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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十一章相似形与面积问题第一节相似三角形【知识点拨】1、相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；（3）三边对应成比例，两个三角形相似；（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。3、涉及的问题及解题思路：证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积
2、。解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。【赛题精选】例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EFFG，FDDG。求ECG的面积。（2003年河北省竞赛题）【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。求AP：PQ：QC的值。（2001年河北省竞赛题）【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。若a、b、c正好
3、可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE2EC，FB2AF。求EDF的度数（2002年河南省竞赛题）例4、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。求证：PMPNPRPS。（1999年山东竞赛题）【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明，常将其改证比例式，若比例式不能用上述三种方法证明时，可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。例5、正方形ABCD中，M、N分别在AB、BC边上，且BM
4、BN，又BPMC于P。求证：PDPN。（1990年四川省竞赛题）【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。此种方法是证角相等的常用方法。例6、在ABC中，A：B：C1：2：4。求证：。【说明】要证明形如几何题的常用方法有：（1） 比例法：将原等式变形为、，故构造以ab、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形；（2） 通分法：先将原等式变形为。利用相关定理将两个比通分，即证出、，且，则原式成立。例7、在ABC中，ACB2ABC。求证：。（按图示辅助线以两种方法证明）【说明】证明型命题常用以下方法：（1） 利用提公因式或平方差公式，将原式转化为
5、等积式，再利用三角形相似加以证明；（2） 要证，可在线段b所在的直线上取一点，则，则，再证、即可。例8、在ABC中，D、E分别是BC、AB上一点，且123，如果ABC、EBD、ADC的周长依次是、。求证：（1989年全国联赛题）例9、在ABC中，BCAC，CH是AB上的高，且。试证明AB900或AB900。（2001年全国初中数学联赛武汉选拨赛题）【针对训练】1、在ABC中，已知AB3、AC4、BC5，现将它折叠，使B、C两点重合，则折痕长是_. （2003年全国初中联合竞赛题）第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应
6、成比例。（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。【赛题精选】例1、在ABC中，C900，CD是C的平分线，且CA3，CB4。求CD的长。例2、若PAPB，APB2ACB，AC与PB相交于点D，且PB4，PD3。求ADDC的值。（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。对于求线段ab的值的题目，
7、常由相关定理证出等积式abcd，求出cd的值即可。例3、I是ABC内角平分线的交点，AI交对应边于D。求证：。例4、RtABC中，ACB900，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段ab，由线段成比例定理得出含a、b的比例式，、，然后证，从而得到，再证，从而得到ab。本题证法较多，如过点E作EHBC交AB于H，则EHGB，再证EHEC、ECCF；或过F作FMAB于M，证RtCEGRtFMB。例5、在ABC中，AD平分BAC，CEAD交AB于G，AM是BC边的中线，交CG于F。求证
8、：ACDF。【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设中有平行、角平分线条件证平行的题目，常用此方法证明。例6、在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且abc，AS、AS为A的平分线与外角的平分线，BT、BT为B的平分线与外角平分线，CU、CU为C的平分线及外角平分线。求证：。（1990年上海市竞赛题）【说明】通过本题的求解，我们得到型几何题的又一种解法，即分别计算出a、b、c的值，再验证等式两边相等。【针对训练】第三节面积证
9、题初步【知识点拨】1、用面积证题就是利用面积关系建立线段之间的关系，或根据面积有关性质将线段关系转化为面积关系，通过解方程或适当变形，从而解决线段有关问题。2、对于由面积关系建立线段关系常用几种方法：（1）利用一个图形的面积的几种不同的等积表示；（2）利用面积相等；（3）利用一个图形的面积等于几个图形的面积的和或倍数。而证明面积相等常用的方法是：等底等高的三角形面积相等。3、对于涉及线段比，常用以下性质将线段比转化为面积比；（1）两个等高的三角形的两底之比，等于两个三角形的面积之比；两个等底的三角形的两高之比，等于两个三角形的面积比。（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。【赛题精选】例1、
10、设ABC的面积是1，D是BC上一点，且DC2BD（BD/DC1/2），若在AC上取一点E，使四边形ABDE的面积为4/5。求AE/EC的值。（2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）例2、在直角梯形ABCD中，底AB13、CD8，ADAB，且AD12。求A到BC的距离。（2003年全国初中竞赛联合竞赛初赛题）例3、设ABC的三边a、b、c，三边上的高分别为h1、h2、h3，三边满足2bac。求证：。（1996年山东省初中数学竞赛题）例4、在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足。求PEPF的值。（1998年全国竞赛题）【说明】对于垂线
11、段的和差问题，常利用一个三角形的面积等于几个三角形的面积的和差来求。已知直角三角形的三边，求斜边上的高，由面积法来求比较方便。例5、平行四边形ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点，且BMDN，其交战为P，设CPB，CPD，则（）A、B、C、D、大小无法确定（1993年哈尔滨市竞赛题）【说明】欲证明两线段相等，可证它们所在的三角形的面积相等，进而得出两个三角形的底、高的关系式。若两高相等，则两底相等；反之则两高相等。例6、设P、Q为线段BC上两点，且BPCQ，A为BC外一点，当点A运动到使BAPCAQ时，ABC是什么三角形，并证明。（1986年全国联赛题）【说明】证明线段的等积式时，要注意等
12、积式的特点，若两线段乘积与某个图形的面积有关，则等积式可由面积公式证得。例7、已知PQR、PQR是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为：ABa1、BCa2、CDa3、DEb1、EFb2、FAb3。求证：a12a22a32b12b22b32。（1998年全国联赛题）【说明】继勾股定理后，证明线段的平方关系，也可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来证。由题设容易得到相似三角形多用这个定理。例8、已知直线PQR交ABC的边AB于P，交AC于Q，交BC的延长线于R。求证：。【说明】这就是著名的梅涅劳斯定理，运用此定理可证明有关线段成比例问题。上面是利用面积法证明的，本题还可以利用平行线的有关性质证明，不妨一试！例9、已知D、E、F分别是锐角ABC三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，APBPCP6，设PXx，PEy，PFz。若xyyzzx28。求xyz的大小。（1997年“希望杯”竞赛题）【针对训练】专心-专注-专业