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1、第1讲 建模过程及几何相像性建模1、数学模型1.1 数学建模的一般过程为理解数学建模的过程，考虑图1所示的两个世界。假设我们要理解现实世界中的某些行为和现象，以便对该行为的将来作出预料并分析各种情境对该行为的影响。现实世界 数学世界模型数学运算及法则数学结论系统视察到的行为或现象图1 现实世界及数学世界例如，当探讨两个互相作用的物种的种群量时，我们需要知道在它们的环境中物种能否共存，或者是一个物种最终占支配地位而迫使另一个物种灭绝；在用药管理中，要知道正确的剂量以及保持在血液中药物的平安及有效程度的剂量之间的时间。怎样构建数学世界中的数学模型并利用数学模型扶植我们更好地理解现实世界中的系统呢？
2、在探讨怎样把两个世界联络起来之前，先考虑什么是现实世界中的系统以及我们为什么对构建系统的数学模型感爱好。一个系统就是由一些有规律的互相作用或内在的依靠关系联结在一起的对象的集合体。建模者盼望理解一个特定的系统是怎样工作的，是什么造成了系统的变更以及系统对某些变更有多敏感。建模者还盼望预料系统会发生什么样的变更以及何时发生变更。怎样获得这些信息呢？例如，假定目的是要从现实世界所视察到的现象中得出结论。一种方法就是对某些实际行为做试验或试验，然后视察它们对实际行为的影响。如图2所示。实际问题的数据实际行为模型模型 视察 简化 简化 试验 分析 验证 分析实际的预测或说明现实世界的结论数学的结论数学
3、的结论 说明 说明 说明 图2 获得有关系统的行为结论 图3 作为封闭系统的建模过程尽管这种过程可能降低由不那么干脆的方法所引起的保真性的丧式，但是某些状况下我们不盼望遵循这种过程。例如，在诸如确定药物的致命溶度程度或者探讨核电厂故障对旁边人口密集地区的辐射影响时，即使是单个试验的本钱也可能高得令人不敢问津。或者，探讨有人操纵的宇宙飞船的热屏蔽不同设计的时，我们甚至可能不情愿承受单次试验的失败。此外，在探讨电离层组成的特殊的变更及其对极地冰帽相应的影响时，甚至不行能做试验。对图2的考察提示获得有关现实世界的结论的另一种方法，首先对所探讨的行为做特定的视察并识别看来是有关联的因素。通常不行能考虑
4、，或者甚至是识别行为全部有关联的因素，所以做出消去某些因素的假设。例如，当探讨来自核电厂故障造成的辐射影响时，至少开场时可以选择忽视湿度。其次，揣测所选择的因素之间的一些短暂的关系，从而创立一个有关该行为的粗略的模型。有了所建立的模型，应用适当的数学分析来导出有关该模型的结论。留意这些结论只属于该模型，而不属于所探讨的真正的实际系统。考虑到在构建模型时做了某些简化以及基于该模型的视察误差和局限总是会有的，因此，在做出有关实际行为的任何推断之前，必需细致考虑这些异样。综上所述，就得到如下粗略的建模步骤：（1）通过视察，识别有关实际行为的主要因素，可能要做些简化；（2）揣测因素之间的短暂的关系；（
5、3）将数学分析用于所得到的模型；（4）借助实际问题来说明数学结论。1.2 数学模型的概念及性质数学模型是为了探讨特定的实际系统或现象而设计的数学构造，包括图示、符号模拟和试验构造等。数学模型可以进以步加以区分。有些现有的数学模型及某个特定的实际现象是一样的，从而可以用来探讨该现象。有些数学模型是特地来构建并探讨一种特定的现象的。图4说明了模型之间的这种区分。从某个实际现象动身，可以通过构建一个新的模型或选择一个现有的模型数学地表示该现象。另一方面，可以通过试验或模拟来重复该现象。图4 模型的类型行为重复有干脆重复及间接重复之分。干脆重复就是通过做各种试验性的试验来干脆地重复该行为。从这些试验中
