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1、-今天我们研究利用直线倾斜角求椭圆焦半径.根据椭圆的第二定义，可以推导出椭圆焦半径含倾斜角的公式，而且当倾斜角为直角时，焦点弦最短。先看例题：例：已知椭圆C:(ab0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.已知过点F1(2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,求证:;解：根据题目条件，可知可以解得：椭圆C的方程为.离心率又F1(2,0)是椭圆C的左焦点，设l为椭圆的左准线,则l:x=4.作AA1l于A1,BB1l于B1,l与x轴交于点H(如图).点A在椭圆上,.同理：.|AB|=|AF1|+|BF1|.另解：当时,记k=tan.则AB:y=k(x+2),将其代入方程x2+2y2=8
2、得(1+2k2)x2+8k2x+8(k21)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是此二次方程的两个根.,.k2=tan2,代入式得.当时,仍满足式.注意：另解思考上更直接，但明显运算量较大。规律整理：对于焦点在x轴上的椭圆：再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，则k=_解：根据前面的公式，分别表示出，根据题意有：所以进而总结：1.椭圆的焦点在x轴上，利用直线倾斜角可以直接写出椭圆焦半径。2.本文的公式都是以倾斜角为锐角的情形推导的，若倾斜角为直角或者钝角仍然成立。3.当倾斜角为直角时，焦点弦最短即为椭圆的通径。练习：1.已知椭圆C: ，过点F1(2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和D,E,求|AB|DE|的最小值.2.设椭圆C:的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60,.求椭圆C的离心率;答案1.解：设直线AB倾斜角为,由于DEAB,.当或时,|AB|+|DE|取得最小值.2. 解： 另解：设,由题意知y10.直线l的方程为,其中.联立得解得因为,所以.即得离心率.另解：与直接用焦半径公式比较，计算繁琐。-第 - 6 - 页-