（经典）2007年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集.pdf

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1、全国数学建模竞赛优秀论文集 2007年 生物医学工程与医学影像学院数学与生物数学教研室 前 言 数学建模是指利用数学方法和数学软件解决实际问题的过程，从 1994 年开始由教育部 高教司和中国工业与应用数学学会共同主办数学建模竞赛， 每年一次。 是目前我国规模最大 的一项课外科技活动之一，其目的是培养学生的综合素质、创新意识和实践能力等。我校 2003 年首次组织本科生参加全国大学生数学建模竞赛，得到训练部教务处的全力扶持和学 员旅、护理系的大力支持，发展至今，已建立了一个以科室主任为领导核心的数学建模指导 教师团队，营造了领导关心数学建模、教师支持数学建模、学生喜欢参与数学建模的良好氛 围。

2、 2007 年我校共有 29 队参赛，11 个队参加甲组比赛，获全国一等奖 2 项、全国二等奖 1 项、重庆市一等奖 6 项；18 个队参加乙组比赛，获全国一等奖 3 项、重庆市一等奖 5 项、 重庆市二等奖 6 项。 我校获得全国奖的比例高出全国平均水平 11.37 个百分点。 我校参赛队 数占重庆市高校参赛队数的 5.66%， 获全国一等奖队数的比例却高达 35.71%， 彰显我校实力， 为我校争得荣誉。 本册子收录了五篇在 2007 年全国大学生数学建模竞赛中获全国奖的优秀论文，都是在 校大学生在三天之内完成的，问题来源于实际，文章思路清晰，方法多样，表述准确流畅， 具有严密的逻辑性，具

3、有一定的独到之处。可供参与数学建模竞赛的指导教师和学生参考。 数学与生物数学教研室 2008.4.10 目 录 2007 年获全国甲组一等奖 中国人口增长的预测模型李阳等 （4） 2007 年获全国甲组一等奖 最佳公交线路的选择模型胡小刚等（22） 2007 年获全国乙组一等奖 手机“套餐”优惠几何龚科等 （40） 2007 年获全国乙组一等奖 手机 “套餐”优惠几何李江华等 （60） 2007 年获全国甲组二等奖 关于我国人口增长问题的研究弓毅等 （84） 4 中国人口增长的预测模型 李阳、罗虎、陈道森 指导教师：罗万春 摘要： 本文研究的是根据中国实际情况，结合近年中国人口发展出现的新特点

4、 （老 龄化加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等） ，对中国人口的增 长趋势做出中短期及长期预测的问题。 首先， 我们扩充了中国历年的总人口数据， 建立了 BP 神经网络模型，对中国短、中、长期的人口增长分别做了简单预测； 其次借用 Logistic 人口增长模型，将各种影响人口发展的因素归结到环境的容量 因素中，建立了符合中国实际情况的人口增长模型，并编程求解。之后，我们对 宋健人口模型进行了改进，建立了一阶偏微分方程模型，并借用高斯赛德尔迭 代法的思想将已预测出的数据加以迭代来预测下一年的数据， 使该模型具有更好 的时效性，利用Excel对所给数据进行统计和筛选，并用Matla

5、b6.5编程实现， 对中国人口发展进行了预测。 最后我们以改进的宋健模型为基础，将农村人口城 镇化的因素纳入考虑范围， 提出了人口城镇化影响因子，从而建立了人口城镇化 进程中的人口增长模型四。 四种模型均用Matlab6.5编程求解。从四个模型的结果中可以看出：短期预 测时，Logistic 人口模型预测结果准确，而中长期预测时，偏微分方程更加优越。 在 2045 年左右，中国人口达到峰值约 14.6 亿，之后在一个较小的范围内波动。 而城镇人口增长模型和乡村人口增长模型更是从图像上直观地反映出未来中国 人口发展的趋势，先是缓慢上升，到 2040 年左右人口达到一个最大值 14.5 亿， 之后

