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1、轨迹方程求法及经典例题汇总一、 轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点M(,)的轨迹方程（分=1，与1进行讨论）2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，求AB的中点M的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。 （1）求圆心的的轨迹方
2、程；（2）若点到直线的距离为，求圆的方程。如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x
3、10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为，圆心在上 （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围（2013陕西卷理20）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.（1） 求动圆圆心的轨迹的方程；（2） 已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。二、 椭圆类型：3、 定义法：（选修2-1P50第3题）点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大
4、于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆的圆心轨迹方程。5、 圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点, 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆内)6、 其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）（讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。 （
5、1）求的方程； （2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。（1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率。三、 双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点, 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆外)定义法：（选修2-1P59例5）点M(,)与定点F(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、 抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(,)与定点F(2，0
6、)的距离和它到定直线的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(,)与定点F(2，0)的距离比它到定直线的距离小1，求点M的轨迹方程。）（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。 （1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率已知三点，曲线上任意一点满足。（1）求曲线的方程；）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，
7、点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0,且m1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; （四川）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。1.()已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线2
8、.()设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A.B. C.D.二、填空题3.()ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.4.()高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.()已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于
9、点P，求点P的轨迹方程.6.()双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.8.()已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=
10、2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|
11、+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6.解：设P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).8.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R
12、|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB当AOB=90时，SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45，专题一：求曲线的轨迹方程课前自主
13、练习：1如图1，中，已知，点在轴上方运动，且，则顶点的轨迹方程是图1 图2 图3 图42如图2，若圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，则的轨迹方程是3如图3，已知点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方程是4与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为5如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，则线段的中点的轨迹方程是几种常见求轨迹方程的方法：1直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验；【例1】（1）求和定圆的圆
14、周的距离等于的动点的轨迹方程；（2）过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹解：（1）设动点，则有或即或故所求动点的轨迹方程为或（2）设弦的中点为，连结，则，化简得：其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧（不含端点）【例2】已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：如图，设切圆于，又圆的半径，由已知设，则，即可化为故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图【例4】已知定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为又一动圆过定点，且与定圆相切求动圆圆心的轨迹方程解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图当动圆
15、与定圆外切时，；当动圆与定圆外切时，由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）显然，又，故所以所求的点轨迹方程是：3动点转移法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，则将点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）【例5】已知定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程解：设点，且设点，则有点是线段的中点由中点坐标公式得：，将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程它是一条抛物线4待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求
16、出所设的参数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根，即由和得：由弦长公式得：即由得：，双曲线的方程是5参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出、的范围【例8】抛物线的焦点为，过
17、点作直线交抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程解：设，：，中点为，与联立得：，为中点，消得：巩固练习：1平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（）（A）椭圆的一部分（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）双曲线2已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹（）（A）抛物线（B）抛物线的一部分（C）抛物线和一射线（D）抛物线和一直线3已知定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）直线4一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线5已知椭圆的焦点是、是椭圆上的一个
18、动点如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线6已知点、，动点满足，则点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线7与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）（A）（B）和（C） （D）和8过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）9过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）（A）（B）（C）（D）10已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）11与双曲线有共同的渐近线，
19、且经过点的双曲线方程是（）（A）（B）（C）（D）12设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是13已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为14倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段中点的轨迹方程是15求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程16已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程是17已知是椭圆上的任意一点，从右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程18如图，直线：与直线：之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为（1）分别用不等式组表示和；（2）若区域中的动点到，的距离之积等于，
20、求点的轨迹的方程；19设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程20过双曲线：的左焦点作直线与双曲线交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程21设点和为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立
21、，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时
22、会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？【变式】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（
23、3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 四：用代入法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。 【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 五、用交轨法求轨迹方程例5.已知椭圆（abo）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方
24、程.六、用点差法求轨迹方程例6. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；练习1.在中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_.2.两条直线与的交点的轨迹方程是 _ .3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 _4.当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为_。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为_。6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_7.抛物线的通径（
25、过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。高二（上）求轨迹方程的常用方法 答案例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常
26、数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关
27、系。例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的
28、恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线
29、l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角
30、形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形 化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50
31、 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。【点评】1） 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPAkPB1，这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。 解法一：“几何法” 设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OMBC, 所以|OM | | ，即(x2 +y2)+
32、(x )2 +y2 =16 化简得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法” 设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由点M为BC的中点，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以点M的轨迹
33、方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x2a，2y） 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆
34、上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 五、用交轨法求轨迹方程六、用点差
35、法求轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为2.两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得(交轨法):3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .【解答】:令M点的坐标为(
36、,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得：故所求动点的轨迹方程为。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线
37、的抛物线。故所求轨迹方程为。6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_【分析】:设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。【分析】：抛物线的焦点为。设ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。其中【解答】：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。【解答】：设点P的坐标为（x，y），
38、则由题意可得。（1）当x3时，方程变为，化简得。（2）当x3时，方程变为，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或10.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。【基础练习】1到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A B C D2已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C两条射线 D以上都不对3设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹( )
39、 A椭圆 B线段 C. 不存在 D椭圆或线段4动点P与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为_.【例题精选】一、 直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。例1已知中，试求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M（-1，0）、N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列。点P的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。例1C：内部一点与圆周上动点Q连线AQ
40、的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程.例2设动点到定点的距离比它到y轴的距离大。记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程；练习若动圆与圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。例1、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 针对练习一、客观题1平面内到点、距离之和为的点的轨迹为( ) A椭圆 B一条射线 C两条射线 D一条线段2平面上动点到定点的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程为( )A B C或 D或3已知抛物线的方程为，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M在此抛物线上运动, 点N与点