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1、-初中数学 抛物线 经典试题集锦【编著】 黄勇权 【第一组题型】1、已知二次函数y=x+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+n经过点A（5，0-），B（2，-6）（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、
2、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。解：【第一问】因为函数y=x+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x+bx+c， 得 0=4+2b+c- 将x=0，y=-8代入y=x+bx+c，得-8=c-将代入，解得
3、：b=2-此时，将 代入y=x+bx+c，所以：二次函数的解析式 y=x+ 2x -8【第二问】ABP的面积= AB*yp-因为A、B两点在x轴上，令x+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：AB=X1- X2=2-（- 4）=6-又ABP的面积=15-由 ，得 ： *6*yp=15yp=5 故有：yp= 5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入 y=x+ 2x -8，即：5=x+ 2x -8 x+ 2x -13=0解得：x= -1 那么，此时p点坐标（-1+，5），（-1-，5）-把y=-5代入 y=x+ 2x -8，即：-5=x+ 2x -8 x+ 2
4、x -3=0 （x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）-由 得，使ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+，5），（-1-，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+n经过点A（5，0-），B（2，-6）（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。解：【第一问】因为抛物线y=2x+mx+n经过点A（5，0-），B（2，-6）将x=5，y=0 代入y=2x+mx+n，得： 0=50+5m+n-将x=2，y= -6代入y=2x+mx+n，得：-6=8
5、+2m+n-此时，由 、， 得：m= -12， n=10所以，抛物线的表达式：y=2x-12x+10再将抛物线表达式进行变形：y=2x-12x+10y=2（x-6x+9）-8y=2（x-3） -8所以，抛物线的对称轴是x=3【第二问】因为B点坐标为（2，-6），C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b因为过A（5，0-），C（-2，6），将x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b-将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-由 解得：k= - ， b= 所以，过A、C两点的直线表达式为：y= - x+ 3、在平面直
6、角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标解：【第一问】因为抛物线的顶点C为（2，4），所以，对称轴是：x=2又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，那么，对称轴x=2将6平分，也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3所以，A的横坐标：2-3 = -1 B的横坐标：2+3 = 5故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0）【第二问】因为抛物线的顶点C为（2，4），那么，抛物线的表达式直接可设为：y=a（x-2）+4 【特别提示，这个非常
7、重要，大大简化了计算】再将A（-1,0）代入y=a（x-2）+4， 得 ，0=a（-1-2）+4解得：a= - 所以，抛物线的表达式为，y= - （x-2）+4【第二问】令x=0，代入y= - （x-2）+4 ，得y= - （0-2）+4 y= 所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0， ）4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式解：【第一问】直线的解析式为y=2x+4令x=0，代入y=2x+4， 得，y=4，所以
8、B点坐标（0, 4）令y=0，代入y=2x+4， 得，x=-2，所以A点坐标（-2,0）设C点的纵坐标为yc（yc是负数），那么线段BC的长度BC= 4 -yc ABC的面积= *xA*BC= *-2* (4 -yc )=20 4 -yc =20解得：yc = -16所以，C点坐标（0，-16）-以A（-2,0）为顶点,可设抛物线表达式：y= a（x+2） +0 y= a（x+2） ，它过点C（0，-16），将x=0,y= -16代入 y= a（x+2），解得：a= -4所以，抛物线表达式y= -4（x+2）【第二问】设D点的横坐标为xD（xD是负数），BDO的面积= *xD*BO= *xD*
9、4=8 xD=4 xD是负数,所以，xD= -4，又D点在直线y=2x+4上，将xD= -4 代入y=2x+4，解得yD= -4D点坐标（-4, -4）-以A（-2,0）为顶点,可设抛物线表达式：y= a（x+2） 它过点D（-4，-4）将x= -4,y= -4代入 y= a（x+2），解得：a= -1所以，抛物线表达式y= -（x+2）【第二组题型】5、若关于x的方程x+2mx+m+3m2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2的最小值为（ ）6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax+bx-30（a0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上
10、的一点。（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。7、已知抛物线y= x+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t2，如果BDP与CDP的面积相等，求P点的坐标。8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。【答案】5、若关于x的方程x+2mx+m+3m2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2的最小值为（ ）解：方程x+2m
11、x+m+3m2=0有两个实数根则判别式=（2m）- 4*（m+3m2）0即：m-根据韦达定理，x1+x2 = -2m-x1x2 =m+3m2-又x1（x2+x1）+x2= x1x2 +x1 +x2 （， ） =（x2+x1）- x1x2 【将 代入】 =（-2m）-（m+3m2） =3m- 3m+2 =3（m- ）+ 则顶点（， ）其图像为由知，当m时，已经把顶点包含在内，故，当m=时，有最小值是 6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax+bx-30（a0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。（2）当四边形A
12、PBC为梯形，求P的坐标。解：【第一问】因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：y=a（x+5）（x-3） y=a（x+2x-15） y=ax+2ax-15a-又已知， 抛物线y=ax+bx-30-根据恒等原理，式 与式对应的系数相等。那么它们的常数项相等，即：-15a = -30解得：a=2将a=2 代入式，解得抛物线解析式为： y=2x+4x-30再对 y=2x+4x-30变形即： y=2（x+2x）-30 y=2（x+1） -32所以，顶点C坐标（-1,-32）答：抛物线解析式为： y=2x+4x-30，顶点C坐标（-1,-32）【
13、第二问】 四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BPAC，一是APCB（1）当BPAC，因为A（-5，0），C（-1，-32）直线AC的斜率k1= = -8 -因为B（3，0），P（m，n）直线PB说完斜率k2= = -因为BPAC所以=即-8 = 化简：n = 24 -8m-因为P（m，n）在抛物线上，所以，把x=m，y=n代入y=2x+4x-30中得：n=2m+4m-30-因为=，消去n，得：24 -8m=2m+4m-30化简：m+6m-27=0（m+9）（m-3）=0解得：m= -9，m=3将m= -9代入中，解得，n=96，则P坐标（-9，96）将m=3代入中，解得，n=0，则P坐标（
14、3，0）与B（3,0）重合，舍去故：当BPAC时，P坐标为（-9，96）（2）APCB同理：直线BC的斜率k3=8直线AP的斜率k4=由K3=k4，得8= 即：n=8m+40-因为P（m，n）在抛物线上，所以，把x=m，y=n代入y=2x+4x-30中得：n=2m+4m-30-由=解得，m=7，m=-5将m=7，m=-5代入，解得n=106，n=0即P坐标（7，106），或p（-5，0）与A（-5，0）重合，舍去故：当APCB时，P坐标为（7，106）7、已知抛物线y= x+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。（2）D为抛物
15、线的顶点，设P点（t，0），且t2，如果BDP与CDP的面积相等，求P点的坐标。解：【第一问】因为抛物线与y轴相交于C（0，-6）将x=0，y= -6代入y= x+bx+c，解得：c = -6那么，抛物线解析式为：y= x+bx -6抛物线与与x轴相交于A（2，0），将x=2，y=0，代入y= x+bx -6，解得：b= 故，抛物线解析式为：y= x+ x -6将y= x+ x -6变形y= （x+2x -8）y= （x-2）（x+4）令y=0，解得x=2，或x= -4则与x轴相交的坐标为（2，0），（-4，0）已知B（2，0），所以A坐标（-4，0）【第二问】将y= x+ x -6变形y=
16、（x+ 2x）-6y= （x+ 2x+1）-6 -y= （x+1） - 所以，顶点D坐标为（-1，- ） D点纵坐标是- ，线段BP长度为：P点横坐标-B横坐标 = t -2BDP面积= *yD*BP = *- *t -2(因为t2） = （t -2）-设对称轴与x轴相交于x轴于E，过顶点C作CF平行于x轴交DE于F.梯形EFCP面积= *EP+CF*EF= *（xP-xD）+（xC - xD）*yC= * t-（-1）+ 0- （-1）*-6= *（t+2）*6=3（t+ 2）-三角形CDF面积= *CF*DF= *xC - xD*yD-yC= *xC - xD*yD-yC = *0- （-
17、1）*- -（-6）= -四边形DEPC面积=梯形EFCP面积+三角形CDF面积= + = 3t + -三角形DEP面积= *DE*PE= *yD*xP-xD= *- *t -（-1）= （t +1） -三角形CPD面积=四边形DEPC面积 - 三角形DEP面积 = - = -又因为：BDP与CDP的面积相等即：= （t -2）= 解得：t = 答：如果BDP与CDP的面积相等，求P点的坐标（ ，0）。8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。（1）求出抛物线的解析式，（2）P（m，
18、n）点在直线y=2x+1上，若n3，且PAB=45，求出P点坐标。解：【第一问】因为点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，所以A（2，3）C（2，-3）关于原点对称的点为B， 所以B（-2，3）将x=2，y=3代入y=ax+bx+c，得9=4a+2b+c-将x=-2，y=3代入y=ax+bx+c，得9=4a-2b+c- 由- 得：-4b =0，即：b=0那么，式简化为：9=4a+c-因为b=0，故，抛物线的解析式为：y=ax+cD（3，19）在抛物线上，将x=3，y=19代入y=ax+c 得，19=9a+c-由-，解得：a=2将a=2代入，解得：c=1所以，抛物线解析式：y=2x+1【第二问】A、B的纵坐标为3P（m，n），n3，说明P在AB的下方。因为PAB=45，所以直线AP的斜率= tan45= 1则设直线AP的方程：y= x +b已知A（2，3），将x=2，y=3，代入y= x +b解得：b=1故：直线AP的方程：y= x +1-又P为直线y=2x+1与y= x +1的交点， y= x +1 x=0 y=2x+1 解得： y= 1所以：P坐标（0，1）-第 19 页-