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1、33 全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第十三讲：联赛训练之平面图形立体图形空间向量一,基础知识导引,直线 ,平面之间的平行与垂直的证明方法1,运用定义证明(有时要用反证法); 2,运用平行关系证明; 3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如 ,在证明 :直线a直线b时.可以这样考虑(1),运用定义证明直线a与b所成的角为090; (2),运用三垂线定理或其逆定理; (3),运用 “ 若a平面,b,则ab” ; (4),运用“若/bc且ac,则ab”; (5),建立空间直角坐标系,证明0a bv v. ,空间中的角和距离的计算1,求异面直线所成的角(1
2、),(平移法 )过 P 作/aa,/bb,则a与b的夹角就是a与b的夹角 ; (2),证明ab(或/ab),则a与b的夹角为090(或00); (3),求av与bv所成的角 (0,),再化为异面直线a与b所成的角 (0,2). 2,求直线与平面所成的角(1),(定义法 )若直线a在平面内的射影是直线b,则a与b的夹角就是a与的夹角 ; (2),证明a(或/a),则a与的夹角为090(或00); (3)求av与的法向量nv所成的角,则a与所成的角为090或090. 3,求二面角(1),(直接计算 )在二面角AB的半平面内任取一点PAB,过 P 作 AB 的垂线 , 交 AB 于 C,再过 P作的
3、垂线 ,垂足为 D,连结 CD,则CDAB,故PCD为所求的二面角. (2),(面积射影定理)设二面角AB的大小为(090),平面内一个平面图形F 的面积为1S,F 在内的射影图形的面积为2S,则21cosSS.(当为钝角时取“”). (3),(异面直线上两点的距离公式):22222cosEFdmnmn,其中是二面角AB的平面角 ,EA 在半平面内且EAAB于点 A,BF 在半平面内且 FB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - -
4、 - - 34 AB 于 B,而ABd,EAm,FBn. (4),(三面角的余弦定理),三面角SABC中,BSC,CSA,ASB,又二面角BSA C,则coscoscoscossinsin. (5),(法向量法 )平面的法向量1nu v与平面的法向量2nu u v所成的角为,则所求的二面角为(同类 )或(异类 ). 4,求两点 A,B 间距离(1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3), 求ABuu u v. 5,求点到直线的距离(1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离. 6,求点到平面的距离(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度;
5、(2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3),(体积法 )转化为求一个棱锥的高3VhS,其中 V 为棱锥体积 ,S 为底面面积 ,h为底面上的高.(4),在平面上取一点A,求APuu u v与平面的法向量n的夹角的余弦cos,则点 P 到平面的距离为cosdAPu uu v. 7,求异面直线的距离(1)(定义法 )求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法 )转化为求几何体的高; (3)(转化法 )转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法 )构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法 )如果两异面直线,a b在同一平面内的射影分别是一
6、个点P 和一条直线l, 则a与b的距离等于P到l的距离 ; (6)(公式法 )22222cosdEFmnmn. 8,求平行的线线,线面 ,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. ,多面体与旋转体1,柱体 (棱柱和圆柱 ) (1)侧面积Sc l侧(c为直截面周长 ,l为侧棱或母线长)(2)体积VSh(S为底面积 ,h为高 ) 2,锥体 (棱锥与圆锥 ) (1)正棱锥的侧面积12Sc h侧(c为底面周长 ,h为斜高 )(2)圆锥的侧面积:Srl侧(r为底面周长 ,l为母线长 )(3)锥体的体积 :13VSh(S为底面面积 ,h为高 ). 3,锥体的平行于底面的截面性质:23
7、111123,ShVhShVh. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 35 A B C D 4,球的表面积 :24SR; 球的体积 :343VR. 二,解题思想与方法导引1,空间想象能力; 2,数形结合能力 ; 3,平几与立几间的相互转化; 4,向量法三,习题导引,选择题1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9 2,由曲线24xy,24xy,4x,4x围成的图形绕y轴旋转
