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1、人教A版（2019）必修第一册5.1任意角和弧度制同步练习一、单项选择题L “圆材埋壁是九章算术中的一个问题：“今有圆材、埋在壁中，不知大小，以 锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁 中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径 是多少？现有圆柱形木材一局部埋在墙壁中，截面如下图，弦= 1尺，弓形 高CD = 1寸，那么阴影局部面积约为（注：*3.14, 5也22.5。3，1尺=10寸）A. 6.33平方寸B. 6.35平方寸C. 6.37平方寸D. 6.39平方寸2.魏晋时期，我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术
2、：“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆合体，而无所失矣”.割圆术可以视为将 一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如下图），当变得很大时，等腰三角 形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到sin3。的近似值为（）（乃取近似值3.14）3.将手表的分针拨快10分钟，那么分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（）4.假设角。与角夕的终边关于y轴对称，那么必有（）a + /? = 9。B. a + /? =k360+90（攵 wZ）C. a + = Z360/eZ）D. a + /? = （2攵+ 1）180“（ZeZ）先求出与的终边关于y轴对称的角为,，再求出终边相同的
3、角的集合即可.【详解】与T的终边关于y轴对称的角为手， JJ所以角a的集合是a = 2E +4 71,keZ ,故答案为:14. 3兀采用数形结合，然后利用弧长公式计算即可.【详解】 由题可知：AP. AB. AC三条棱两两垂直，且长度均为如图:EF所以 PC = PB = BC =2AM = AF = J42-2y/3)2 = 2,所以 tan ZAPF = tan 4APM =三二，那么 ZAPF = ZAPM =- 2V336JT7777所以/b = NCPM=，那么EE = MN = x4 = 121237147r71NE = x4 = ,MF = x2 = 332TT 47r所以球面
4、被三棱锥四个外表截得的所有弧长之和为2 + 丁 +乃=3乃 故答案为：3兀56cm计算出时针转过的弧度数，再结合锐角三角函数的定义可求得线段45的长.【详解】2021年11月9日上午7:00至11:00,时针的针头自点A处转动到点6处，那么时针转过的弧度数为色2=表 故A8 = 10si吟= 5m).故答案为：56cm.16. 12乃选求出半径，再用扇形面积公式计算即可.【详解】27r由题意，120。= -,且圆心角所对的弧长为4m%,27rR = 47r , 3二扇形的面积为S = ：x4乃x6 = 12(n?).故答案为：1217. (1) 夕旧=上360。+25。，kJZ； -1055,
5、 -695.首先根据题意，结合终边相同的角的集合，从而写出满足条件的结果，再令攵取相应的值 求得满足条件的角.【详解】 与25。角终边相同的角的集合为5=|夕=%360。+25。，kUZ.令 k=-3,那么有夕=一3360。+25。= 1 0555 符合条件;令 k=2,那么有4=2、360。+25。=695。，符合条件;令k= l,那么有夕=一”360。+25。=-335。，不符合条件.故符合条件的角有一1055。，-695.该题考查的是有关角的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，角的终边确定，落 在某个范围内的角的求解，属于基础题目.18.m m首先根据题意得到r =飞后+4，根据c
6、osa = 7M = i得到m=-右，再求sin。和tan。 即可.【详解】因为 P(/“2),贝I7m1 +4，(加。).所以cos a = 1=彳,解得?2=5,又因为m0,所以m=一石.y/m +43所以 r = 3, sina =-1, tan a =.35此题主要考查任意角三角函数的定义，属于简单题.19. (1) 200； (2) 15； (3) 225, 2.(1)根据扇形的周长公式求出扇形所对应的圆心角，进而结合扇形的面积公式即可求出结果；(2)设扇形所对应的圆心角为。，半径为一，根据扇形的周长公式得ar +2r = 60 ,即。二二，从而结合扇形的面积公式得到有关半径的二次函