6、人口缓慢下降，到 2080 年时，中国人口约为 11.1 亿。模型四最能刻划我国 人口发展趋势的特点。 本文的四种模型相互印证， 相互补充，其中改进后的微分方程模型能推广用 于多因素影响的预测问题。 而模型四更是很好的描述了中国在城市化进程中的人 口发展趋势， 该模型不仅适用于中国，也同时适用与所有处于城市化阶段的发展 中国家，有一定的创新。 关键词关键词：人口预测 神经网络 Logistic人口增长模型 宋健人口模型 偏微分方程 人口城镇化 5 1 问题重述（略） 2 模型假设 （1）将出生人口数、死亡人口数、老龄化、人口迁移以及性别比作为衡量人口 状态变化的全部因素，不再考虑其他方面对人口

7、状态的影响； （2） 所有表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口的平均意义下确定的； （3）人口死亡率函数只依赖于各个年龄段，而与时间的流逝无关，即针对同一 年龄段，假设人口死亡率在各个年份是相同的。 3 符号说明 (1)(tN:时刻该地区的人口总数； (2) m r :人的最长寿命； (3),( trF:人口函数，表示该地区在t时刻时一切年龄小于r 的人口总数； (4),( trp:人口年龄分布密度函数，表示在t时刻年龄为r的人口数， r F trp =),(； (5),( tr :人口死亡率，表示在t时刻年龄为r 的人口的死亡率； (6)( 0 rp:初始时刻的人口密度，)0,()(

8、0 rprp = ； (7)(tf:婴儿出生率，)(),0(tftp = ； (8),( trk:女性性别比函数，表示时刻t年龄在),drrr + 内的女性人数为 drtrptrk),(),(； (9)(t :总和生育率，表示平均每个女性一生的总和生育数； (10),( trh:生育率分布函数，描述的是女性在各个年龄段生育率的高低； (11) ： 人口迁移造成的妇女生育率改变的增长系数。 4 问题分析 对于我国这样的人口大国来说，人口问题始终是制约我们经济、 文化等各方 面发展的重要因素。 如何准确地用数学语言和较为符合中国国情的实际因素来刻 画人口的增长状况， 为人口的预测提供一个较好的参考

9、，是关系到国计民生的重 要问题，也是本文的战略性目标。 6 由于近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，比如说老龄化进程加速、 出生人口性别比持续升高， 以及乡村人口城镇化等因素，特别是计划生育政策的 实施， 都从不同程度影响着人口的增长， 而这些因素是以前的人口预测中很难估 料的。为此，如何综合考虑各方面的因素，较为准确地刻画出人口增长趋势，是 本文要解决的重要问题。 关于人口预测方面， 中外大批的科学家进行了长期艰苦的探索，为我们积累 了丰富的经验。比如阻滞增长模型 （Logistic模型） 、神经网络等，它们均是总 人口随时间变化的规律的预测， 不能很好刻画中国人口发展的新特点，即多因素

10、 影响， 而偏微分方程能够很好的描述这些因素对人口增长的影响， 因此可以利用 偏微分方程对人口增长作预测并与神经网络和 Logistic 模型作比较。 5 模型的建立与求解 5.1BP神经网络模型 BP（Backpropagation 反向传播）模型是一种用于前向多层神经网络的误差 反向传播学习算法，它采用的是并行网络结构，包括输入层、隐含层和输出层， 经作用函数后，再把隐节点的输出信号传递到输出节点，最后给出输出结果。该 算法的学习过程由信息的前向传播和误差的反向传播组成。在前向传播的过程 中，输入信息从输入层经隐含层逐层处理，并传向输出层。第一层的神经元状态 只影响下一层神经元的状态。 如

