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1、-这节我们利用傅里叶变换来求热传导方程柯西问题的解。1. 傅里叶变换及其基本性质 设f(x)是定义在上的函数，它在上上有一阶连续导数，则在中f(x)可以展开为傅里叶级数 ， （1）并且 （2）将（2）代入（1）式，得到现设函数在上绝对可积，当时，由上式可得如记，则可形式地得到 （3）积分表达式（3）称为的傅里叶积分。可以证明，若绝对可积，则在本身及其导数为连续的点，的傅里叶积分收敛于在该点的函数值。（3）式也可写成复数形式。由于是的偶函数，是的奇函数，可以将（3）式写成 （4）于是，若令 （5）就有 （6）称为的傅里叶变换，记为Ff;称为的傅里叶逆变换，记为。当在上连续可导且绝对可积时，它的傅
2、里叶变换存在，且其逆变换等于。为了应用傅里叶变换求解数学物理方程的问题，我们介绍所需用到的一些关于傅里叶变换的基本性质，这里假设下面诸式中出现的傅里叶变换总是存在的。性质1 傅里叶变换是线性变换，即对于任意复数，以及函数,成立 （7）如果对给定的，当时， （8）存在，则称为与的卷积，记为。显然，即卷积是可以交换的。关于卷积的傅里叶变换有性质2 和的卷积的傅里叶变换等于和的傅里叶变换的乘积，即 （9）从傅里叶变换和逆变换公式之间的相似性，可以类似地得到性质3 和乘积的傅里叶变换等于和的傅里叶变换的卷积乘以，即 （10）性质4 如果都是可以进行傅里叶变换的，而且当时，则成立 （11）性质5 如果和都可以进行傅里叶变换，那么 （12）2.热传导方程柯西问题求解 我们利用傅里叶变换来解热传导方程的柯西问题视t为参数，先求解齐次热传导方程的柯西问题关于x进行傅里叶变换，记在（17）两边关于x进行傅里叶变换，利用性质4，就得到 （19）类似地，由（18）式得 （20）（19） 、（20）是带参数的常微分方程，它的解为 （21）函数的傅里叶逆变换为利用复变函数胡积分计算知因此，利用性质2，由（21）可得柯西问题（17）-（18）的解为再求解非齐次热传导方程的柯西问题可得它的解为 （25）-第 3 页-