7、数，从而根据二次函数的性 r质即可求出结果；(3)借助(2)中r=15时，即可求出结果.【详解】(1)设扇形所对应的圆心角为。，由题意知20a + 2x20 = 60,所以a = l,因此扇形的面积为=1x1x202 =200 ；2260 2r(2)设扇形所对应的圆心角为。，半径为人 由题意知a + 2 = 60,即。=，那么因此扇形的面积为葭01户=葭的二2x，=，+30根据二次函数的性质，当15时, 22 r扇形的面积最大；(3)由(2)知当r=15时，扇形的面积最大，扇形的面积最大值为-152+30x15 = 225,H n,60-2x15 c止匕时a = 2；1(1) 业180。+ 9
8、0。Z.180。+ 120。次； (2)a-600 + k. 360cr60 + Z:-360,kZ.(1)根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接得出结果；(2)根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接得出结果.【详解】(1)角的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界)，角。的集合为：5 =32.360。+ 90。攵360。+ 120。,左22同4.360。+ 270。“2.360。+ 300。,丘2=。|2180。+ 90。2%180。+ 120。入2；(2)角的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界).角 a 的集合为S = a|-60 + k-3600a
9、60 + k-360,keZ.a a = k7i- - ,kZ3JT(1) . (2)(1)先将60。改为弧度，再加周期，最后写出集合形式；(2)先分别写出终边在射线。4上以及终边在射线08上角的集合，再求并集得结果.【详解】(1)终边在射线。4上的角的集合A = aa = 2版 + q/Gz.(2)终边在射线08上的角的集合41711B = a a = 2k7i + 兀，k eZ = a a - (2k + l)7r + , e Z ,所以终边在直线A3上的角的集合Au3 = a a = 2k/r + ,k g Z ju ja a = （2左+ 1）乃+ （,左 e z, 即-匹卜卜士+/同
10、.此题考查终边相同的角的集合，考查基本求解能力，属基础题.TT5.以下角中，与角g终边相同的角是（）D.A.-旦B.-又C.636 .以下命题正确的选项是（）A.第二象限比第一象限角大B. A = aa = kA80,keZ 9 5 = 川2=490。，丘Z,贝 ijAqBC.假设&360。公360。+ 180。（ZeZ）,那么。为第一或第二象限角D.终边在x轴上的角可表示为女360。QkeZ）7 .所有与角。的终边相同的角可以表示为攵36（T + a（ZZ）,其中角。（）A. 一定是小于90。的角B. 一定是第一象限的角C. 一定是正角D.可以是任意角8.钟表分针的运动是一个周期现象，其周期
11、为60分钟，现在分针恰好指在2点处, 那么100分钟后分针指在（）A. 8点处B. 10点处C. 11点处D. 12点处9.半径为3 cm的圆中，有一条弧,9.半径为3 cm的圆中，有一条弧,7T长度为彳cm,那么此弧所对的圆心角为（A.A.B.71C.71ic 兀D.210 . 320。化为弧度是（）A.A.B.16万TC.D.11 .设集合4 = 3=45。+左180。及uZu勿& = 135。+k180。/2,集合5 = 用4=45。+290。欢2,贝I()B. A BC. B AD. A = B12 .如图是一个近似扇形的鱼塘，其中。4 =。3 =乙A3长为/（/）.为方便投放饲料,料
12、,3欲在如图位置修建简易廊桥C。,其中二。43OD =OB.4xe 0,- 2)时,D YCAr3sinx您x，那么廊桥C。的长度大约为（）63 r3r7432r2B.A.二、填空题D.3 r35F.假设角。与的终边关于y轴对称，那么角。的集合是.13 .三棱锥P-ABC中，AP. AB. AC三条棱两两垂直，且长度均为2VL 以 顶点P为球心，4为半径作一个球，那么该球面被三棱锥四个外表截得的所有弧长之和为.如下图，一圆形钟的时针长5cm, 2021年11月9日上午7:00至11:00,时针的针头自点A处转动到点8处,那么线段AB的长为12-9-93-66Fil 12 1F16.120。的圆
13、心角所对的弧长为4/m,那么这个扇形的面积为m2.三、解答题17.写出与25。角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式一1080。期V 360。的角。18 .点P（以-2）,（加0）为角。终边上一点，且cosa=，求sina和tana.19 .扇形周长是60.（1）当半径尸20,求扇形面积.（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.20 .写出角。的终边在以下位置时的集合S.r(1)Q)(1)角a的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界);(2)角a的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界).21.如图，用弧度制分别写出以下条件下角的集合:(1)终边在