11、果在输出层得到不同期望的输出结果，则转入反 向传播，将误差信号（目标值与网络输出之差）沿原来的连接通道返回，通过修 改各层神经元权值，使得误差均方最小 1 。 由于 BP 神经网络法在预测模型中运用广泛，因此我们首先考虑到运用这一 方法对近些年来中国的人口数据进行学习和培训， 从而得到一段时间内的人口预 测数据；同时，为了提高预测精度，我们采用回归预测的方法，将输出层的数据 反馈到输入层作为已知数据，继续培训。比如我们有N组数据，我们可以利用 回归BP神经网络法，通过软件Matlab6.5预测出第N+1个数据，之后，我们将 第 N+1 个数据添加到前面 N 组数据中， 构成 N+1 个数据组，

12、 将这 N+1 个数据作 为已知数据，利用同样的方法再去预测第N+2组数据，如此循环。我们将其用 图形表示为： 于是，我们得到第一个模型： 模型一： 图 1 BP 网络模型图示 7 + = + + = + = + )1(),.,2(),1()( . )1(),.,2(),1()2( )(),.,2(),1()1( tnPPPTtnP nPPPTnP nPPPTnP 模型说明：)1( +nP代表第1 +n年的人口总数，T是BP神经网络的内部函 数，)(),.,2(),1()1(nPPPTnP = + 表示第1 +n年的人口数是前n 年人口数的函 数，依次类推。 另外， 由于题目所给的人口数据只限

13、于 5 年之内，且部分数据与实际情况相 差较大。对于 BP 神经网络法来说，数据太少，预测的效果往往很差，因此，我 们通过查阅相关资料 2 扩充数据， 得到19782005年我国的总人口数如表1所示： 表 1 我国 19782005 年人口数及构成 按 性 别 分 按 城 乡 分 年 份 男 女 城镇总人口 乡村总人口 年底总 人口 （万） 人口 数 比重 （） 人口 数 比重 （） 人口 数 比重 （） 人口 数 比重 （） 1978962594956751.494669248.511724517.927901482.08 1980987055078551.454792048.5519140

14、19.397956580.61 19851058515472551.705112648.302509423.718075776.29 19891127045809951.555460548.452954026.218316473.79 19901143335890451.525542948.483019526.418413873.59 19911158235946651.345635748.663120326.948462073.06 19921171715981151.055736048.953217527.468499672.54 19931185176047251.025804548.9

15、83317327.998534472.01 19941198506124651.105860448.903416928.518568171.49 19951211216180851.035931348.973517429.048594770.96 19961223896220050.826018949.183730430.488508569.52 19971236266313151.076049548.933944931.918417768.09 19981247616394051.256082148.754160833.358315366.65 19991257866469251.43610

16、9448.574374834.788203865.22 20001267436543751.636130648.374590636.228083763.78 20011276276567251.466195548.544806437.667956362.34 20021284536611551.476233848.535021239.097824160.91 20031292276655651.506267148.505237640.537685159.47 20041299886697651.526301248.485428341.767570558.24 20051307566737551

17、.536338148.475621242.997454457.01 数据来源：中华人民共和国国家统计局年度数据。 8 5.1.1 短期人口预测 以 19782005 年的人口数作为训练样本集，预测 20062010 年的人口数。 利用 Matlab6.5 编程求解（程序见附录 1） ，为了便于对比，我们同时采用了 RBF 径向基神经网络法对近期人口发展进行了预测，得到如图 2 所示效果图： 19751980198519901995200020052010 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4x10 5径径向向基基、BP神神经经网网络络对对比比图 图 年年份 份 人人口口数数（百百万万）

18、） 实实际际人人口口数 数 径径向向基基预预测测 BP预预测测 图 2 神经网络模型对人口进行短期预测 同时得到 20062010 年短期内的人口预测数据，所得结果如表 2 所示： 表 2 20062010 年人口预测数据 实际值 径向基神经网络BP 神经网络 年份 （万人） 预测值 相对误差%预测值 相对误差% 20031292271292930.051292120.01 20041299881300340.031299260.04 20051307561309950.181305960.01 2006131524131298 2007132193131797 200813255913226