8、一周所得的几何体的体积为1V;满足2216xy,22(2)4xy,22(2)4xy的点( ,)x y组成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为2V,则A,1212VVB,1223VVC,12VVD,122VV3,如右图 ,底面半径1r,被过 A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心率为22的椭圆 ,若圆柱母线截后最短处1AB,则截面以下部分的几何体体积是A,32B,2C,D,2(1)24,在四面体ABCD 中,设1AB,3CD,直线 AB 与 CD 的距离为2,夹角为3,则四面体 ABCD 的体积等于A,32B,12C,13D,335,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆
9、柱底面半径都是1, 那么 ,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是A,21B,212C,512D,5146,四面体 ABCD 的顶点为 A,B,C,D, 其 6 条棱的中点为123456,MMMMMM,共 10 个点 ,任取 4个点 ,则这 4 个点不共面的概率是A,57B,710C,2435D,4770,填空题7,正方体ABCDA B C D的棱长为a,则异面直线CD与 BD 间的距离等于. 8,正四棱锥SABCD中,045ASB,二面角ASB C为且cosmn,(m, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
10、整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 36 A B A B C A1B1C1A B C D M K N S n为整数 ),则mn. 9,在正三棱锥PABC中,ABa,2PAa,过 A 作平面分别交平面PBC 于 DE.当截面ADE的周长最小时,ADES,P到截面 ADE 的距离为. 10,空间四个球 ,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于. 11,三个12 12的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B 两片,如图 ,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,
11、则这个多面体的体积为. 12,直三棱柱111A B CABC中,平面1A BC平面11ABB A,且AC= 13AA,则 AC 与平面1A BC所成的角的取值范围是. ,解答题13,如图 ,直三棱柱111ABCA B C中,ACBC,连接1AB,1BC, 1CA,若11ABBC,求证 :11ABCA14,如图 ,设SABCD是一个高为3,底面边长为2 的正四棱锥 , K 是棱 SC 的中点 ,过 AK 作平面与线段SB,SD 分别交于 M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥SAMKN的体积 V 的最大值与最小值. 15,有一个mnp的长方体盒子 ,另有一个(2)(2)(2)mnp的长
12、方体盒子 , 其中, ,m n p均为正整数 (mnp),并且前者的体积是后者一半,求p的最大值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 37 四,解题导引1,B 设棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r,则22236()()33RaaR解得64Ra,6663412raaa,有r:R=1:3. 2,C 设(0,)(0)Aaa,则过 A 的两个截面都是圆环,面积分别是222(4)(44 )xa和222222212
13、()(4)2(2) (44 )xxaaa,于是12VV. 3,B 在椭圆中1br,又22ca,得2a,所求的体积2211 1(12)22V4,B 过 C 作/CE AB,以CDE为底面 ,BC 为侧棱作棱柱ABFECD,则所求四面体的体积1V等于上述棱柱体积2V的13,而CDE的面积1sin2SCECDECD,AB 与 CD 的公垂线MN 就是棱柱ABFECD的高 ,于是21sin2VMNCECDECD= 1332 13222,因此121132VV. 5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为21r. 6,D 44106410663141472707
14、0CCC. 7,33a设 E 是CD上的点 ,过 E 作 EHDC于 H,所以 EH面 ABCD, 过 H 在面 ABCD 内作 HFBD,连接 EF,所以 EFBD, 令DHx,HEax,22FHx,所以 EF= 22222223323()()2()222333aaxxxaxaxaa. 8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在SAB内作高 AE, 则 CE 也是SBC的高 ,故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 38
15、 A B C D E AP A B C D E F O AEC.设1SA则12AECE,0452sin2ABBC,222ACABBC=020458sin4(1cos45 )42 22.222cos382AECEACAE CE, 得385mn. 9,23 5564a; 3 55a将三棱锥的侧棱PA 剪开 ,当ADE的周长最小时 ,其展开图如图ADE的周长即是展开图中线段AA的长 .易证ABDPAB,又 PA=2AB=2a,故2ADABBDa, 32PDPBBDa,34PDDEBCaPB.ADE中, DE 上的高22155()28AHADDEa.于是213 55264ADESAHDEa; 从 P
