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1、第1讲 找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2，4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。二、精讲精练【例题1】在括号内填上适宜的数。13，6，9，12， ， 21，2，4，7，11， ， 32，6，18，54， ， 练习1：在括号内填上适宜的数。12，4，6，8，10， ， 21，2，5，10，17，
2、 ， 32，8，32，128， ， 41，5，25，125， ， 512，1，10，1，8，1， ， 【例题2】先找出规律，再在括号里填上适宜的数。115，2，12，2，9，2， ， 221，4，18，5，15，6， ， 练习2：按规律填数。12，1，4，1，6，1， ， 23，2，9，2，27，2， ， 318，3，15，4，12，5， ， 41，15，3，13，5，11， ， 51，2，5，14， ， 【例题3】先找出规律，再在括号里填上适宜的数。12，5，14，41， 2252，124，60，28， 31，2，5，13，34， 41，4，9，16，25，36， 练习3：按规律填数。12，
3、3，5，9，17， ， 22，4，10，28，82， ， 394，46，22，10， ， 42，3，7，18，47， ， 【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。51091471211169141319327124363612 3练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。37598121014121614184161683232166451512721189273【例题5】按规律填数。1187，286，385， ， 233125414123464335242练习5：根据规律，在空格内填数。1198，297，396， ， 32543864214526653257237253895
4、2345277534253第2讲 有余除法一、知识要点把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全局部完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否那么还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。在有余数的除法中，要记住：1余数必须小于除数；2被除数商除数余数。二、精讲精练【例题1】 68 ，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是_，根据_，余数可填_.根据_，又商、
5、除数、余数，可求出最大的被除数为68553，最小的被除数为_。列式如下：_答：被除数最大是53，最小是_。练习1：(1)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。 83 (2)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。 47 (3)下题中要使除数最小，被除数应为_。 124【例题2】算式 8 中，被除数最小是几？【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为_，那么除数那么为_。根据这些，我们就可求出被除数最小为：8_。练习2：(1)下面算式中，被除数最小是几？ 4 7 9(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ 3 6(3)算式 8 中，商和余数都相等，
6、那么被除数最大是几？【例题3】算式28 4中，除数和商分别是_和_。【思路导航】根据“被除数商除数余数，可以得知“商除数被除数余数，所以此题中商除数28424。这两个数可能是1和24，_和_，_和_，_和_，又因为余数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为_，_，_，_。 _答：除数和商分别是24，1；_，_；_，_；_，_。练习3：(1)下面算式中，除数和商各是几？22 4 65 237 7 48 6(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。_(3)算式 4 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？_【例题4】算式 7 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路
7、导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。7118 72216 7332474432 75540 76648答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。练习4：(1) 以下算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 6 5 4 3 (2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。(3) 算式 9 中，商和余数相等，被除数最大是_。【例题5】算式 4中，除数和商相等，被除数最小是几？【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以除数必须比4大，但其中要
8、求最小的被除数，因而除数应填_，商也是_。由算式_，所以被除数最小是_。练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？(1) 6 (2) 8(3) 3 (4) 9(5) 7第3讲 配对求和一、知识要点被人称为“数学王子的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+99+100的结果。小高斯是用什么方法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。数列的第一个数第一项叫首项，最后一个数最后一项叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数那么称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等
9、差数列的和首项末项项数2末项首项公差项数1项数末项首项公差1二、精讲精练【例题1】你有好方法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10练习1：速算。(1) 1+2+3+4+5+20 (2) 1+2+3+4+99+100(3) 21+22+23+24+100【例题2】计算。(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多
10、少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。练习4：计算。(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2021+2021(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-
11、19 【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16第4讲 加减巧算一、知识要点在进展加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法那么外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整
12、的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进展简算。进展加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减的原那么进展处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以与减法的性质进展凑整，从而到达简算的目的。二、精讲精练【例题1】你有好方法迅速算出结果吗？(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9练习1：计算。(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617【例题2】计算。(1) 487+321+11
13、3+279 (2) 736-567+264(3) 877+345-677 (4) 528-248-152练习2：计算。(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)【例题3】计算下面各题。(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)练习3：计算。(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)【例题4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84
14、练习4：计算。(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87-4-3+2+1练习5：计算。(1) 2021+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14+2006(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99第5讲 图形个数一、知识要点同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数
15、出图形的个数，关键是要从根本图形入手。首先要弄清图形中包含的根本图形是什么，有多少个，然后再数出由根本图形组成的新的图形，并求出它们的和。二、精讲精练【例题1】数出以下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6条。方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做根本线段来数，那么，由1条根本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条根本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条根本线段构成的线段有：AD 1
16、条。所以，图中一共有3+2+1=6条线段。练习1：1数出以下图中有多少条线段？ 2数出以下图中有几个长方形？【例题2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段一样的方法来数。方法一：以OA为一边的角有：AOB、AOC、AOD 3个；以OB为一边的角还有：BOC、BOD 2个；以OC为一边的角还有：COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6个。方法二：把图中AOB、BOC、COD看做根本角来数，那么，由1个根本角构成的角有：AOB、BOC、COD 3个；由2个根本角构成的角有: AOC、BOD 2个；由3个根本角构成的角有：AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6个角。练习