19、8 2009132979132677 2010134274133148 由图 2 和表2 可知： 两种神经网络法模拟的结果说明，在20062010年内，中国人口有继续上 涨的趋势，但是涨幅逐年有所减小，最终将会达到一个最大值。通过误差分析， 我们可以看出，两种方法中，BP 神经网络法相对误差较小，预测更加准确。 5.1.2 中、长期人口预测 根据模型一，我们先以2001年到2005年的人口数据作为训练样本来预测 2006 年的人口数，再将 2006 年的人口数加入训练样本来预测 2007 年的人口数， 逐年递推。利用Matlab6.5编程（程序见附录1）求解，对未来中国的人口发展 做中长期预测

20、，结果见图 3 所示： 9 19601980200020202040206020802100 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4x10 5BP神神经经网网络络预预测测人人口口数 数 年 年 份 份 人人口口数数（百百万万） BP预预测 测 实实际际人人口口数数 图 3BP 神经网络模型对我国人口进行中长期预测 图形说明： 从图 3 可以看出，在 2045 年前后，中国人口将达到峰值 13.5 亿。之后，中 国的人口将保持稳定， 而这显然不符合实际情况，由于中国人口受多方面因素影 响，总人口不会长期稳定不变。 5.2Logistic模型 5.2.1 模型阐述 BP 神经网络模型单纯地从历

21、年的人口总数去模拟未来中国人口的发展趋 势，研究的是数据的整体变化，没有考虑到影响人口数据变化的内部因素。为了 从根本原因上反映人口增长的规律，我们借用经典 Logistic 模型对未来人口的发 展趋势做一个简单的预测。 Logistic 模型 3 说明： 阻滞增长模型（Logistic模型）是在马尔萨斯的指数模型基础上的改进，马 尔萨斯的人口增长指数模型为： rx dt dx = (1) 即人口的增长率是一个常数。 而 Logistic 模型建立在一个最根本的假设之上，那就是人口的增长率不是一 个常数，而是关于人口数量的递减函数。 变量含义: = = = rrr rx sxrxrxxr mm

22、 )0( 0 )()( 固有人口增长率， 口数， 环境所能容纳的最大人 的递减函数， 人口增长率，为 由以上关系易得到： )1()( m x x rxr =(2) 10 将(2)式代入人口增长的指数模型(1)中，得到： 模型二：模型二： 0 )0( )1( xx x x x r dt dx m = = (3) 由（3）可以解得： rtm m e x x x tx + = )1(1 )( 0 (4) 5.2.2 模型求解 5.2.2.1 短期人口预测 以1978到2005年的人口数据拟合求出模型二的参数 m x和r，用matlab6.5 编程求解（程序见附录 2） ，得到 8 10447.15

23、= m x， 045681.0 =r ，则（4）式 为 t e tx 045681.0 8 8 8 )1 106259.9 10447.15 (1 10447.15 )( + =(5) 在短期内（20062010 年）的人口预测结果见图 4 和表 3： 1978 1982198619901994 1998200220062010 900 1000 1100 1200 1300 1400 logistic短短期期人人口口预预测 测 年年份 份 人人口口数数（百百万万） 图 4logistic 模型对人口进行短期预测 11 表 3 20062010 年人口预测数据 单位：万人 年 份 实际人口Lo

24、gistic 预测 偏差 相对误差(%) 20001267431264702730.215397 20011276271275001270.099509 2002128453128510570.0443742 20031292271294802530.1957795 20041299881304204320.3323384 20051307561313305740.4389856 2006132220 2007133070 2008133900 2009134700 2010135480 从图 4 和表 2、表3 可以看出，在 20002005 年中，利用logistic 模型得到 的预测值与