6、搜集数据并以某种方式分析数据（如统计的方法、曲线拟合的方法等），从而得出某些结论。例如，预料种群的互相作用、资源的利用以及污染的全局影响等。间接重复就是试图间接地重复该行为，可以利用诸如对力学系统进展建模的电流模拟器、风洞中缩小了尺寸的超因素飞机模型那样的缩微模型，或者试图利用计算机重复一种行为，例如计算机模拟种群的互相作用、资源的利用以及污染的全局影响或早上顶峰期电梯系统的运行等。图4所示的各种模型之间的区分只是为了易于探讨而做的，现实中一个主要的模型可以从现有的模型、模拟和试验中选取若干模型作为子模型。通过比照这些类型的模型并比拟它们描绘现实世界的各种实力可以供应有益的信息。模型具有以下性
7、质：（1）保真性：模型表示现实的准确性。为了证明最大的保真性，我们会期望来自现实世界的干脆视察，即使会产生某种检验的偏向和测量的误差。我们会期望试验模型具有仅次于现实的保真性，因为行为是在诸照试验室那样得到更好限制的环境下干脆视察到的。由于模拟融入了间接的视察，所以进一步失去了保真性。只要构建了数学模型、简化了现实世界的条件，结果就会失去更多的保真性。最终，任何选择的模型都是基于附加的简化，而这些简化甚至不合适特定的问题，从而意味着还会进一步失去保真性。可见保真性的次序如下：实际视察试验模拟构建的数学模型选择的数学模型。（2）成 本：建模过程的总费用。一般地，我们期望所选择的模型本钱最小。构建
8、数学模型要简化所探讨的现象，就要担当相应的附加费用。试验确实立和操作通常是昂贵的。模拟要用到研制起来非常昂贵的间接设备，而且要包括大量的计算机空间、时间和维护费用。可见本钱的次序如下：实际视察模拟试验构建的数学模型选择的数学模型。（3）敏捷性：当搜集到了所需要的数据时，变更和限制影响该模型的诸多条件的实力。构建的数学模型通常是最敏捷的，因为可以相对简洁地选择的建立和条件；选择的模型是不那么敏捷的，因为它们是在特定的条件下研制的。不过，特定的条件常常可以在广泛的范围内变更。为了略微变更假设和条件，模拟通常需要研发一些另外的设备。试验就更不敏捷了，因为某些因素在超过特定条件时是很难限制的。可见敏捷
9、性的次序如下：构建的数学模型选择的数学模型模拟试验实际视察。1.3 数学模型的构建 构建数学模型，一般有如下几个步骤：（1）甄别问题 这一步通常是困难的，因为在现实生活中，没有人会只是简洁地给你一个有待解决的数学问题。通常你必需从大量的数据中搜寻和甄别所探讨问题的某些特定的方面。此外，考虑到要把描绘问题的口头陈述翻译成数学的符号表示，因此在说明问题时要足够准确，重要的是要相识到对问题的答复可能不会干脆导致合用的问题识别。（2）做出假设 一般来说，不能希望在一个合用的数学模型中抓住影响问题识别的全部因素。关键是通过削减所考虑的因素的数目来进展简化。因此，必需确定余下的变量之间的关系。再次是通过假
10、设相对简洁的关系，就可以降低问题的困难性。因此做出假设主要有两方面：(a) 变量分类：是什么影响到（1）所识别的问题的行为？把他们作为变量列出来。模型要说明的因变量（可能有多个），剩下的变量中一局部是自变量。每个列出的量被分为因变量、自变量或两者都不是。有两个理由可以忽视某些变量。首先，相对于及该行为有关的其他因素，这个变量的影响可能较小。其次，以几乎一样的方式影响各种选择的因素可能可以忽视，即使这个因素对所探讨的问题有很重要的影响。例如，考虑确定演讲厅最佳形态的问题，其中黑板或投影仪的易读性是支配准则。照明确定是关键因素，但可能会以几乎同样的方式影响全部可能的形态。通过忽视这种在以后可能会交
11、融进一个分开的、改良的模型中的因素，分析就可能大大简化。(b) 确定探讨中的所选择的变量之间的互相关系：在可以假设变量之间的关系之前，一般必需做出某些进一步的简化。问题可能非常困难，以致于看不出一开场确定的全部变量之间的关系。在这种状况下，可能要探讨子模型，即分别探讨自变量中的一个或几个。最终再把子模型合在一起。（3） 求解或说明模型 把全部的子模型合在一起看看该模型告知我们什么。在某些状况，模型可能包含为得到我们正在寻求的信息，必需要求解的数学方程或不等式。问题的陈述常常要求模型的最好的或最优的解。常常会发觉，为完成这一步我们的打算是很不够的，或者可能会得到一个不会求解或不会说明的难于处理的
