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1、1 初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点（1）如果点 P在线段 BC上以 3 厘米/ 秒的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q在线段 CA上由 C点向 A点运动若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q以中的运动速度从点C出发，点 P 以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点 Q第一次在ABC的哪条边上相遇？解： （1）1t秒，3 13BPCQ
2、厘米，10AB厘米，点D为AB的中点，5BD厘米又厘米，835PC厘米8PCBCBPBC，PCBD又ABAC，BC，BPDCQP（4 分）PQvv， BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt秒，A Q C D B P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 2 515443QCQvt厘米/ 秒 （7 分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104x
3、x，解得803x秒点P共运动了803803厘米8022824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇（12 分）2、直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1 个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标解（1）A（8，0）B（0，6）1 分x A O Q P B y 名师资料总结 - - -
4、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 3 （2）86OAOB，10AB点Q由O到A的时间是881（秒）点P的速度是61028（单位 / 秒） 1 分当P在线段OB上运动（或 03t ）时，2OQtOPt，2St1 分当 P在线段 BA上运动（或38t ）时，6102162OQtAPtt，, 如图，作PDOA于点D，由PDAPBOAB，得4865tPD，1 分21324255SOQPDtt1 分（自变量取值范围写对给1 分，否则不给分）（3）
5、8 2455P，1 分1238 2412 241224555555IMM，3 分3 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于A，B两点，点 P （0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心， 3 为半径作P.（1）连结 PA ，若 PA=PB ，试判断 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解： （1）P与 x 轴相切 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
6、- - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 4 直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0） ，与 y 轴交于 B（0，8） ，OA=4 ，OB=8. 由题意， OP= k，PB=PA=8+k. 在 RtAOP 中，k2+42=(8+k)2 ，k=3，OP等于 P的半径，P 与 x 轴相切 . （2）设 P 与直线 l 交于 C，D两点，连结 PC ，PD当圆心 P在线段 OB上时, 作 PE CD于 E. PCD为正三角形， DE=12CD=32，PD=3 ，PE=3 32. AOB= PEB=90 ， ABO= PBE ，AOB PEB ，3 342,=
7、4 5AOPEABPBPB即，3 15,2PB3 1582POBOPB，3 15(0,8)2P，3 1582k. 当圆心 P在线段 OB延长线上时 , 同理可得 P(0, 3 1528)，k=3 1528，当 k=3 1528 或 k=3 1528 时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 5 4 如图 1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形A
8、BCO 是菱形，点 A的坐标为（ 3，4） ，点 C在 x 轴的正半轴上，直线AC交 y 轴于点 M ，AB边交 y 轴于点 H （1）求直线 AC的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P从点 A出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点C匀速运动，设 PMB 的面积为 S （S0） ，点 P的运动时间为 t 秒，求 S与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（ 2）的条件下，当 t 为何值时， MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP与直线 AC所夹锐角的正切值解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
9、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6 5 在 RtABC中，C=90 ， AC = 3，AB = 5点 P 从点 C出发沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿AC返回；点 Q从点 A出发沿 AB以每秒 1 个单位长的速度向点B匀速运动伴随着 P、Q的运动， DE保持垂直平分 PQ ，且交 PQ于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q同时出发，当点Q到达点 B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是 t 秒（t 0） A C B
10、 P Q E D 图 16 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 7 （1）当 t = 2时，AP = ，点 Q到 AC的距离是；（2）在点 P从 C向 A运动的过程中，求 APQ 的面积 S与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E从 B向 C运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE经过点 C时，请直接写出 t 的值解： （1）1，85；
11、（2）作 QF AC于点 F，如图 3， AQ = CP= t ，3APt由AQF ABC ，22534BC，得45QFt45QFt14(3)25Stt，即22655Stt（3）能当 DE QB时，如图 4DE PQ ，PQ QB ，四边形 QBED 是直角梯形此时AQP=90 由APQ ABC ，得AQAPACAB，即335tt 解得98t如图 5，当 PQ BC时，DE BC ，四边形 QBED 是直角梯形此时APQ =90 由AQP ABC ，得AQAPABAC，即353tt 解得158t（4）52t或4514tA C B P Q E D 图 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