25、实际值符合得较好，平均偏差不超过 0.22%。所以，利用此模型对中 国人口进行短期预测是可行的。同时，从20062010年的人口增长情况来看， 未来几年内中国的人口将继续增加，但是增长速率主要呈逐年减少的趋势。 5.2.2.2 中、长期人口预测 运用同短期预测一样的方法， 扩大预测时间段， 对未来中国的人口发展做中、 长期预测，由（5）可得中国人口发展趋势，见图 5 和表4 所示： 19781998201820382058207820982118 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 logistic长长期期人人口口预预测 测 年 年 份 份 人人口口数

26、数（百百万万） 图 5logistic 模型对人口进行长期预测 表 4 Logistic 模型对人口做中、长期预测的结果 年份 人数（万） 年份 人数 （万） 年份 人数（万） 年份 人数（万） 2018136224204814938720781531452108154130 2023139591205315039720831534132113154199 2028142391205815121120881536282118154254 203814659420681523892098153935 204314813620731528092103154043 12 综合图 5 和表 4， 我们

27、可以看出未来中国人口发展的总趋势： 在一定时期内， 人口将继续增长，但是增长率逐渐减小，人口将于 2050 年达到 15 亿，最终人口 将趋于一个稳定值 15.4 亿。 5.3改进的宋健人口模型 BP 神经网络模型和 Logistic模型都没有具体分析影响人口发展的内在因素， 只是从外部数据进行预测， 要具体分析近年来中国人口发展涌现出来的新特点对 人口增长的影响，微分方程不可或缺。 早在上个世纪80年代，针对我国复杂的人口特点，中国科学家宋健等人就 人口发展提出了新的人口模型，该模型通过详细的推导，得到一个偏微分方程， 并由此衍生出了著名的“人口控制论”。 宋健人口模型在人口预测和人口控制中

28、起 着重要的作用， 但是由于近年来中国人口发展出现的各种新特点，在用宋健模型 的同时难免顾此失彼，带来一定程度的误差，因此，我们考虑在宋健模型的基础 上做一定的改进。 5.3.1 宋健人口模型介绍：宋健人口模型介绍： 宋健的人口模型 4 基于以下三个基本假设: 1.把研究的社会人口当作一个整体，当作一个完整的系统来考虑； 2.所有表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口平均意义下确定的； 3.把时间的流逝、婴儿的出生、人口的死亡和居民的迁移看成是影响人口发 展的全部因素。 以下是宋健人口模型的推导过程： 为研究任意时刻不同年龄的人口数量，引入人口的分布函数和密度函数， 时 刻 t 年 龄 小

29、 于 r 的 人 口 总 数 称 为 人 口 分 布 函 数 ， 记 作 且均为连续变量0,),( rttrF， 设F是连续可微的， 时刻t的人口总数记为)(tN， 最高年龄记为 m r ，理论推导时设 m r，于是对于非负函数),( trF有： )(),(,0),0(tNtrFtF m = =(1) 人口密度函数定义为 r F trp =),(2) drtrp),(表示时刻t时年龄在 drrr +,内的人口数。 记),( tr 为时刻t ，年龄为r 的人口的死亡率。其含义为，drtrptr),(),( 表 示时刻t年龄在 drrr +,内单位时间死亡的人数。 为了得到),( trp满足的方程

30、， 考察时刻t年龄在 drrr +,内的人到时刻dtt + 的情况，他们活着的那一部分人的年龄变为 11, drdrrdrr + + + ，这里dtdr = 1 。 13 而在dt这段时间内死亡的人数为drdttrptr),(),( ，于是： drdttrptrdrdttdrrpdrtrp),(),(),(),( = + + (3) 上式可以写成： drdttrptrdrdttrpdttrpdttrpdttdrrp),(),(),(),(),(),( 1 = + + + + + 由于dtdr = 1 ，我们得到： ),(),(trptr t p r p = + (4) 这是人口密度函数),(