12、问题。遇到这种状况，我们或许应当回到（2）并做出另外的简化假设，有时甚至要回到（1）去重新定义问题。（4）验证模型 在可以利用模型之前，必需检验模型。在设计检验和搜集数据之前，要先问几个问题。首先，该模型是否答复了（1）中甄别的问题，或者是否偏离了我们构建该模型的关键问题？其次，该模型有好用价值吗？既我们确实能搜集必要的数据来运作模型吗？第三，模型有普遍意义吗？一旦通过了这种常识性的检验，就要利用由阅历视察得到的实际数据来检验模型。要当心翼翼地以如下方式来设计检验，即在实际应用模型时预期会遇到的各个自变量的取值范围内视察结果。在（2）中所做的假设在一个限定的自变量的范围之内是合理的，但对这个范
13、围之外的值却是很不合理的。例如，牛顿第二定律的常用说明为“作用在物体上的力等于物体的质量乘以物体的加速度”，直到物体的速度趋于光速之前这个定律都是合理的模型。从任何检验中得出的结论都要当心。正如不能简洁地用支持定理的很多特殊情形来证明定理一样，也不能依据模型搜集到的特殊的证据来推出广泛的一般结论。一个模型不能成为一条定律，就是因为定律是在一些特定的情形下重复得到验证的，而模型的合理性要通过搜集到的数据来证明。（5）施行模型 首先要用决策者和用户能懂的术语来说明模型是否对他们有用。其次模型要处于用户看来是好的状态，如经济好用。最终也要包括推动模型运作所必需的数据。（6）修理模型 留意模型是从（1
14、）甄别的特定的问题和（2）中所做的假设推出来的。原先的问题会有变更吗？某些从前忽视的因素会变得重要吗？子模型需要修改吗？假如答复是，就可能要对模型进展修改。1.4 构建模型的迭代性构建模型是一个迭代的过程。从考察一些系统和甄别我们盼望预料或说明的特定行为开场，再识别变量和简化假设，到最终生成一个模型，一般是从一个相当简洁的模型开场，再依据我们确认过程所指示的结果来修改模型。假如我们不能提出一个新的模型或求解我们已有的模型，就必需简化模型。这是通过把某些变量当作常量处理、忽视或者集成某些变量、在子模型中假设简洁的关系或者进一步限制所探讨的问题来完成的。另一方面，假如结果不够准确，就必需改良模型。
15、改良一般及简化相反。它是通过引进额外的变量、假设变量之间的更为困难的关系或者扩展问题的范围来完成的。通过简化和改良，我们确定了模型的一般性、现实性和准确性。不能过分强调这种过程，但是这种过程构成了建模的艺术。 表1 数学建模的艺术：依据需要简化或改良模型 模型简化 模型改良 1 限制问题的识别 1 扩展问题2 忽视一些变量 2 考虑额外的变量3 若干变量合并的效果 3 细致考虑每个变量4 令某些变量为常数 4 允许某些量的变更5 假设简洁的（线性）关系 5 考虑非线性关系6 融入更多的假设 6 削减假设的数量 2、利用比例性建模定义 及成正比例（反比例），记作（）存在常数，使得（）。性质 （1
16、）反身性 ；（2）对称性 ；（3）传递性 ，。几何意义 由比例的定义可知，因此定义了平面上一条通过坐标原点且倾角的直线。因此，并非全部的直线都表示正比例关系：轴上的截距为零且倾角。当应用比例模型时，没有相识到这一点可能会导致错误的结果。例如，假设我们有爱好预料已载货物船只的排水量。因为浮体排出的水量等于排出的水量，所以可以试着假设排出的总水量及已装货物的重量成正比。可是，因为未装货物的船只早已排出了相当于它自身重的水量，所以这个假设是有缺陷的。尽管排出的总水量对已装货物的重量是一条直线，但它不是一条通过原点的直线，所以比例性不正确。比例性模型实际关系a）实际关系b） 图5 比例性作为一种简化的
17、假设事实上，这个比例关系可能是一个依靠于轴上的截距的大小以及直线的斜率的合理的简化假设。因为对较小的来说，它还可能在自变量的定义域之内，但相对误差更大，如图5所示。假如斜率几乎为零，那么比例性可能是一个很差的假设，因为及初始的排水量相比，载货重量的影响显得小了。另一方面，假如初始的排水量比拟小而斜率很大，那么初始的排水量的影响很快就会变小，从而比例性就是一个好的简化假设。 表2 闻名的比例性 虎克定律：，其中是复原力，是被拉长或压缩弦的间隔 。 牛顿定律：或，其中是作用力，是加速度，是物体的质量。 欧姆定律：，其中是电流，是电压，是导线的电阻。 波义耳定律：，其中气体的体积，是压力，是反比例系
