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1、12 复合函数零点问题一、典型例题例1：设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则_例2：关于的方程的不一样实根的个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计及及的交点总数即可，共有5个答案：C例3：已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：， 则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，所以，解得 答案：例4：已知定义在上的奇函数，当时，则关于的方程的实数根个数为（ ）A. B. C. D. 思路：已知方程可解，得，只需统计及的交点个数
2、即可。由奇函数可先做出的图像，时，则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，留意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（ ）A3 B4 C5 D6思路：由极值点可得：为 的两根，视察到方程及构造完全一样，所以可得的两根为，其中，若，可推断出是极大值点，是微小值点。且，所以及有两个交点，而及有一个交点，共计3个；若，可推断出是微小值点，是极大值点。且，所以及有两个交点，而及有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6：
3、已知函数，若方程恰有七个不一样的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：答案：B例7：已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：，分析的图像以便于作图，时，从而在单调递增，在单调递减，且当，所以正半轴为程度渐近线；当时，所以在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于的方程中，从而将问题转化为根分布问题，设，则的两根，设，则有，解得答案：C小炼有话说：本题是作图及根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关
4、键点来进展作图，在作图的过程中还要留意渐近线的细微环节，从而保证图像的精确。例8：已知函数，则下列关于函数的零点个数推断正确的是（ ）A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但须要对的符号进展分类探讨。当时，图像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一个满意的，所以共一个零点。结合选项，可推断出A正确答案：A例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根
5、最多有_个思路：先通过分析的性质以便于作图，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取能对应较多的状况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需推断中，能在获得的值的个数即可，视察图像可得，当时，可以有2个，从而可以找到6个根，即最多的根的个数答案：6个例10：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根则正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能获得的值，从而统计出的总数。（1）中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；（3）中可得，进而有1个对应的 ，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：，进而有2个对应的 ，有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有2个答案：B