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1、2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1 1个分裂成个分裂成2 2个，个，2 2个分裂成个分裂成4 4个个,1,1个这样的细胞分裂个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数次后，得到细胞的个数y是分裂次数是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数的函数，这个函数可以用指数函数_表示表示. .124y=2xy=2y=2x x,xN,xN 反过来，反过来，1 1个细胞经过多少次分裂，大约可以个细胞经过多少次分裂，大约可以等于等于1 1万个、万个、1010万个细
2、胞？已知细胞个数万个细胞？已知细胞个数y，如何，如何求细胞分裂次数求细胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？得到怎样一个新的函数？x=?124y=2xx2xlog yy2现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些问题吧！问题吧！一般地，我们把函数一般地，我们把函数_叫叫做对数函数，其中做对数函数，其中x x是自变量，函数的定义域是是自变量，函数的定义域是_探究探究1 1：对数函数的定义：对数函数的定义注意注意: :（1 1）对数函数定义的严格形式）对数函数定义的严格形式; ; （2 2）对数函数对底数的限制条件：）对数函数对底数的限制条件：a0a1.且y=y
3、=logloga ax(ax(a0,0,且且a1)a1)（0 0，+）思考思考1.1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？提示：提示：对数函数的解析式具有以下三个特征：对数函数的解析式具有以下三个特征：(1)(1)底数底数a a为大于为大于0 0且不等于且不等于1 1的常数，不含有自变量的常数，不含有自变量x x；(2)(2)真数位置是自变量真数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1 1；(3)log(3)loga ax x的系数是的系数是1.1.例1.1.说出下列哪些是对数函数. .12logyx=（1）22logyx=（2）3logy
4、x=（3）log 2xyx=（4）125log3yx=+（）（）12log3yx=+（6）只有（只有（1）是）是对数函数对数函数探究探究2 2：对数函数的图象和性质：对数函数的图象和性质（1 1）作）作y=logy=log2 2x x的图象的图象列表列表x1421012421122logyx作图步骤作图步骤列表列表, , 描点描点, , 用平滑曲线连接用平滑曲线连接. .描点描点连线连线2 21 1-1-1-2-22 24 4O Oy yx x3 312141描点描点连线连线2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 312x1242logyx 2 1 0 -1 -2
5、-2 -1 0 1 212lo gyx这两个函数这两个函数的图象关于的图象关于x x轴对称轴对称 121414探索发现探索发现: :认真观认真观察函数察函数y=logy=log2 2x x 的图象填写下表的图象填写下表2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy y x x3 3图象特征图象特征代数表述代数表述定义域定义域: : (0,+)(0,+)值值 域域: : R R增函数增函数在在(0,+)(0,+)上是上是图象位于图象位于y y轴右方轴右方图象向上、向下无限延伸图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐上升探索发现探索发现: :认真认真观察函数观察函数
6、的图象填写下表的图象填写下表图象特征图象特征代数表述代数表述定义域定义域: : ( 0,+)( 0,+)值值 域域: : R R减函数减函数在在(0,+)(0,+)上是上是图象位于图象位于y y轴右方轴右方图象向上、向下无限延伸图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降自左向右看图象逐渐下降12xylog 12142 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3对数函数对数函数 的图象的图象. .313ylogxylogx 和和猜一猜猜一猜: : 2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 312142logyx12lo gyx3logyx13l
7、ogyx图图 象象 性性 质质a a 1 1 0 0 a a 1 1定义域定义域: : 值值 域域: :过定点过定点: :在在(0,+)(0,+)上是上是在在(0,+)(0,+)上是上是对数函数对数函数y=y=logloga ax x (a (a0,0,且且a1) a1) 的图象与性质的图象与性质(0,+)(0,+)R R(1,0),(1,0), 即当即当x x1 1时时,y,y0 0增函数增函数减函数减函数y X O x =1 (1,0) aylog x(a1)y X O x =1 (1,0) aylog x(0a1)例例1 1：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1 1）y=logy