18、数。 爱因斯坦的相对论：，其中是光速，是能量，是物体的质量。 开普勒第三定律：T=CR3/2，其中T是周期（天），R是行星到太阳的平均间隔 。 例1 开普勒第三定律1601年，德国天文学家开普勒成为布拉格天文台的台长。开普勒曾经扶植第谷搜集了13年的有关火星的相对运动的视察资料。到1609年，开普勒已经形成了他的头两条定律：（1）每个行星都沿条椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点处。（2）对每个行星来说，在相等的时间里，该行星和太阳的联线扫过相等的面积。开普勒花了很多年来验证并形成了表2中的第三定律，它建立了轨道周期及从太阳到行星的平均间隔 之间的关系。表3中的数据来自1993年的世界年鉴。
19、表3 轨道周期及太阳到行星的平均间隔 行星 周期（天数） 平均间隔 （百万英里）水星 88.0 36金星 224.7 67.25地球 365.3 93火星 687.0 141.75木星 4331.8 483.80土星 10760.0 887.97天王星 30684.0 1764.50海王星 60188.3 2791.05冥王星 90466.8 3653.90 图6画出了周期对平均间隔 的3/2次方的图形。该图形近似于一条通过原点的直线。任取过原点的这条直线上的两点，很简洁地估计其斜率（比例常数）：斜率=（90466.8-88）/（220869.1-216）0.410，估计其模型为。 图6 作为
20、比例性的kepler第三定律3、利用几何相像性建模 3.1 几何相像性的概念 几何相像性是一个及比例性有关的概念，而且有助于简化数学建模的过程。定义 假如两个物体各点之间存在一个一一对应,使得对应点之间的间隔 之比对全部可能的点对都不变（等于一个常数），则称这两个物体是几何相像的。例如，考虑图7中画的两个盒子。令表示图7(a)中的两点和之间的间隔 ，而表示图7(b)中的两点和之间的间隔 。在这两个图形中其他相应的点以及相应的点之间的间隔 都以同样的方式表示。对几何相像的盒子，对某个常数，下式必真这是因为，假如在图7中的两个盒子是几何相像的，那么三角形和必定相像。同样的探讨适用于诸如和那样相应的
21、三角形对。因此，对应角相等的物体是几何相像的。换言之，对于两个几何相像的物体来说，它们的形态是一样的，且一个物体只是另一个物体的简洁放大复制而已。我们可以把几何相像的物体设想为互相按比例确定的复制品，就像建筑制图中全部的尺寸都是按某个常数因子按比例确定的。当两个物体是几何相像时，其结果就是诸如体积和外表积那样的量的某些计算的简化。对于图7中所画的盒子，它们体积之比为外表积之比为图7 两个相像的几何物体一旦规定了比例，不但马上知道这些量的比，而且可以把外表积的比例性通过某个选定的特征量表示出来。假如选择长度作为特征量，那么由于，有于是常数，即外表积和特征量长度的平方成正比：类似地，体积和长度的立
22、方成正比：所以，假如我们对依靠于一个物体的长度、外表积和体积的某个函数，例如感爱好，就可以把全部变量用某个选择好的、诸如长度那样的特征量表示出来，得出几何相像性是一种强有力地简化假设。3.2 检验几何相像性几何相像性的原则供应了确定所搜集的对象之间是否有比例性的一种便利的检验方法。因为几何相像性的定义要求对全部相应的点对之间的间隔 之比是一样的，所以我们可以检验这种要求来看看给定集合中的物体是否是几何相像的。例如，我们知道圆都是几何相像的。假如表示圆的周长，是其直径而是给定的圆心角所对应的弧长，由几何学知道 和 。因此，对任何两个圆及 即当我们沿任何两个圆周行走时，它们相应点之间的间隔 之比总
23、等于它们的直径之比，这种视察支持了圆是几何相像性的合理性。3.3 建模实例例2 从不动的云层落下的雨滴。假定我们对从不动的云层落下的雨滴的终极速度感爱好。考察图6有关自由落体的图解，作用在雨滴上的力仅有重力和阻力。假设作用在雨滴上的空气阻力及雨滴的外表积和雨滴速度的平方的乘积成正比，雨滴的质量和雨滴的重量成正比：在终极速度处有，所以牛顿第二定律简化为假设以及和重量成正比。因为，有。其次我们假设全部的雨滴都是几何相像的。这个假设使我们能把面积和体积联络起来使得对任何特征维数有 和 。因此因为重量和质量及体积成正比，由比例的传递性得记终极速度为，由方程得。对终极速度求解，得 或 。所以雨滴的终极速
24、度及其质量的六分之一次方成正比。例3 钓鱼竞赛中的建模（1）情景 出于爱护的目的，垂钓俱乐部想激励会员在钓到鱼后立刻把它们放生。该俱乐部还盼望依据钓到欲的总重量来赐予以下嘉奖：100磅俱乐部的荣誉会员、大奖赛期间钓鱼总重量冠军，等等。假如不用称，垂钓者怎样确定所钓到的鱼的重量呢？（2）识别问题 我们可以如下地识别该问题：依据某个简洁测量的量来预料鱼的重量。（3）假设 简洁识别出很多影响鱼的重量的因素。依据不同种类的鱼的不同的部位和肉、骨头的密度等，它们会有不同的形态和不同的密度。性别也起着重要的作用，特殊是在产卵季节，不同的季节可能对重量有相当大的影响。因为要寻求垂钓的一般法则，所以一开场只考
25、虑单一鱼种，例如鲈鱼，并且假定这种鱼的平均密度是不变的。以后，假如发觉结果不满足或者确定密度的宏大变更确实存在的话，那么改良模型可能是值得的。此外，还忽视性别和季节因素。因此，一开场我们预料鱼的重量只是其大小（体积）和密度的函数。假设全部的鲈鱼都是几何相像的，任何鲈鱼的体积都是和某个特征量的立方成正比。留意我们没有假定任何特定的形态，而是假定鲈鱼是互相成比例的模型。当对于全部可能的点对，两条不同的鲈鱼相应的点对之间的间隔 之比保持常数时，鲈鱼的根本外型可以是很不规则的。这种思想表达在图8中。总长度总长度总长度 图8 几何相像的鱼只是简洁地成比例的数学模型如今选择鱼的长度作为特征量。因此，鲈鱼的
26、体积具有比例性因为重量等于体积乘以平均密度，并且我们假定平均密度是常数，由此马上得到（4）验证模型 考虑在垂钓大奖赛期间搜集到的数据：长度l(英寸): 14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625重量w（盎司）：27 17 41 26 17 49 23 16假如模型是正确的，那么对的图形应当是一条过原点的直线。图9给出了展示为近似直线的图形（留意这里这种推断是定性的，可以用所搜集到的数据的最佳拟合模型的解析方法求解）。依据迄今给出的少量数据，至少是为了进一步检验该模型，我们承受该模型。因为数据点（14.53，26）位于所画直线之上，可以估计得到
27、该直线的斜率为26/3049=0.00853，从而得出模型 （1）当然，假如把直线画得略微不同一些，那么就会得到略微不同的斜率。（用数据拟合的方法可以求得使模型和给定数据点之间的平方的偏向之和微小的系数为）。模型（1）的图形如图9所示。图9假如模型是正确的，那么对的图形应当是一条过原点的直线模型（1）供应了一种便利的普遍法则，以下是依据模型计算得出的数据：长度l（英寸）：12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 重量w（盎司）：15 19 23 29 35 42 50 59 68 79 91 104 118 133 150即使依据所得到的有限的数
28、据来看，模型好像是合理的，但垂钓者也可能不喜爱这个法则。因为该法则并不嘉奖钓到肥鱼：该模型以同样的方式来对待肥鱼和瘦鱼。我们来探讨一下，用鱼的横截面是相像的假设来代替鱼都是几何相像的假设。这并不意味着鱼的横截面要有特殊的形态，而只是要求满足几何相像的定义。我们选后面要定义的腰围作为特征量。如今假设鱼的重量主要来自鱼的主体。鱼的头和尾占总重量的比重相对小些，以后假如证明我们的模型应当改良的话，可以把常数项加进去。其次假定主体的横截面是可变的。于是鱼的体积就可以通过平均横截面的面积乘以其有效长度来求得：怎样测量有效长度和平均横截面的面积呢？垂钓者和以前一样，测量鱼的长度并假设比例性。为估计平均截面