17、2：数出图中有几个角？1 2【例题3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：PAB、PAC、PAD、3个；以PB为边的三角形还有：PBC、PBD 2个；以PC为边的三角形还有：PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6个。方法二：把图中三角形 PAB、PBC、PCD看做根本三角形来数，那么，由1个根本三角形构成的三角形有：PAB、PBC、PCD 3个；由2个根本三角形构成的三角形有: PAC、PBD 2个；由3个根本三角形构成的三角形有：PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6个三角形。方法三：我们发现，要数出图中三角形的
18、个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6个。所以图中共有6个三角形。练习3：数出图中共有多少个三角形？1 2【例题4】数出以下图中有多少个长方形？【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD上有3+2+1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有61=6个长方形，而AC上共有2+1=3条线段也就有63=18个长方形。它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数宽边线段的总数3+2+12+1=18个 答：图中共有18个长方形。 练习4：1数出以下图中有多少个长方形？ 2数出以下图中有多少个
19、正方形？【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10次练习5：1银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？2有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？第6讲 植树问题一、知识要点爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一
20、边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？晶晶一看，随口答题：“27米。同学们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为“植树问题。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长1；在封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比方锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离、“间隔长、“棵数对应起来。二、精讲精练【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已
21、经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：根据“已经植了9棵，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8个，每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距38=24米，具体列式如下： 39-1 =38=24米 答：第一棵和第九棵树相距24米。练习1：1在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？2在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少
22、米？【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树这个条件，我们可以先求出每一侧栽了142=7棵树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6个。42米长的大路平均分成6段，每段是426=7米。列式如下： 42142-1=427-1=426 =7米 答：相邻两棵树之间的距离是7米。练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？【思路导航】我们先求出钢管被锯开了284=7处，因而被锯开的段数有7+1=8段。列式如下： 284
23、+1 =7+1 =8段 答：这根钢管被锯成了8段。 练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进展计算，而要用楼梯段数进展计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1才是要走的“楼梯段数，根据题意“甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间一样。照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼
24、梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11楼。列式如下： 3-116-14-1+1 =25+1 =11楼答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗3006=50面，由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。 3006=50面 答：跑道周围插了5
25、0面红旗和50面黄旗。练习5：1有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？2一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？第7讲 简单推理一、知识要点数学课上，教师布置了一道题：=28 = = = 要得出正确的结论，就要进展分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题
26、的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进展解答。二、精讲精练【例题1】下式中，和各代表几？ =28 = = = 【思路导航】根据=28，我们可以得出=28；由=得到28=，4个等于28，一个等于284=7；由=可求出=777=21。练习1：1=18 = = = 2=25 = = = 3=36 = = = 【例题2】下式中，和各代表几？ =36 =4 = = 【思路导航】根据=4可知为一份，是这样的4份，即=4；又根据=36，可以得到4=36，即=9，进一步得到=3，=4=43=12。练习2：1和各表示几？ =16 =4 = = 2想想，填填。 =20 = = = 3和各代表几？= =16
27、= = 【例题3】下式中，和各代表几？ =16 =14 = = 【思路导航】16里面有2个，1个；14里面有1个，2个，16减去14等于2，即=2，那么如果把换成了，那么16需要加上2，即=162，那么=1623=6，=1662=4。练习3： 1=38 =22 = = 2=52 =48 = = 3=10 =12 =12 = = = 【例题4】下式中，和各代表几？ =34 =48 = = 【思路导航】34里面有2个、3个，48里面有3个、4个，用48减去34得到=14，34中有2个与1个。所以，=34142=6，=34632=8。练习4：1=24 =36 = = 2=54 =76 = = 3=9
28、6 =123 = = 【例题5】下式中，、和各代表几？ = = =80 = = = 【思路导航】因为2个等于3个，3个又等于4个，所以2个等于4个，那么1个等于2个。在=80中，2个可以用1个替代，就变为=80，而2个又可以用3个替代，也就是=80，所以=20，=2032=30，=2034=15。练习5：1= = =100 = = = 2= = =40 = = = 3= = =320 = = = 第8讲 算式谜一、知识要点一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由
29、推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。二、精讲精练【例题1】在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。 答案：【思路导航】被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。算式见右上练习1：在里填上适当的数，使算式成立。【例题2】里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？【思路导航】除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能是1，这样确定
30、商的十位为1，最后被除数十位上的数为。练习2：在里填上适当的数，使算式成立。 【例题3】在下面竖式的里，各填入一个适宜的数字，使算式成立。答案：【思路导航】要求里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道，被除数的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法见上页。练习3： 里可以填哪些数字？【例题4】在下面竖式的里，各填入一个适宜的数字，使算式成立。 答案：【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，那么除数必须比7大，且被除数个位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，
31、同时，因而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法见上。练习4：在下面竖式的里，各填入一个适宜的数字，使算式成立。【例题5】在下面中填入适当的数，使算式成立。 答案：【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。填法见上练习5：在下面中填入适当的数，使算式成立。第9讲 乘法速算一、知识要点我们已经学会了整数乘
32、法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比拟麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4几，这样可“先拆数再扩整。两位数、三位数与更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加的方法，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比方两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。二、精讲精练【例题1】试着计算以下各题，你发现了什么规律？12611 25711 325311 446711 【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结
33、果就是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位，哪一位上满十就向前一位进一。12611=286 25711=627 325311=2783 424711=2717练习1：很快算出下面各题的结果。11211 23411 32511 41144 54811 66511 71175 88711912411 1030511 1143911 1287211【例题2】下面的乘法计算有规律吗？12524 22125 325427 4199825【思路导航】因为254=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。12524=1006=600 22125=1005+25=525 325427=100106+75=10600+75=106754199825=100499+50=49900+50=49950练习2：速算。11225 23425 325121 42546 514825 664325 7257252 8567825【例题3】很快算出下面各题的结果。12415