数字，记被减数的数字和为A，减数的数字
42、和为B，差的数字和为C，而且要求AB，那么A-B与C得差是（ ）第八讲 找规律【知识要点】先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。数列中的数可以是有限多个，如数列(2)年个(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项ann。数列(2)的规律是：后项=前项2，或第n项数列(3)的规律