29、面积，垂钓者要带一个布制量尺并测量鱼的最宽处的周长，称这个测量值为腰围。假设平均横截面的面积和腰围的平方成正比。把这两个比例性假设结合起来就给出：最终，和以前一样假设密度不变，使得对某个正常数有做出了若干假设之后，可以对我们的模型做一个初步的检验。再次考虑以下数据。长度l（英寸）：14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625 腰围g（英寸）：9.75 8.375 11.0 9.75 8.5 12.5 9.0 8.5重量w（盎司）： 27 17 41 26 17 49 23 16因为模型提出了和之间的比例性，考虑对的散点图，如图10所示。散点 图
30、10检验和之间的比例性数据近似位于一条过原点的直线上，所以比例性的假设是合理的。如今对应于鱼的重量为41盎司的点正好位于图10所示的直线上，所以可以估算斜率为（用数据拟合的方法可以求得使模型和给定数据点之间的平方的偏向之和微小的系数为），于是得出模型 。 （2）垂钓者或许会对新法则（2）感爱好，因为要长增加一倍导致鱼的重量增加到原来的四倍。例4 汽车燃油里程（1）情景 在石油短缺及能源禁运造成的能源危机期间，人们总是想要理解油料开支是怎样因车速而变更的。我们觉得一低速和低排挡行驶时，汽车转换能量的效率不高，而高速行驶时作用在汽车上的阻力会快速增加。于是以下的期望看来是合理的，即存在一个或多个速
31、度，汽车以这些速度行驶会产生最优的燃油里程（每加仑燃油行驶的最大公里数）。假如确实如此，那么低于或超过该速度，燃油里程数就会削减，理解这种削减是怎样产生的会很有好处。有报道称：时速超过50英里/小时后，每增加5英里/小时就要损失行驶1英里的耗油。在某货运公司，那些坚持以55英里/每小时行驶的司机削减了12%的耗油，每年节约631000加仑的燃油。一般认为驾驶最佳油小的范围在35-45/小时。（2）识别问题 什么是汽车的速度及燃油之间的关系？通过对这个问题的答复，我们可以评估这条法则的准确性。（3）假设 让我们来考虑影响燃油里程的因素。首先是推动汽车前行的动力。这些力取决于燃料燃烧供应的功率、发
32、动机转换潜在功率的效率、齿轮比、空气的湿度以及包括车速在内的很多其他因素。其次是阻碍汽车前进的阻力，包括依靠于汽车重量的摩擦效应、车胎的类型和状况以及路面的状况。空气的阻力是另一种阻力，它依靠于车速、车辆的外表积和形态、风速以及空气的密度。此外还有司机的驾驶习惯，以常速驾驶还是不断地加速？路面平坦还是坎坷？等等。因此燃油里程（推动力，阻力，驾驶习惯，等等）。很明显，假如要考虑车型、司机习惯以及路面状况的全部可能的组合，对原问题的答复将会很烦琐。因为做这样的探讨实在是心有余而力缺乏，所以要限制待处理的问题。（4）限制的问题识别 对于一位特定的司机来说，某天驾驶着汽车在平坦的高速马路上，为了节约燃
33、油而在最优速度旁边以不变的速度行驶。在这样的限制问题下，可以认为诸如空气的湿度、空气的密度和路面状况那样的环境都是不变的。因为我们已经规定了司机正在驾驶的车，确定了车的状况、车的形态和外表以及燃油的种类。通过限制驾驶的速度在最优速度旁边，得到了发动机效率不变以及在车速变更小时齿轮比不变的简化假设。限制原来提出的问题是获得简洁处理的模型的强有力的方法。图示报刊上给出的阅历法则。假如你画出每加仑损失的英里数对速度削减50的图形，那将是图9所示的一条过原点的直线。我们来看看这个线性图形是否认性正确。因为汽车是以常速度行驶的，所以加速度为零。于是，牛顿第二定律给出的合力必为零，或者推动力及阻力必相等，