31、trp的一阶偏微分方程，其中死亡率),( tr 为已知函数。 方程（4）有两个定解条件： 初 始 密度 函 数 记作)()0,( 0 rprp = ； 单 位时 间内 出生的 婴 儿数 记 作 )(),0(tftp = ，称为婴儿出生率。前者可以查到，于是得到宋健人口模型: = = = + )(),0( )()0,( 0,),(),( 0 tftp rprp rttrptr t p r p .(5) 这个连续型人口发展模型描述了人口的演变过程， 从这个方程确定出密度函 数),( trp后，就可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数： = r dstsptrF 0 ),(),(.(6) 假设死亡

32、率不依赖于时间t，我们得到通式(5)的解为： = rtertf rtetrp trp r r tr dss dss ,)( 0,)( ),( 0 )( )( 0 14 图 6 人口正反馈控制系统示意图 在图 6 所示的人口系统中，),( trp为状态变量，而新生人口)(tf为控制变量 状态，状态变量通),( trp过总和生育率)(t 形成反馈增益。 5.3.2 模型的改进模型的改进 由于宋健人口模型根据初始年份的人口分布)( 0 rp来预测未来各个年份人口 的发展状况， 已经预测出来的数据没有得到充分利用。而我们却希望利用已经预 测出来的数据来预测下一年的人口数。以 2006年为例，2006

33、年的人口数可分为 两部分，一部分是从2005年过渡而来的，另一部分则是新生人口。在不考虑人 口迁移的情况下，前一部分可以利用2005年的各个年龄段的人口数，结合此年 龄段的死亡率预测出 2006 年各个年龄段的人口数；后一部分（2006 年的新生人 口数）可以结合 2005 年育龄妇女数及其生育率来预测，具体过程如下： 首先将中国人口分为三部分：城市人口（S） 、镇人口(Z)、乡人口(X)。三类 人群的相对死亡率、男女比例、育龄妇女生育率和人口年龄结构各不相同，所以 有必要分别处理。 通过对20012005年的人口统计数据（附件2）的分析，发现上述同一类人群每 年的死亡率与年龄的关系大致相同（

34、如图7所示） ，所以可以假定各类人群的每 年死亡率随年龄的分布是相同的。通过对各年的死亡率求均值并拟合， 可以得到 各类人群的死亡率函数)(r 。 020406080 0 50 100 150 200 250 300 城城市市人人口口死死亡亡率率与与年年龄龄的的关关系 系 年 年 龄 龄 死死亡亡率率/ 020406080 0 100 200 300 400 年 年 龄 龄 死死亡亡率率/ 城城镇镇人人口口死死亡亡率率与与年年龄龄的的关关系系 020406080 0 50 100 150 200 250 300 350 年 年 龄 龄 死死亡亡率率/ 乡乡村人口死村人口死亡率与年亡率与年龄的关

35、系龄的关系 图 7 市、镇、乡人口死亡率与年龄关系图 又分别对三类人群的性别比分析， 发现同一类人群中每年各年龄段的男女比 例也大致相同（如图8所示） ，所以又可以假定各类人群每年各年龄段的男女比 例是相同的。由此可得各类人群的女性比例函数 ( )k i 。 15 020406080 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 年 年 龄 龄 男男女女比比例 例 城市人口男女城市人口男女比例与年龄的比例与年龄的关系关系 020406080 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 年 年 龄 龄 男男女女比比例 例 城城镇镇人人口口男男女女比比例例与与年年龄龄的的关关系系 0

36、20406080 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 年 年 龄 龄 男男女女比比例 例 乡村人口男女乡村人口男女比例与年龄的比例与年龄的关系关系 图 8 市、镇、乡人口各个年龄段女性人口比例图 通过分析市、镇、乡育龄妇女各年龄的生育率（分布如图9所示） ，可以分 别拟合得到三类人群妇女的生育率分布函数 ( )h r 。 1520253035404550 0 50 100 150 200 城市育龄妇女生育率 城市育龄妇女生育率 年 年 龄 龄 生生育育率率 1520253035404550 0 50 100 150 200 城镇城镇育龄妇女生育率 育龄妇女生