12、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 8 点 P由 C向 A运动， DE经过点 C连接 QC ，作 QG BC于点 G ，如图 6PCt，222QCQGCG2234(5)4(5)55tt由22PCQC，得22234(5)4(5)55ttt，解得52t点 P由 A向 C运动， DE经过点 C，如图 722234(6)(5)4(5)55ttt，4514t】6 如图，在RtABC中，9060ACBB ，2BC点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始
13、，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E， 设直线l的旋转角为（1）当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； 当度时 ， 四 边形EDBC是直 角梯形 ，此 时AD的长为；（2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由解（1）30，1；60，1.5 ；4分（2）当 =900时，四边形 EDBC 是菱形 . =ACB=900 ，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形. 6 分在 RtABC 中， ACB=900 ，B=600,BC=2, A=300. AB=4,AC=23. AO=12AC=3 . 8 分A C(E) B P Q D
14、图 6 G A C(E) B P Q D 图 7 G O E C B D A l O C B A （备用图）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 9 在 RtAOD 中， A=300，AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 10 分7 如图， 在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C
15、运动； 动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形解： （1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于 H ，则四边形ADHK是矩形3KHAD1 分在RtABK中，2sin 454 242AKAB2cos454242BKAB 2 分在RtCDH中，由勾股定理得，22543HC43310BCBKKHHC3分A D C B M N （图）A D C B K H （图）A D C B G M N 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
16、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 10 （2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3BGAD1037GC4 分由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC又CCMNCGDCCNCMCDCG5 分即10257tt解得，5017t6 分（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt103t7 分A D C B M N （图）（图）A D C B M N H E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
17、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 11 当MNNC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN中，5cosECtcNCt又在RtDHC中，3cos5CHcCD535tt解得258t8 分解法二：90CCDHCNEC ，NECDHCNCECDCHC即553tt258t8 分当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCNCt解法一： （方法同中解法一）132cos1025tFCCMCt解得60
18、17t解法二：90CCMFCDHC ，（图）A D C B H N M F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 12 MFCDHCFCMCHCDC即1102235tt6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC为等腰三角形 9 分8 如图 1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点F46ABBC，60B. （1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个
19、动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx. 当点N在线段AD上时（如图 2） ，PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图 3） ，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 13 解（1）如图 1，过点E作EGBC于点G1
20、分 E为 AB 的中点，122BEAB在RtEBG中，60B，30BEG 2 分22112132BGBEEG，即点 E到BC的距离为3 3 分（2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变PMEFEGEF，PMEGEFBC，EPGM，3PMEG同理4MNAB 4 分如图 2，过点P作PHMN于 H ，MNAB，6030NMCBPMH，1322PHPMA D E B F C 图 4（备用）A D E B F C 图 5（备用）A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题）图 1 A D E B F
21、C G 图 2 A D E B F C P N M G H 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 14 3cos302MHPM则35422NHMNMH在RtPNH中，222253722PNNHPHPMN的周长 =374PMPNMN6 分当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变， 但MNC恒为等边三角形当PMPN时，如图 3，作PRMN于R，则MRNR类似，32MR23MNMR7 分MNC是等边三角形，3MCM
22、N此时，6 132xEPGMBCBGMC8 分当MPMN时，如图 4，这时3MCMNMP此时，61353xEPGM当NPNM时，如图 5，30NPMPMN则120PMN，又60MNC，180PNMMNC图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（P）C M N G G R G 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 15 因此点P与F重合，PMC
23、为直角三角形tan301MCPM此时，61 14xEPGM综上所述，当2x或 4 或53时，PMN为等腰三角形 10 分9 如图，正方形 ABCD中，点 A、B的坐标分别为（ 0，10） ， （8，4） ，点 C在第一象限 动点 P在正方形 ABCD的边上，从点 A出发沿 ABCD匀速运动，同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动， 当 P点到达 D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1) 当 P点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(3) 在（1）