34、即其中分别表示推动力和阻力。首先考虑推动力。每加仑汽油包含确定的能量（记为）。假如表示单位时间的耗油，那么就表示该车可利用的功率。假定功率的转化率是不变的，由此得出转换后的功率及成正比。因为对常力而言，功率等于力和速度的乘积，于是得如下的比例性关系通过进一步假设燃油转换成能量的比率不变，上面的比例性关系简化为 。 （3）如今来考虑阻力。因为我们把问题限制为高速马路上的速度，及空气阻力相比拟，假设摩擦力很小是合理的。在高速马路的速度下，这些阻力的一个有意义的子模型为其中是垂直于汽车运动方向的汽车的横截面面积。因为在我们的限定问题中是常数，故得于是 。 （4）比例性（4）给出了然油消耗率应当以速度
35、的立方的定性信息。但是，燃油消耗率并不能很好地反映燃油的效率：尽管比例性（4）说明汽车高速行驶时在单位时间里用掉更多的燃油，但汽车也开得更快了。所以，我们定义燃油里程如下： 燃油里程数。 （5）因此，汽车里程和速度的平方成反比。4、习题1、车辆的停顿的间隔 考虑常常在司机培训班上给出的下列规则：正常的驾驶条件对车及车之间的跟随间隔 要求是每10英里的速率可以允许一辆车距的跟随间隔 ，但在不利的天气和道路条件下跟随间隔 可以更长。做到这点的一种方法就是利用2秒法则，这种方法不管车速为多少，都能测量出正确的跟随间隔 。看着你前面的汽车刚刚驶过的一个高速马路上涂有柏油的地方或立交桥的影子那样的固定点
36、，然后默数“一千零一，一千零二”，这就是2秒。假如你在默数完这句话之前就到了这个记号处，那么你的车和前面的车靠得太近了。很简洁执行上述法则，但该法则好吗？试依据如下的数据建立车辆停顿间隔 的模型。 表4 视察到的反映间隔 和刹车间隔 速率 司机的反映间隔 刹 车 距 离 总的停顿间隔 （英里/小时） （英尺） （英尺） （英尺） 20 22 18-22 （20） 40-44 （42） 25 28 25-31 （28） 53-59 （56） 30 33 36-45 （40.5） 69-78 （73.5） 35 39 47-58 （52.5） 86-97 （91.5） 40 44 64-80 （7
37、2） 108-124 （116） 45 50 82-103 （92.5） 132-153 （142.5） 50 55 105-131 （118） 160-186 （173）55 61 132-165 （148.5） 193-226 （209.5）60 66 162-202 （182） 228-268 （248）65 72 196-245 （220.5） 268-317 （292.5）70 77 237-295 （266） 314-372 （343）75 83 283-353 （318） 366-436 （401）80 88 334-418 （376） 422-506 （464）2、超级明星 在
38、电视节目“超级明星”中来自各种运动工程的顶尖运发动在各种活动中互相竞争。运发动在高度和体重方面差异很大。为了在举重竞赛中对此作出补偿，要从运发动举起的重量中减去其体重。这示意了什么样的关系？利用下表来说明这种关系： 表5 1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成果 级别 最大体重（千克） 抓举 （千克） 挺举（千克） 总重量（千克） （1） 54 132.5 155 287.5（2） 59 137.5 170 307.5 世界记录（3） 64 147.5 187.5 335.0（4） 70 162.5 195 357.5 世界记录（5） 76 167.5 200 367.5（6） 83 180 212.5 392.5 世界记录（7） 91 187.5 213 402.5（8） 99 185 235 420.0 世界记录（9） 108 195 235 430.0 （10） 超过108 197.5 260 457.5 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例。利用这个强度子模型，建立一个表示举重实力和体重之间关系的模型。列出全部的假设，是否必需假设全部的举重运发动都是几何相像的吗？用所供应的数据来检验你的模型。如今再来考虑模型的改良。假定体重中有一局部是及成年人的尺寸无关的。提出一个把这种改良交融进去的模型并对供应的数据做检验。