《同济第六版高等数学教案WORD版第02章导数及微分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第六版高等数学教案WORD版第02章导数及微分.docx（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二章 导数及微分教学目的： 1、理解导数和微分的概念及微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量，理解函数的可导性及连续性之间的的关系。 2、娴熟驾驭导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，娴熟驾驭根本初等函数的导数公式，理解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 理解高阶导数的概念，会求某些简洁函数的n阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点： 1、导数和微分的概念及微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、
2、根本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念 一、引例 1直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t), 求动点在时刻t0的速度. 考虑比值这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 假如时间间隔选较短, 这个比值在理论中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不准确的, 更确地应当这样: 令t -t00, 取比值的极限, 假如这个极限存在, 设为v ,
3、即这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2切线问题 设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 假如割线绕点旋转而趋于极限位置MT, 直线就称为曲线有点处的切线. 设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 如今要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0)处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, xx0. 假如当x 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率.
4、这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0)且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数及导函数 从上面所探讨的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), xx0相当于Dx 0, 于是成为 或. 定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处获得增量Dx(点x0+Dx仍在该邻域内)时, 相应地函数y获得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0); 假如Dy及Dx之比当Dx0时的
5、极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为, 即也可记为, 或. 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 在实际中, 须要探讨各种具有不同意义的变量的变更“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变更率问题. 导数概念就是函数变更率这一概念的准确描绘. 假如极限不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不行导. 假如不行导的缘由是由于, 也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大. 假如函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间I
6、内可导, 这时, 对于任一x I, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数, 记作 , , 或. 导函数的定义式: f (x0)及f (x)之间的关系: 函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点x=x0处的函数值, 即 导函数f (x)简称导数, 而f (x0)是f(x)在x0处的导数或导数f (x)在x0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f(x)在的左导数:; f(x)在的右导数:. 假如极限存在, 则称此极限值为函数在x0的左导数. 假如极限存在, 则称此极限值为函数在x0的右导数.导数及
7、左右导数的关系: . 2求导数举例 例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数. 解: . 即 (C ) =0. 例2. 求的导数. 解: . 例3. 求的导数. 解: 例2求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数. 解: f (a)(x n-1+ax n-2+ +a n-1)=na n-1. 把以上结果中的a 换成x 得 f (x)=nx n-1, 即 (x n)=nx n-1. (C)=0, , , . 更一般地, 有(x m)=mx m-1 , 其中m为常数. 例3求函数f(x)=sin x 的导数. 解: f (x)即 (sin x)=cos x . 用类似的方法, 可求
8、得 (cos x )=-sin x . 例4求函数f(x)= a x(a0, a 1) 的导数. 解: f (x) 特殊地有(e x )=e x . 例5求函数f(x)=log a x (a0, a 1) 的导数. 解: 解:即 . : 特殊地 . 3单侧导数: 极限存在的充分必要条件是 及都存在且相等. f(x)在处的左导数:, f(x)在处的右导数:. 导数及左右导数的关系: 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f -(x0) 和右导数f +(x0)都存在且相等. 假如函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f +(a) 和左导数f -(b)都存在, 就说f(x
9、)有闭区间a, b上可导. 例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数. 解: , 因为f -(0) f +(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不行导. 四、导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即 f (x 0)=tan a , 其中a是切线的倾角. 假如y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处具有垂直于x轴的切线x=x0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(
10、x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0). 过切点M(x0, y0)且及切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线假如f (x0)0, 法线的斜率为, 从而法线方程为 例8. 求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: , 所求切线及法线的斜率分别为 所求切线方程为, 即4x+y-4=0. 所求法线方程为, 即2x-8y+15=0. 例9 求曲线的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x0, 则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为 依据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此解之得x0=4. 于是所求切线的方程