8、=loga ax x2 2 ; ; （2 2）y=logy=loga a(4-x). (4-x). 分析：分析：主要利用对数函数主要利用对数函数y=y=logloga ax x的定义域为的定义域为（0 0，+）求解）求解. .（1 1）因为）因为x x2 20,0,所以函数所以函数y=logy=loga a(4-x)(4-x)的定义域是的定义域是所以函数所以函数y=logy=loga ax x2 2的定义域是的定义域是（2 2）因为）因为4-x0,4-x0, xxxx4. 4. 即即x4x0 x0且且 , ,解：解：（1 1）因为）因为1-x0,1-x0,即即x1,x1,所以函数所以函数y=l
9、ogy=log5 5(1-x)(1-x)的定义域为的定义域为 x|xx|x1.0,0,且且x1.x1.21logyx即即x0 x0且且x1,x1,所以函数所以函数 的定义域为的定义域为 . . 所以函数所以函数 的定义域为的定义域为（3 3）因为）因为 ，即，即 , ,101 3x13x 1.3x x71log1 3yx（4 4）因为）因为x0 x0且且 , ,3log0 x 3logyx1x x 即即1 ，x 由具体函数式求定义域由具体函数式求定义域, ,考虑以下几个方面：考虑以下几个方面： （1 1）分母不等于）分母不等于0 0； （2 2）偶次方根被开方数非负；）偶次方根被开方数非负；
10、（3 3）零指数幂底数不为）零指数幂底数不为0 0； （4 4）对数式考虑真数大于）对数式考虑真数大于0 0； （5 5）实际问题要有实际意义）实际问题要有实际意义. .【提升总结提升总结】例例2 2 比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：(1) log(1) log2 23.4,log3.4,log2 28.58.5(2) log(2) log0.30.31.8,log1.8,log0.30.32.72.7(3) log(3) loga a5.1,log5.1,loga a5.9 ( a5.9 ( a0,0,且且a1 )a1 )解解: :考查对数函数考查对数函数y=lo
11、gy=log2 2x,x,因为它的底数因为它的底数2 21,1,所所以它在以它在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,于是于是loglog2 23.43.4loglog2 28.58.5考查对数函数考查对数函数y=logy=log0.30.3x,x,因为它的底数因为它的底数0 00.30.31,1,所以它在所以它在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, ,于是于是loglog0.30.31.81.8loglog0.30.32.72.7当当0 0a a1 1时时, ,因为函数因为函数y=y=logloga ax x在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, , 当当a a1 1时
12、时, ,因为函数因为函数y=y=logloga ax x在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, , 于是于是logloga a5.15.1logloga a5.95.9于是于是logloga a5.15.1logloga a5.95.9(3)(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1 1还还是大于是大于0 0小于小于1.1.而已知条件中并未指出底数而已知条件中并未指出底数a a与与1 1哪个哪个大大, ,因此需要对底数因此需要对底数a a进行讨论进行讨论: :1.1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤两个同底数的对数比较大小的一般步骤(1)(1
13、)确定所要考查的对数函数；确定所要考查的对数函数；(2)(2)根据对数底数判断对数函数的单调性；根据对数底数判断对数函数的单调性；(3)(3)比较真数大小，然后利用对数函数的单调性比较真数大小，然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小判断两对数值的大小【提升总结提升总结】2.2.分类讨论的思想的适用情况分类讨论的思想的适用情况（1 1）利用对数函数的增减性比较两个对数的大）利用对数函数的增减性比较两个对数的大小时；小时；（2 2）对底数与）对底数与1 1的大小关系未明确指出时；的大小关系未明确指出时； （3 3）要分情况对底数进行讨论来比较两个对数）要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小
14、时的大小时. .（1 1）loglog0.50.56_log6_log0.50.54 4（2 2）loglog1.51.51.6_log1.6_log1.51.51.41.4（3 3）若）若loglog3 3mlogmlog3 3n,n,则则m_nm_n; ;（4 4）若）若loglog0.70.7mlogmlog0.70.7n,n,则则m_nm_n. . 1.1.填空：填空：B.xy1A.yx1C.1xyD.1yx2.2.（20112011北京高考）若北京高考）若1122loglog0,xy 则（则（ ）D D3. 3. 函数函数y ylogloga a( (x x1)1)2 (2 (a a0, 0, a a1)1) 的图象恒过定点的图象恒过定点 . . （0，-2)2log323xyx4.4.求函数求函数的定义域。的定义域。23x20 x30,xx3,3解解： 因因为为当当且且即即且且时时 函函数数有有意意义义-2log323xyx所以函数所以函数的定义域为的定义域为2,33x xx且且通过本节的学习，说出你的收获。通过本节的学习，说出你的收获。对数函数对数函数数形结合数形结合图图 象象性性 质质概概 念念即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。