《高一数学教案：《函数的应用举例》教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学教案：《函数的应用举例》教学设计.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高一数学教案：函数的应用举例教学设计高一数学应用举例031 1.2解三角形应用举例第一课时 一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的爱好,并体会数学的应用价值；同时培育学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的实力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：依据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章
2、“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不行及的月亮离我们地球原委有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇妙的方法探究到这个奇妙的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着很多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相像三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今日我们起先学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先探讨如何测量距离。3、新课讲授（1）解决实际测量
3、问题的过程一般要充分仔细理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)提问1：ABC中，依据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还须要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的距离的问题，题目条件告知了边AB的对角，AC为已知边，再依据三角形的内角和定理很简单依据两个已知角算出A
4、C的对角，应用正弦定理算出AB边。解：依据正弦定理，得=AB=65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A、B与海洋视察站C的距离都等于akm,灯塔A在视察站C的北偏东30，灯塔B在视察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：akm例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不行到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，探讨的是两个不行到达的点之间的距离测量问题。首先须要构造三角形，所以须要确定C、D两点。依据正弦定理中已知三角形的随意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出
5、AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC=BC=计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=分组探讨：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20评注：可见，在探讨三角形时，敏捷依据两个定理可以找寻到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个
6、定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。4、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。5、课堂练习：课本第14页练习第1、2题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解四、课后作业1、课本第22页第1、2、3题2、思索题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，视察到点C处有一辆汽车
7、沿马路向M站行驶。马路的走向是M站的北偏东40。起先时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=,则sinC=1-cosC=,sinC=,所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得MC=35从而有MB=MC-BC=15答：汽车还须要行驶15千米才能到达M汽车站。 作业：习案作业三 高一数学应用举例0331.2解三角形应用举例第三课时一、教
8、学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应实力，让学生有效、主动、主动地参加到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发觉规律，举一反三。3、培育学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的实力，并激发学生的探究精神。二、教学重点、难点重点：能依据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：敏捷运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些事实上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确
9、保轮船不迷失方向，保持肯定的航速和航向呢？今日我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例1、如图，一艘海轮从A动身，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B动身,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.假如下次航行干脆从A动身到达C,此船应当沿怎样的方向航行,须要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)学生看图思索并讲解并描述解题思路分析：首先依据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再依据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，依据余弦定理，
10、AC=113.15依据正弦定理,=sinCAB=0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船应当沿北偏东56.1的方向航行,须要航行113.15nmile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再接着前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，=。因为sin4=2sin2cos2cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法
11、二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2=2=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=-在RtADE中，sin4=,-得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发觉北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸
12、行驶，巡逻艇马上以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？须要多少时间才追逐上该走私船？师：你能依据题意画出方位图？老师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即须要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=+=(14x)=9+(10x)-2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC=10x=15,AB=14x=21,又因为sinBAC=BAC=38,或BAC=141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应当沿北偏东
13、83方向去追，经过1.4小时才追逐上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习课本第16页练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时须要选择条件足够的三角形优先探讨，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业习案作业六高一数学应用举例0341.2解三角形应用举例第四课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法进一步解决有关
14、三角形的问题,驾驭三角形的面积公式的简洁推导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，奇妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，按部就班地详细运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学学问的生动运用，老师要放手让学生摸索，使学生在详细的论证中敏捷把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行驾驭了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。3、让学生进一步巩固所学的学问，加深对所学定理的理解，提高创新实力；进一步培育学生探讨和发觉实力，让学生在探究中体验愉悦的胜利体验二、教学重点、难点重点：推导三角形的面积公式并解决简洁的相关题目难点：利用正弦定理、余
15、弦定理来求证简洁的证明题三、教学过程.课题导入创设情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今日我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA师：依据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB.讲授新课范例讲解例1、在ABC中，依据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
16、（1）已知a=14cm,c=24cm,B=150;（2）已知B=60,C=45,b=4cm;（3）已知三边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有亲密的关系，我们可以应用解三角形面积的学问，视察已知什么，尚缺什么？求出须要的元素，就可以求出三角形的面积。解：略例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？思索：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？本题可转化为已知三角形的三边，求角的
17、问题，再利用三角形的面积公式求解。解：设a=68m,b=88m,c=127m,依据余弦定理的推论，cosB=0.7532sinB=0.6578应用S=acsinBS681270.65782840.38(m)答：这个区域的面积是2840.38m。变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注意分状况探讨解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=18例3、在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，视察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明
18、证明：（1）依据正弦定理，可设=k明显k0，所以左边=右边（2）依据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边变式练习2：推断满意sinC=条件的三角形形态提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（解略）直角三角形.课堂练习课本第18页练习第1、2、3题.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形态。特殊是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。.课后作业习案作业七高一数学应用举例032 1.2解三角形应用举例其次
19、课时 一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的探讨、探究习惯。3、进一步培育学生学习数学、应用数学的意识及视察、归纳、类比、概括的实力二、教学重点、难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能视察较困难的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今日我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课范例讲解例1、AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最
20、高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点视察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，依据正弦定理可得AC=AB=AE+h=AC+h=+h例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)师:依据已知条件,大家能设计出解题方案吗？若在ABD中求CD，则关键须要求出哪
21、条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再依据BAD=求得。解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.依据正弦定理,=所以AB=在RtABD中,得BD=ABsinBAD=将测量数据代入上式,得BD=177(m)CD=BD-BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.思索：有没有别的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。思索如何求出AC？ 例3、如图,一辆汽车在一条水平的马路上向正东行驶,到A处时测得马路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度C
22、D. 思索1：欲求出CD，大家思索在哪个三角形中探讨比较适合呢？（在BCD中）思索2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,依据条件,易计算出哪条边的长？（BC边）解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,依据正弦定理,=,BC=7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为1047米.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。.课后作业作业：习案作业五 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页