11、为 , 即3x-y-4=0. 四、函数的可导性及连续性的关系 设函数y=f(x)在点x0 处可导, 即存在. 则这就是说, 函数y=f(x)在点x0 处是连续的. 所以, 假如函数y=f(x)在点x处可导, 则函数在该点必连续. 另一方面, 一个函数在某点连续却不肯定在该点处可导.x 例7 函数在区间(-, +)内连续, 但在点x=0处不行导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大 2. 2 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 假如函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数, 并且 u(x) v(x)=u
12、(x) v(x) ; u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); 证明 (1) =u(x)v(x). 法则(1)可简洁地表示为 (uv)=uv . (2) =u(x)v(x)+u(x)v(x), 其中v(x+h)=v(x)是由于v(x)存在, 故v(x)在点x连续. 法则(2)可简洁地表示为 (uv)=uv+uv. (3) 法则(3)可简洁地表示为 (uv)=uv, (uv)=uv+uv, . 定理1中的法则(1)、(2)可推广到随意有限个可导函数的情形. 例如, 设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导, 则有 (u+v-w)=u+v-w. (uvw)=(uv)w=(uv
13、)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw. 即 (uvw) =uvw+uvw+uvw. 在法则(2)中, 假如v=C(C为常数), 则有 (Cu)=Cu. 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y 解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7)= 2 (x 3)- 5( x 2)+ 3( x) =23x 2-52x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f (x)及. 解: , 例3y=e x (sin x+cos x), 求y. 解: y=(e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x
14、) = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4y=tan x , 求y. 解: 即 (tan x)=sec2x . 例5y=sec x, 求y. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)=sec x tan x . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)=-csc2x , (csc x)=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则 定理2 假如函数x=f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f (y)0, 那么它的反函数y=f -1(x)在对应区间Ix=x|x=f(y), yIy
15、内也可导, 并且 . 或. 简要证明: 由于x=f(y)在I y内单调、可导(从而连续), 所以x=f(y)的反函数y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在I x内也单调、连续. 任取x I x, 给x以增量Dx(Dx0, x+DxI x), 由y=f -1(x)的单调性可知 Dy=f -1(x+Dx)-f -1(x)0, 于是因为y=f -1(x)连续, 故从而 上述结论可简洁地说成: 反函数的导数等于干脆函数导数的倒数. 例6设x=sin y, 为干脆函数, 则y=arcsin x是它的反函数. 函数x=sin y在开区间内单调、可导, 且 (sin y)=cos y0. 因此, 由反
16、函数的求导法则, 在对应区间I x=(-1, 1)内有 类似地有: . 例7设x=tan y, 为干脆函数, 则y=arctan x是它的反函数. 函数x=tan y在区间内单调、可导, 且 (tan y)=sec2 y0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-, +)内有 类似地有: . 例8设x=a y(a0, a 1)为干脆函数, 则y=loga x是它的反函数. 函数x=a y在区间I y=(-, +)内单调、可导, 且 (a y)=a y ln a 0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(0, +)内有 到目前为止, 所根本初等函数的导数我们都求出来了
17、, 那么由根本初等函数构成的较困难的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3 假如u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=fg(x)在点x可导, 且其导数为 或. 证明: 当u=g(x)在x的某邻域内为常数时, y=fj(x)也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时, Du0, 此时有 = f (u)g (x ). 简要证明: 例9 , 求. 解 函数可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此 例10 , 求. 解 函数是由y=sin u , 复合而
18、成的, 因此 . 对复合函数的导数比拟娴熟后, 就不必再写出中间变量, 例11lnsin x, 求. 解: . 例12, 求. 解: . 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=j(v), v=y(x), 则 例13y=lncos(e x), 求. 解: 例14, 求. 解: 例15设x0, 证明幂函数的导数公式 (x m)=m x m-1. 解 因为x m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)=(e m ln x)= e m ln x(m ln x)= e m ln xm x-1=m x m-1. 四、根本求导法则及导数公式 1根本
19、初等函数的导数:(1)(C)=0,(2)(xm)=m xm-1,(3)(sin x)=cos x,(4)(cos x)=-sin x,(5)(tan x)=sec2x,(6)(cot x)=-csc2x,(7)(sec x)=sec xtan x,(8)(csc x)=-csc xcot x,(9)(a x)=a x ln a,(10)(e x)=ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) .(15) ,(16) . 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x), v=v(x)都可导, 则(1)(u v)=uv,(2)(C u)=C u,(3)(u v)=uv+uv,(4). 3反
20、函数的求导法则 设x=f(y)在区间Iy 内单调、可导且f (y)0, 则它的反函数y=f -1(x)在Ix=f(Iy)内也可导, 并且 . 或. 4复合函数的求导法则 设y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y=fg(x)的导数为 或y(x)=f (u)g(x). 例16. 求双曲正弦sh x的导数. 解: 因为, 所以即 (sh x)=ch x. 类似地, 有 (ch x)=sh x. 例17. 求双曲正切th x的导数. 解: 因为, 所以 例18. 求反双曲正弦arsh x的导数. 解: 因为, 所以 由, 可得. 由, 可得. 类似地可得, . 例19
21、y=sin nxsinn x (n为常数), 求y. 解: y=(sin nx) sin n x + sin nx (sin n x) = ncos nx sin n x+sin nx n sin n-1 x (sin x ) = ncos nx sin n x+n sin n-1 x cos x =n sin n-1 x sin(n+1)x . 2. 3 高阶导数 一般地, 函数y=f(x)的导数y=f (x)仍旧是x 的函数. 我们把y=f (x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数, 记作 y、f (x)或, 即 y=(y), f (x)=f (x) , . 相应地, 把y=f(x)的导
22、数f (x)叫做函数y=f(x)的一阶导数. 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, , 一般地, (n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y, y (4), , y (n) 或, , , . 函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函数f(x)为n 阶可导. 假如函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. y称为一阶导数, y, y, y (4), , y(n)都称为高阶导数. 例1y=ax +b , 求y. 解: y=a, y=0. 例2s=sin
23、w t, 求s. 解: s=w cos w t , s=-w 2sin w t . 例3证明: 函数满意关系式y 3y+1=0. 证明: 因为, 所以y 3y+1=0. 例4求函数y=ex 的n 阶导数. 解; y=ex , y=ex , y=ex , y( 4)=ex , 一般地, 可得 y( n)=ex , 即 (ex)(n)=ex . 例5求正弦函数及余弦函数的n 阶导数. 解: y=sin x, 一般地, 可得 , 即. 用类似方法, 可得. 例6求对函数ln(1+x)的n 阶导数 解: y=ln(1+x), y=(1+x)-1, y=-(1+x)-2, y=(-1)(-2)(1+x)
24、-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 一般地, 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n, 即 . 例6求幂函数y=xm (m是随意常数)的n 阶导数公式. 解: y=mxm-1, y=m(m-1)xm-2, y=m(m-1)(m-2)xm-3, y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4, 一般地, 可得 y (n)=m(m-1)(m-2) (m-n+1)xm-n , 即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) (m-n+1)xm-n . 当m=n时, 得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) 3 2 1=n! . 而 (x
25、n)( n+1)=0 . 假如函数u=u(x)及v=v(x)都在点x 处具有n 阶导数, 那么明显函数u(x)v(x)也在点x 处具有n 阶导数, 且 (uv)(n)=u(n)+v(n) . (uv)=uv+uv (uv)=uv+2uv+uv, (uv)=uv+3uv+3uv+uv , 用数学归纳法可以证明这一公式称为莱布尼茨公式. 例8y=x2e2x , 求y(20). 解: 设u=e2x , v=x2, 则 (u)(k)=2k e2x (k=1, 2, , 20), v=2x , v=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, , 20), 代入莱布尼茨公式, 得 y (20)=(u v)
26、(20)=u(20)v+C 201u(19)v+C 202u(18)v =220e2x x2+20 219e2x 2x218e2x 2 =220e2x (x2+20x+95). 2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变更率 一、隐函数的导数 显函数: 形如y=f(x)的函数称为显函数. 例如y=sin x , y=ln x+e x . 隐函数: 由方程F(x, y)=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x+y3 -1=0确定的隐函数为y . 假如在方程F(x, y)=0中, 当x取某区间内的任一值时, 相应地总有满意这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F(x, y)
27、=0在该区间内确定了一个隐函数. 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不行能的. 但在实际问题中, 有时须要计算隐函数的导数, 因此, 我们盼望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能干脆由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例1求由方程e y+xy-e=0所确定的隐函数y的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y)+(xy)-(e)=(0), 即 e y y+y+xy=0, 从而 (x+e y0). 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y=f(x)在x=0处的导数y|x=0. 解: 把方程两边分别对x求导数得 5y
28、y+2y-1-21x 6=0,由此得 . 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 例3. 求椭圆在处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得从而 . 当x=2时, , 代入上式得所求切线的斜率 所求的切线方程为 , 即. 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得 将x=2, , 代入上式得于是 k=y|x=2. 所求的切线方程为 , 即. 例4求由方程所确定的隐函数y的二阶导数. 解: 方程两边对x求导, 得于是 . 上式两边再对x求导, 得 对数求导法: 这种方法是先在y=f(x)的两边取对数, 然后再求出y的导数. 设y=f(x), 两边取对数, 得 ln y = ln
29、f(x), 两边对x 求导, 得 y= f(x)ln f(x). 对数求导法适用于求幂指函数y=u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数. 例5求y=x sin x (x0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y=sin x ln x, 上式两边对x 求导, 得于是 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin xln x , 例6. 求函数的导数. 解: 先在两边取对数(假定x4), 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式两边对x求导, 得于是 .当x1时, ; 当2x4, x1, 2x3三种状况探讨
30、, 但结果都是一样的. 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y及x的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 在实际问题中, 须要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们盼望有一种方法能干脆由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x=j(t)具有单调连续反函数t=j-1(x), 且此反函数能及函数y=y(t)构成复合函数y=yj-1(x) , 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则即 或. 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则. 例7. 求椭圆在相应于点处的切线方程. 解: . 所求切线的斜率为.
31、 切点的坐标为, . 切线方程为, 即 bx+ayab =0. 例8抛射体运动轨迹的参数方程为, 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向. y=v2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的程度重量及铅直重量分别为 x (t)=v1, y(t)=v2-gt, 所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为 再求速度的方向, 设a是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 已知x=j(t), y=y(t), 如何求二阶导数y? 由x=j(t), , 例9计算由摆线的参数方程所确定的函数y=f(x)的二阶导数. 解: (t2np, n为整数). (t2np, n为整数). 三、相关变更率 设x=x(t)及y=
32、y(t)都是可导函数, 而变量x及y间存在某种关系, 从而变更率及间也存在肯定关系. 这两个互相依靠的变更率称为相关变更率. 相关变更率问题就是探讨这两个变更率之间的关系, 以便从其中一个变更率求出另一个变更率. 例10一气球从分开视察员500f处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m时, 视察员视线的仰角增加率是多少？ 解 设气球上升t(秒)后, 其高度为h, 视察员视线的仰角为a, 则其中a及h都是时间t的函数. 上式两边对t求导, 得 已知(米/秒). 又当h=500(米)时, tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得所以 (弧度/秒). 即视察
33、员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度. 2. 5 函数的微分 一、微分的定义 引例 函数增量的计算及增量的构成. 一块正方形金属薄片受温度变更的影响, 其边长由x0变到x0+Dx, 问此薄片的面积变更了多少？ 设此正方形的边长为x, 面积为A, 则A是x的函数: A=x2. 金属薄片的面积变更量为 DA=(x0+Dx)2-(x0)2 =2x0Dx +(Dx)2. 几何意义: 2x0Dx表示两个长为x0宽为Dx 的长方形面积; (Dx)2表示边长为Dx的正方形的面积. 数学意义: 当Dx0时, (Dx)2是比Dx 高阶的无穷小, 即(Dx)2=o(Dx); 2x0Dx是Dx的线性函数, 是DA
34、的主要局部, 可以近似地代替DA. 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义, x0及x0+Dx在这区间内, 假如函数的增量 Dy =f(x0+Dx)-f(x0)可表示为 Dy=ADx+o(Dx), 其中A是不依靠于Dx的常数, 那么称函数y=f(x)在点x0是可微的, 而ADx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分, 记作 dy, 即 dy =A Dx. 函数可微的条件: 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导, 且当函数f(x)在点x0可微时, 其微分肯定是 dy=f (x0)Dx. 证明: 设函数f(x)在点x0可微, 则按定义有 Dy=ADx+
35、o(Dx), 上式两边除以Dx, 得于是, 当Dx0时, 由上式就得到因此, 假如函数f(x)在点x0可微, 则f(x)在点x0也肯定可导, 且A=f (x0). 反之, 假如f(x)在点x0可导, 即存在, 依据极限及无穷小的关系, 上式可写成其中a0(当Dx0), 且A=f(x0)是常数, aDx =o(Dx). 由此又有 Dy =f (x0)Dx+aDx . 因且f (x0)不依靠于Dx, 故上式相当于 Dy=ADx+o(Dx), 所以f(x)在点x0 也是可导的. 简要证明: 一方面 别一方面 以微分dy近似代替函数增量 Dy的合理性: 当f (x0)0时, 有 Dy=dy+o(d y
36、). 结论: 在f (x0)0的条件下, 以微分dy=f (x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 在|Dx|很小时, 有近似等式 Dydy . 函数y=f(x)在随意点x的微分, 称为函数的微分, 记作dy或 d f(x), 即 dy=f (x)Dx , 例如 d cos x =(cos x)Dx =-sin x Dx ; dex=(e x)Dx=exDx . 例1 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分. 解 函数y=x2在x=1处的微分为 dy=(x2)|x=1Dx=2Dx; 函数y=x2在x=3处的微分为 dy=(x2)|x=3Dx=
37、6Dx . 例2求函数 y=x3当x=2, Dx =0. 02时的微分. 解: 先求函数在随意点x 的微分 dy=(x3)Dx=3x2Dx . 再求函数当x=2, Dx=0. 02时的微分 dy|x=2, Dx=0.02 =3x2| x=2, Dx=0.02 =3220.02=0.24. 自变量的微分: 因为当y=x时, dy=dx=(x)Dx=Dx, 所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分, 记作dx, 即dx=Dx. 于是函数y=f(x)的微分又可记作 dy=f (x)dx. 从而有 . 这就是说, 函数的微分dy及自变量的微分dx之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.
38、 二、微分的几何意义当Dy 是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|Dx|很小时, |Dy-dy|比|Dx|小得多. 因此在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、根本初等函数的微分公式及微分运算法则 从函数的微分的表达式 dy =f (x)dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得假如下的微分公式和微分运算法则. 1. 根本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式: (x m)=m x m-1 d (x m)=m x m-1d x (sin x)=cos x d (sin x)=cos x d x (cos x)=-sin x d (cos x)=-sin x d x (tan x)=sec 2 x d (tan x)=sec 2x d x (cot x)=-csc 2x d (cot x)=-csc 2x d x (sec x)=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x d x