16、向底面作高PO.则 PO=22PAAO=22133(2 )()33aaa.于是2313331133412PABCVaaa. 又22916PDEPBCSPDSPB,得3399113 1116161264APDEA PBCVVaa.设 P 到截面的距离为d,则313 11364A PDEPADEADEVVd Sa,于是3 55da. 10,611设半径为 3 的球心为 A,B, 半径为 2 的球心为 C,D.则易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为r,则 O 在四面体 ABCD 内且 AO=BO=3+r,CO=DO=2+r.取 AB 中点 E,连结CE,DE,则
17、 CEAB,DEAB, 故平面 CDE 为线段 AB 的垂直平分面,所以 O 在平面 CDE 内,又由 OC=OD=2+r知 O 在 CD 的垂直平分面内,故 O 在等腰CED底边 CD 上的高 EF 上(F 为 CD 中点 ),易算出 ED=EC= 22534,得ECD为等边三角形 .于是 EF=32 32ED.而22OFOCCF=22(2)2(4)rrr.OE=2222(3)3(6)OAAErrr,代入 OE+OF 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9
18、页 - - - - - - - - - 39 A B C A1B1C1S H H1=EF=23得(4)(6)2 3rrrr,解得611r. 11,864 将几何体补成一个棱长为12 的正方体 ,几何体的体积为正方体体积的一半,为3122. 12,00030作 AD1A B于 D,易证 AD平面1A BC,所以ACD.设1AAa, ABx,则223sinaxADaax,故22223sin13sinax.易证 BC平面11A ABB, 故090CBA,从而ABAC,即3xa,于是22223sin0313sinaa,1sin2, 又00090,得00030. 13,证明 :设 D,1D分别为 AB,
19、11A B的中点 .连结 CD,11C D及1BD,1DA.因为11/BD D A,所以四边形11BD A D为平行四边形 ,得1BD/1DA.因 AC=BC, 于是1111B CC A.又 D,1D分别为AB,11A B的中点 ,故 CDAB,11C D11A B,而1AB在平面 ABC( 或111A B C)内的射影为AB (或11A B),得1ABCD,1AB11C D,又已知1AB1BC,所以1AB平面 B11C D,从而1AB1BD,又1BD/1DA,所以1AB1DA.又1AB11C D,得1AB平面1ACD,从而得证 . 14,解:为了建立V 与原四棱锥SABCD的关系 .我们先引
20、用下面的事实 : (如图 )设111,A B C分别在三棱锥SABC的侧棱 SA,SB,SC 上, 又111SA B C与SABC的体积分别是1V和 V,则1111VSA SB SCVSA SB SC. 事实上 ,设 C,1C在平面 SAB 的射影分别是H,1H.则111C HSCCHSC, 又1 111SABSABSSA SBSSA SB,所以111111111313SABSABC HSVSA SB SCVSA SB SCCH S.下面回到原题. 设SMxSB,SNySD,因SABCD的体积为2013 243V.于是由上面的事实有012SAMNS KMNSAMKS ANKS ABDS CBD
21、SABCS ADCVVVVVVVVVV.得2VSM SN SASM SN SKSB SD SASB SD SC= 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 40 A B C D B1C1D1A1SM SK SASN SK SASB SC SASD SC SA=111222xyxyxy,于是31xyx, 而由0131xyx,1x,得112x.则31xVxyxx,(112x). 又得2213 (32)1(31)(31)xxVx
22、x.所以(1)当1223x时,0V,V 为减函数 ,(2)当213x时,0V,V 为增函数 . 所以得min2343xVV,又11232xxVV,得max11232xxVVV. 15,解:由题意 ,2(2)(2)(2)mnpmnp,得222(1)(1)(1)2mnp. (1)当8m时,由mnp,则32222(1)(1)(1)(1)28mnp,矛盾 ! (2)当2m时,222(1)(1)(1)2mnp,矛盾 ! (3)当3m时,则65(2)(2)npnp,即(10)(10)120np. 所以p的最大值为130; (4)当4m时,则43(2)(2)npnp,即(6)(6)48np. 所以p的最大值
23、为54; (5)当5m时,222(1)2222(1)(1)(1)(1)55pmn,得98p. 综上所述 :p的最大值为130. 参考题 (如图 )在棱长为1 的正方体 ABCD1111-A B C D中, (1)求异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小;(060) (2)求异面直线1AB 与1BC 之间的距离 ;(33) (3)求直线1AB 与平面1BCD 所成的角的大小;(030) (4)求证 :平面1ABD/平面 C1B1D;(略) (5)求证 :直线 A1C平面1ABD;( 略) (6)求证 :平面 AB1C平面1ABD;( 略) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 41 (7)求点1A到平面 C1B1D的距离 ;(33)(8)求二面角1A1BC1D的大小 .(6arccos3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -