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1、-二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。一、 积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、 在闭区域为的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1）（2）若中有一个为奇数有例1求解：根据对称性， 原式=例2求解：原式=例3求（积分区域为球）解：原式= =2、 在闭区域为的圆上例4求解：原式=例5求解：原式= =3、 在闭区域为的圆上(处理方法同2)二、 积分区域的对称（化重积分为累次积分）1、区域关于坐标轴对称例6区域由围成，求解：原式=2、区域关于对称，有例7求其中区域为， 解：原式=0.例8其中区域为，
2、 解：原式= =例9.求其中区域为，为正值连续函数。解：根据对称性可知=则由=故原式等于 例10.若函数在区间0,1上连续，并且求解：若则有则2=+ =则的值为三、 形如或积分的相关运算，化重积分为定积分（利用极坐标或球面坐标）。= =例11.令=,求解：=例12令=,求解：=例13若=，求解：=四、固定变量替换（利用图形寻找合适的变量替换）例14求解：令 .则可算出雅克比行列式 则原式=五、 用正交变换计算重积分用正交变换的方法计算重积分，在很多求重积分的题目中会有意想不到的便利。正交变换（其几何意义为坐标轴的旋转）计算重积分的方法是一种特殊的变量替换。例15. 将化为定积分解：设，则有u= 则=对于利用正交变换后，则有，则有：=例16.求解：原式=. -第 5 页-