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1、第十五章 综合实验学习目1 学习对数学知识综合运用；2 学习数学建模数学应用全过程；3 培养实际应用所需要双向翻译能力。 工科数学而言，学习数学最终目应落实在数学实际应用上，尽管数学也应将训练学生抽象思维能力为目，但这也许作为课堂教学重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学应用能力数学建模能力培养、注意科学研究方法上培养。15.1 水箱水流量问题学习目标1. 能表述水箱水流量问题分析过程；2. 能表述模型建立方法；3. 会利用曲线拟合计算水箱水流量；4. 会利用Mathematica进展数据拟合、作图和进展误差估计。一、 问题 许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量设备，而只能测量
2、水箱中水位。试通过测得某时刻水箱中水位数据，估计在任意时刻包括水泵灌水期间t流出水箱流量ft。给出下面原始数据表，其中长度单位为E1E=。水箱为圆柱体，其直径为57E。时间s水位10 2E时间s水位10 -2E03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水85
3、9683475394353550899533397433183445932703340 假设：1 影响水箱水流量唯一因素是该区公众对水普通需求；2 水泵灌水速度为常数；3 从水箱中流出水最大流速小于水泵灌水速度；4 每天用水量分布都是相似；5 水箱流水速度可用光滑曲线来近似；6 当水箱水容量到达514.8103g时，开场泵水；到达667.6103g时，便停顿泵水。二、 问题分析与建立模型1. 引入如下记号： V水容积； Vi时刻tih水容积单位G，1G=升； ft时刻ti流出水箱水流速，它是时间函数G/h；p水泵灌水速度G/h。根据要求先将上表中数据做变换，时间单位用小时h，水位高转换成水体积
4、V=R2h，得下表。时间h水量103G时间h水量103G078544.1/注：第一段泵水始停时间及水量为 t始=h，v始=103G t末=10.926h，v末=677.6103G第二段泵水始停时间及水量为 t始=20.839h，v始=103G t末=22.958h，v末=677.6103G2. 由于要求是水箱流量与时间关系，因此须由上表数据计算出相邻时间区间中点及在时间区间内水箱中流出水平均速度： 平均流速=区间左端点水量区间右端点水量/区间中点值得下表：时间区间中点值h平均流量103G/h/做出散点图如图15-1。图15-1 散点图从图中可以看出数据分布不均匀，局部严密，因此不能采用插值多项
5、式处理数据，而用曲线拟合最小二乘法。三、 计算过程1 算法： 第1步 输入数据xi，yi；第2步 进展拟合；第3步 作出散点图； 第4步 作出拟合函数图； 第5步 进展误差估算。2 实现 在算法步2中使用Fit 函数，步3、步4使用Plot ，步5选用Integrate 函数。3 误差估计： 误差估算时，由于水泵灌水速度为一常数，水箱中水体积平均变化速度应近似等于水泵灌水速度P减去此段时间从水箱中流出平均速度。即 此处ft在t区间两端点间进展积分。 如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同灌水周期中，按此模型计算出水泵灌水速度应近似为常数。下面通过水泵开场和停顿工作两段区间，即t， 及t
6、20.839，22.958来进展检验。 第一段： 对应于 t始=h， t末=10.926h 水量分别为 v始=514800G，v末=677600G 故 V1=677600-514800=162800G t1=10.926-86=h =83150G/h 第二段： 对应于 t始=20.839h， t末=22.958h 水量分别为 v始=514800G， v末=677600G 故 V2=677600-514800=162800G t2=-=h =76830G/h P1=83150+ P2=76830+ 四、 结果分析 通过水泵开场和停顿工作两段时间检验水泵灌水速度应近似为常数；其中由1，x，x2，x
7、3，x8拟合函数ft所产生误差为8.217%，由1，x3，x5，sinx)，x)拟合到达%。由此可见如选择不同基函数，将得不同误差。但是只要基函数选择恰当，所产生误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。同时，一旦确定了最正确ft，我们便可通过Integrate 函数估算出一天用水总量，从而根据常规每1000人用水量来推测出该地区人口数，另外，还可求得水箱平均流速。 评价1 优点：（1） 任意时刻从水箱中流出水速都可通过该模型计算出来；（2） 可推测几天流速；（3） 可以将该建模过程推广到用电及用气估算上。2 缺点：（1） 如能知道水泵抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水流速；（2）
8、通过考虑体积测量差异建模，该作法包含着某种不准确性。 源程序：L=，1.382，12.0，2.396，10.0，3.411，9.6， 4.425，9.6，5.439，8.9，6.45，9.6，7.468，8.9， 8.448，10.0，11.49，18.6，12.49，20.0，13.42，19.0， 14.43，16.0，15.44，16.0，16.37，16.0，17.38，14.0， 18.49，14.0，19.50，16.0，3， 25.45，12.0fx=FitL，1，x3，x5，Sin0.1x，Cos0.1x，xgraph1=ListPlotL，DisplayFunctionIde
9、ntitygraph2=ListPlotfx，x，DisplayFunctionIdentity；Showgraph1，graph2，DisplayFunction$DisplayFunction， PlotRangeAll图15-2 水箱水流量拟合图v1=677600-514800；t2=；m1=v1/t1；v2=677600-514800；t1=；m2=v2/t2；p1=m1+Integratefx，x，26/t1p2=m2+Integratefx，x，20.839，22.958/t2%=p1-p2p2运行结果为：35-97.968Cos0.1x-33.1108Sin0.1x习题1 试将水
10、箱水流量问题建模方法推广到闭路电视普及预测模型，下表列出了美国自1952年至1978年闭路电视统计数据。 年家庭拥有电视数家庭拥有闭路电视数闭路电视百分比电视台数目闭路电视系统数目195215300141087019542600065402300195634900300496450195841424450556525196045750850579640196248850108557180019645160010855821200196653850157561315701968566702800642200019705955045006862490197260006902841197487006
11、943158197671460108007013681197874700130007083997 根据上表中数据可以绘制美国家庭采用闭路电视增长曲线。请利用已有历史资料来预测未来闭路电视在家庭采用百分比。2 某工地用两台正向铲挖土机挖土，用容量8m3汽车运土，汽车到达时间间隔相互独立并服从负指数分布，平均每小时到24辆。装车时间服从正态分布，平均每小时装车15辆。设每台挖土机每天使用费为250元，汽车使用费每天150元。试模拟该工地生产过程，并计算：（1） 挖土机利用率；（2） 每小时平均挖土量；（3） 挖土机空闲和汽车等待时每天平均损失费。3 某杂货店只有一个收款台，顾客到达收款台间隔是服从均值为4.5负指数分布，每个顾客效劳时间服从均值为标准差正态分布。这里时间单位是分钟，且效劳时间不取负值。对100个顾客去收款台缴款排队过程进展仿真。