37、育率 年 年 龄 龄 生生育育率率 1520253035404550 0 50 100 150 200 乡乡村育龄妇女生育率 村育龄妇女生育率 年 年 龄 龄 生生育育率率 图 9 市、镇、乡育龄妇女生育率在各个年龄段的分布图 第t 年年龄为 r的人口数即为第1 t年年龄为1 r的人口数乘上存活系数 r r d e 1 )( （简化起见我们可以写成 2 )()1(rr e + ） ，即 2 )()1( )1,1(),( rr etrptrp + =(7) 而第t年出生的人口与当年的育龄妇女 （1549 岁） 数量及其生育率决定)(rh， 而当年的育龄妇女数量又可以由第1 t年1448岁的女性数

38、量及其死亡率通过(7) 式算得。 至于各年龄的生育率)(rh则有赖于人们的生育观念和计划生育措施的执 行力度。在此我们通过对所给的五年数据作统计分析（图 9） ，发现近年来我国 育龄妇女的生育率逐年下降并且生育年龄有所推迟，而且总和生育率也不断下 16 降。 所以第t 年出生的人口即为各年龄段的育龄妇女数),()(trprk乘以各自的生 育率)(rh以及总和生育率)(t 。 由以上的过程我们便可算出各年各年龄段的人口数矩阵),( trp， 得到宋健人 口预测模型的改进模型： 模型三：模型三： = = m r r trptN 0 ),()( = = + = 1)1,1( 1)1,()()()(

39、),( 2 )()1( 48 14 retrp rtipihikt trp rr i )(tN为第t年的人口数。 5.3.3 模型求解模型求解 首先利用EXCEL进行数据统计， 大致统计出性别比)(rk和死亡率)(r 的值， 然后利用Matlab6.5编程实现（程序见附录3） ，得到预测结果如图10和表5所 示： 2000201020202030204020502060 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5x10 9 改改进进宋宋健健模模型型预预测测人人口 口 年 年 份 份 人人口口数数（人人） 图 10 改进的宋健模型对人口的预测 表 5 改进的宋健模型对人口的预测

40、 年份 预测人口 数（亿） 年份 预测人口 数（亿） 年份 预测人口 数（亿） 年份 预测人口 数（亿） 200112.2082202114.0622204114.5145206114.6666 17 200212.5908202214.0949204214.5324206214.7223 200312.6042202314.1172204314.5425206314.7828 200412.5279202414.1304204414.5475206414.8476 200512.6155202514.1390204514.5449206514.9144 200612.7100202614.1

41、466204614.5392206614.9843 200712.8045202714.1544204714.5303206715.0530 200812.9023202814.1645204814.5176206815.1230 200913.0047202914.1772204914.5058206915.1895 201013.1138203014.1948205014.4987207015.2548 201113.2267203114.2150205114.4912207115.3200 201213.3396203214.2392205214.4892207215.3838 2013

42、13.4507203314.2674205314.4813207315.4463 201413.5565303414.2989205414.4729207415.5126 201513.6549203514.3320205514.4766207515.5801 201613.7464203614.3674205614.4894207615.6490 201713.8291203714.4018205714.5105207715.7171 201813.9026203814.4350205814.5427207815.7863 201913.9660203914.4662205914.57592

43、07915.8623 202014.3684204014.4921206014.6190208015.9432 通过对表5和图10的观察，我们可以得到如下结论：中国在未来的一段时 间内人口总数将继续增加，在 2020 年左右突破 14 亿，2065 年左右突破 15 亿， 通过图 10 还可以看出，人口增长的速率逐年减少，到了 2045 年以后，中国的总 人口会保持在一个稳定的值（14.6 亿）附近做上下波动。 5.4考虑城市化影响的改进型宋健人口模型考虑城市化影响的改进型宋健人口模型 5.4.1 模型分析与建立模型分析与建立 模型三虽然考虑了性别比、育龄妇女生育率以及死亡率对人口的影响，但