24、中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时P点的坐标；(4) 如果点 P、Q保持原速度不变，当点P沿 ABCD匀速运动时， OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由解： （1）Q（1，0） 1 分点 P运动速度每秒钟1 个单位长度2分（2） 过点B作 BF y 轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE1046AF在 RtAFB中，228610AB 3分过点C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H90 ,ABCABBCABF BCH 6,8BHAFCHBF8614,8412OGFHCG所求 C点的坐标为（ 14，12） 4分ABCDEFGHMNPQ
25、Oxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - 16 （3） 过点 P作 PM y 轴于点 M ，PN x轴于点 N，则APM ABF APAMMPABAFBF1068tAMMP3455AMtPMt，3410,55PNOMtONPMt设OPQ 的面积为S（平方单位）213473(10)(1)5251010Stttt（0t10）5 分说明: 未注明自变量的取值范围不扣分310a0 当474710362()10t时， OP
26、Q 的面积最大 6 分此时 P的坐标为（9415，5310） 7 分（4）当53t或29513t时， OP 与 PQ相等 9 分10 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABCD 是正方形，点 E是边 BC的中点90AEF，且 EF交正方形外角DCG的平行线 CF于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点 M ，连接 ME ，则AM=EC ，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E是边 BC上（除 B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=E
27、F ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点 E 是 BC的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - -
28、- - 17 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 18 解： （1）正确（1 分）证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME（2 分）BMBE45BME，135AMECF是外角平分线，45DCF，135ECFAMEECF90AEBBAE，90AEBCEF，BAECEFAMEBCF（ASA ） （5 分）AEEF （6 分）（2）正确（7 分）证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE（8 分）BNBE4
29、5NPCE四边形ABCD是正方形，ADBEDAEBEANAECEFANEECF（ASA ） （10 分）AEEF（11 分）11 已知一个直角三角形纸片OAB，其中9024AOBOAOB ，如A D F C G E B M A D F C G E B N 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - 19 图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求
30、点C的坐标；（）若折叠后点 B落在边OA上的点为 B ，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使B DOB，求此时点C的坐标解（）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD. 设点C的坐标为00mm，. 则4BCOBOCm. 于是4ACBCm. 在RtAOC中，由勾股定理，得222ACOCOA，即22242mm，解得32m. 点C的坐标为302，. 4 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为 B , x y B O A x y B O A x y B O A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
31、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 20 则B CDBCD. 由题设OBxOCy，则4B CBCOBOCy，在RtBOC中，由勾股定理，得222B COCOB. 2224yyx，即2128yx6 分由点 B 在边OA上，有02x，解析式2128yx02x为所求 . 当02x时，y随x的增大而减小，y的取值范围为322y. 7 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且B DOB. 则OCBCB D. 又CBDCB DOCBCBD，有CBBA. RtRtCOBBOA. 有OB
32、OCOAOB，得2OCOB. 9 分在RtB OC中，设00OBxx，则02OCx. 由（）的结论，得2001228xx，解得00084 5084 5xxx，. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 21 点C的坐标为0 8 516，. 10 分12 问题解决如图（ 1） ，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN当12CECD时，求AMBN的值类比归纳在图（1）中
33、，若13CECD，则AMBN的值等于；若14CECD，则AMBN的值等于；若1CECDn（n为整数） ，则AMBN的值等于 （用含n的式子表示）联系拓广如图（ 2） ，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设111ABCEmBCmCDn，则AMBN的值等于 （用含mn，的式子表示）解：方法一：如图（ 1-1） ，连接BMEMBE，方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 图（ 2）N A B C D E F M 图（ 1）A B C D E F M N N 图 （1-1）A B C D E F M 名师资料总结
34、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 22 由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称MN垂直平分BEBMEMBNEN，1 分四边形ABCD是正方形，902ADCABBCCDDA,112CECEDECD，设BNx，则NEx，2NCx在RtCNE中，222NECNCE22221xx解得54x，即54BN3 分在RtABM和在RtDEM中，222AMABBM，222DMDEEM，2222AMABDMDE 5 分设AMy
35、，则2DMy，2222221yy解得14y，即14AM6 分15AMBN7 分方法二：同方法一，54BN3分如图（ 12） ，过点N做NGCD，交AD于点G，连接BEN 图（1-2 ）A B C D E F M G 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 23 ADBC，四边形GDCN是平行四边形NGCDBC同理，四边形ABNG也是平行四边形54AGBN90MNBEEBCBNM， 90NGBCMNGBNMEBCMNG， ，BCE与NGM中90EBCMNGBCNGCNGM， BCENGMECMG，分114AMAGMGAM5，=46 分15AMBN7 分类比归纳25（或410） ；917；2211nn10 分联系拓广2222211n mnn m12分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -