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1、-【数学】2010年高考数学试题分类汇编立体几何(解答题)-第 22 页2010年高考数学试题分类汇编立体几何（2010上海文数）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=-2r(0r0,所以“在（-，+）内
2、无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围（2010北京理数）（16）（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF/AG，且EF=1，AG=AC=1. 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF/平面EG， 因为平面BDE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE. （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面AB
3、CD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-. 则C（0，0，0），A（，0），B（0，0）. 所以，. 所以, 所以,. 所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量. 设平面ABE的法向量,则，. 即所以且 令则. 所以. 从而。 因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为.（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积.本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础
4、知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小为arctan2
5、(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4分(2)设平面BMC的一个法向量为=(x,y,z)=(0,
6、-1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2)取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos9分(3)易知，SOBCSBCDA设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1)(1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dVMOBC12分（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45.（）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
7、 （）证明CD平面ABF；（）求二面角B-EF-A的正切值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.在RtCDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.()证明：过点B作BG/CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.()解：由（）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNNMEF，交BC于M，则为二面角B-EF
8、-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.由已知，可得GM=.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.（2010天津理数）（19）（本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异
9、面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，
10、同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为（2010广东理数）18.（本小题满分14分）如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点平面AEC外一点F满足，FE=a 图5 （1）证明：EBFD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值（2）设平
11、面与平面RQD的交线为.由BQ=FE,FR=FB知, .而平面，平面，而平面平面= ，由（1）知，平面，平面，而平面， 平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中，故平面与平面所成二面角的正弦值是 （2010广东文数）18.（本小题满分14分）如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离. （1）证明：点E为弧AC的中点（2010福建文数）20 （本小题满分12分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E
12、与B1不重合），且EH/A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。 （I）证明：AD/平面EFGH； （II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .（201
13、0四川文数）（18）（本小题满分12分）在正方体ABCDABCD中，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（2010湖北文数）18.（本小题满分12分） 如图，在四面体ABOC中，OCOA。OCOB，AOB=120，且OA=OB=OC=1（）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQOA；（）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=2，BC=2AE=4，三角形
14、PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【解析】（）证明：因为ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因为，所以平面PCD平面PAC；（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又ABCD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；（）由（）知，所以，又A
15、CED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为=。（2010湖南理数）（2010湖北理数）18 (本小题满分12分)如图， 在四面体ABOC中, , 且（）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；（）求二面角的平面角的余弦值。（2010福建理数）概率为。（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思
16、想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值时，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。（2010安徽理数）18、（本小题满分12分） 如图，在多面体中
17、，四边形是正方形，为的中点。 ()求证：平面；()求证：平面；()求二面角的大小。（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC
18、。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。ww