14、射线Q4上;(2)终边在直线A3上.参考答案:1. A连接0C,设半径为r,那么O3=-1,在直角三角形Q4O中应用勾股定理即可求得r,进而求得扇形Q4B的面积，减去三角形。45即可得阴影局部的面积.【详解】连接0C,设半径为r, AD = 5寸，那么OD = r-在直角三角形中，OA2 = AD2OD2即r=52+（一 if,解得二 13那么 sin NAOC = 2 ,所以 NAOC = 22.5。那么 ZAO8 = 2x225=45所以扇形。43的面积E*cl3 - =3也=66.333608三角形的面积S2 =1xl0xl2 = 60所以阴影局部面积为，-S? = 66.33-60 =
15、 6.33所以选A此题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式 的应用，属于基础题.2. B根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为3。,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3。的近似值.【详解】36001当 =120时海个等腰三角形的顶角为0 =3。,那么其面积为，=5，sin 3。，又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以 120x /N sin3 x 71rl n sin3 x 2n60n60应选：B此题考查三角形与圆的面积公式,属于基础题.3. D根据任意角的定义可得结果.【详解】
16、将手表的分针拨快10分钟，那么分针在旋转过程中形成的角的弧度数是-2x2 = -J6()3应选：D.4. D根据角。与角夕的终边关于歹轴对称，有0(904360 ?8) 90, 360 ?右 。,区段？ Z ,即可得解.【详解】角。与角夕的终边关于轴对称，所以a(90, 360 ? kJ 90, 360 ? k2 反Z,a+4=904360 ?他 90号 360 ? K 360 + 2)+180 , kk2eZ即a+ B= 360野 k 180 = (2k + 1)7180欢? Z,应选：D此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代 数关系求解.5. B利用
17、终边相同的角的表示可得结果.【详解】因为-丁 = -2万+ 二，所以-二与二终边相同，故A不正确; 6666、nTT57T 冗因为-平=-2%所以一乎与?终边相同，故B正确；47r27r71日-和年显然与3终边不同，故CD不正确.应选：BBA：运用特例法进行判断即可；B：根据子集的定义进行判断即可；C：根据象限角的定义进行判断即可；D：根据终边在x轴上的角的特点进行判断即可，【详解】A不正确，如-210。30。.在 B 中，当攵=2，Z 时，4=180。，nwZ , AoB, DB 正确.又C中，。为第一或第二象限角或在轴的非负半轴上，DC不正确.显然D不正确，比方180”写不成Z360 (k
18、eZ)的形式.应选：BD由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.【详解】因为结论与角a的终边相同的角可以表示为匕360。+。(女sZ)适用于任意角，所以D正确，应选：D.6. B利用时钟的周期为60分钟，分析100分是多少个周期,由此即可得到答案.【详解】2一个周期是60分钟，那么100分钟是一个周期，故100分钟后分针指在10点处.应选：BA利用弧长公式计算即可.【详解】j I兀 I I 71l = a r = -=a = -9应选：A.7. B根据角度与弧度的互化公式代入计算即可.【详解】-320化为弧度是-320 x备二空. 1 o(Jy应选：B木题考查角度与弧度的互化，属于基
19、础题.8. D考虑A中角的终边的位置，再考虑3中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.。=45。+攵180。,攵2表示终边在直线丁 =%上的角，。=135。+左180。,左2表示终边在直线丁 = 一%上的角，而尸=45。+攵90。,22表示终边在四条射线上的角，四条射线分另I是射线 y = x,x0;y = -x,x0;y = x,x0 ,它们构成直线y=%、直线丁=一元，故a=3.应选：D.此题考查终边相同的角，注意-180。+。的终边与a的终边的关系是重合或互为反向延长 线，而左90。+。的终边与。的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，此题属 于中档题.9. B由弧长求得圆心角，再由等腰三角形的性质结合条件即可求出C。的长度.【详解】由题意可得：/aob=L, r33因为。=一QA, OD = OB,可得OC = OD, 44所以08是等腰三角形，CD = 2OCsin ZAB = 2x-OAxsin ZAB个 3. I 3r.i=2x rxsin = xsin,4 2r 2 2r因为所以。( 表可得可得3r3/xsin 4一x2r 22r应选：B.4兀a a - 2kit -,k eZ3