44、并未考虑到我国乡村人口城镇化的对人口发展的抑制作用。 而从附件 2 所给数据 中，我们统计得到了20012005年市、镇、乡育龄妇女的生育率状况。具体情 形如下图： 18 19951996199719981999200020012002200320042005 20 30 40 50 60 70 80 90 市市镇镇乡乡育育龄龄妇妇女女生生育育率率比比较 较 年 年 份 份 育育龄龄妇妇女女生生育育率率 市市育育龄龄妇妇女女生生育育率 率 镇镇育育龄龄妇妇女女生生育育率 率 乡乡育育龄龄妇妇女女生生育育率率 图图11 市、镇、乡历年妇女生育率比较 从图图11 可以看出，整体上说，乡育龄妇女的生

45、育率最高，镇育龄妇女次之， 市育龄妇女最低。而随着乡村人口城镇化，人口大量迁移，必将引起育龄妇女生 育率降低，从而抑制人口的增长。每年有大量农村人口转化为城镇人口，其人口 数据难以统计导致预测十分困难， 在此我们分析农村人口城镇化对生育率的整体 影响。 通过统计发现，在城市化进程中，向城镇转移的人口大部分在20岁40岁 之间， 而这些人群正处于生育旺盛年龄， 该类人群的转移将导致乡村人口的生育 率有所下降， 而农村育龄妇女的生育率远高于城镇妇女，而在农村人口转化为城 镇人口后将导致城镇妇女的生育率有所上升。对此我们将21世纪中国的城市化 过程分为三个阶段： 第一阶段为20012025年，此阶段

46、为城市化预热阶段，城市化速度不断上 升，农村人口向城镇的转移率不断增加； 第二阶段为20262050年，此阶段为全速城市化阶段，中国正以最快的速 度进行着城市化进程； 第三阶段为 2051 年后，中国步入中等发达国家水平，城市化基本完成，城 乡人口比例趋于稳定。 经过以上分析，并以改进的宋健模型（模型三）为基础，我们得到城市化进程中 城、镇、乡的人口发展模型： 模型四模型四： 对城镇： 第一阶段由于农村人口的加入使得城镇的生育率上升， 设由于此影响该阶段 的总和生育率随时间不断增大即 tt + = 0 )(， 其中 为人口城镇化对城镇生育 率的影响系数。所以第一阶段的人口分布矩阵为 25t1

47、1)1,1( 1)1,()()()( ),( 2 )()1( 48 14 0 = + + = + = retrp rtipihikt trp rr i 第二阶段城镇化对生育率的影响达到最大并保持稳定 19 50t25 1)1,1( 1)1,()()()25( ),( 2 )()1( 48 14 0 = + + = + = retrp rtipihik trp rr i 第 三 阶 段 城 镇 化 完 成 后 生 育 率 随 时 间 变 化 慢 慢 下 降 即 ： )50(25)( 0 + =tt 50t 1)1,1( 1)1,()()()50(25( ),( 2 )()1( 48 14 0 =

48、 + + = + = retrp rtipihikt trp rr i 对于农村，过程恰好相反在此就不再赘述。 5.4.2 模型求解模型求解 首先求解城市化对生育率的影响系数 ，由2001到2005年的数据（附表 1）利用 Excel 统计可以得出五年间农村育龄妇女的生育率由 46.30下降到 39.92，平均每年下降1.595，所以可以用这五年的平均下降量来近似代替影 响系数 ，即取595.1 = 针对上述过程对城、镇、乡的人口分别编程模拟（程序见附录 4） ，得到预 测结果如图 12 和表6 所示： 2000201020202030204020502060 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 x10 8 加加入入农农村村人人口口城城镇镇化化影影响响后后的的人人口口预预测 测 年 年 份 份