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1、全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知： AB=4 ，AC=2 ，D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD 延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4AD6 又 AD 是整数 ,则 AD=5 2.已知： D 是 AB 中点， ACB=90 ，求证：12CDAB3.已知： BC=DE ， B=E，C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 证明：连接 BF 和 EF。因为BC=ED,CF=DF, BCF= EDF。所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边 )
2、。所以BF=EF,CBF= DEF。连接BE。在三角形 BEF 中,BF=EF。 所以EBF= BEF。 又因为ABC= AED 。 所以 ABE= AEB 。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF=AEB+ BEF= AEF。 所以三角形 ABF 和三角形AEF 全等。所以BAF= EAF ( 1=2)。A B C D E F 2 1 A D B C D A B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页
3、，共 12 页 - - - - - - - - - 4.已知： 1=2，CD=DE ，EF/AB ，求证： EF=AC 证明：过 E 点， 作 EG/AC ， 交 AD 延长线于 G 则 DEG=DCA ，DGE= 2又CD=DE ADC GDE（AAS）EG=AC EF/AB DFE= 11=2DFE= DGEEF=EG EF=AC 5.已知： AD 平分 BAC ，AC=AB+BD ，求证： B=2C 证明：在AC 上截取 AE=AB ，连接 EDAD 平分 BAC EAD= BAD 又 AE=AB ，AD=AD AED ABD （SAS） AED= B，DE=DB AC=AB+BD AC
4、=AE+CE CE=DE C=EDC AED= C+EDC=2CB=2C 6.已知： AC平分 BAD ，CEAB ， B+D=180，求证：AE=AD+BE 证明：在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF 因为 CEAB 所以 CEB CEF90因为 EBEF，CECE， 所以CEB CEF 所以 B CFE 因为 B D180 ， CFE CFA180所以 DCFA 因为 AC 平分 BAD 所以 DAC FAC 又因为 AC AC 所以 ADC AFC（SAS） 所以 ADAF 所以 AEAFFEAD BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB DC，BE、CE 分别平分 ABC
5、 、 BCD ，且点 E 在 AD上。求证： BC=AB+DC 。证明 :在 BC 上截取 BF=BA, 连接 EF.ABE= FBE,BE=BE,则 ABE FBE(SAS),EFB= A;AB 平行于 CD,则:A+D=180 ;又 EFB+EFC=180 ,则 EFC=D;又 FCE=DCE,CE=CE, 故 FCEDCE(AAS),FC=CD.所以 ,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
6、 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 13.已知： AB/ED ， EAB= BDE ，AF=CD ，EF=BC，求证： F=C AB/ED,AE/BD推出 AE=BD, 又有 AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ，所以:C=F 14. 已知： AB=CD ，A=D，求证： B=C 证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E， （当 ADBC 时， E 点是射线AB,DC的交点）。则： AED 是等腰三角形。所以：AE=DE 而 AB=CD 所以：BE=CE ( 等量加等量，或等量减等量）所以：BEC 是等腰三角形所以：角B=角 C. 15. P是
7、 BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证： PC-PBAC-AB 作 B 关于 AD 的对称点B ，因为 AD 是角 BAC 的平分线，B在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PCPB +BC,PC-PBBC,而BC=AC-AB=AC-AB,所 以PC-PB 三角形ADC 全等于三角形ABC.所以 BC 等于 DC，角 3 等于角 4,EC=EC 三角形 DEC 全等于三角形 BEC 所以 5=634已知 ABDE，BCEF，D，C 在AF上，且 ADCF，求证：ABCDEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF 所以 AC=DF 又因为 AB平行 DE，BC 平行 EF 所
8、以角 A+ 角 EDF，角 BCA= 角 F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等35已知：如图， AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为D、E，BD、CE 相交于点F，求证： BE=CD证明：因为AB=AC ，所以EBC=DCB 因为 BD AC，CEAB 所以 BEC=CDB D B CA F E 654321EDCBAA C B D E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - BC=C
9、B ( 公共边 ) 则有三角形 EBC 全等于三角形DCB 所以BECD 36、如图，在 ABC 中， AD 为BAC 的平分线， DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证： DE=DFAAS 证ADF 37.已知：如图 , ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的长？角 C=角 E=90 度角 B=角 EAD=90 度-角 BAC BC=AE ABC DAE AD=AB=5 38如图： AB=AC ，ME AB ，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF 。求证： MB=MC 证明 AB=AC ABC 是等腰三角形B= C
10、又 ME=MF ，BEM 和CEM 是直角三角形 BEM 全等于 CEMMB=MC 39. 如图，给出五个等量关系：ADBCACBDCEDEDCDABCBA请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明已知：求证：证明：已知 1,2 求证 4 因为 AD=BC AC=BD ， 在四边形 ADBC 中， 连 AB 所以ADB 全等于 BCA 所以角 D=角 C 以 4,5 为条件， 1 为结论。即：在四边形ABCD 中， D= C， A= B，求证： AD=BC因 为A+ B+C+D=360D= C ， A=B ， 所 以2(A+ D)=360 ，
11、A+ D=180 ，所以AB/DC 40在 ABC 中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，A E B D C F D C B A E BCMAFEA B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - MNBE于E.(1) 当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时， 求证： ADCCEB；BEADDE；(2) 当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，
12、说明理由. （1）证明：ACB=90 ， ACD+ BCE=90 ，而 AD MN 于 D，BEMN 于 E， ADC= CEB=90 ， BCE+CBE=90 ， ACD= CBE在 RtADC 和 RtCEB中， ADC= CEB ACD= CBE AC=CB ， RtADC RtCEB（AAS ） ， AD=CE ，DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在ADC 和CEB 中， ADC= CEB=90 ACD= CBE AC=CB ， ADC CEB（AAS ） ，AD=CE ，DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE；41如图所示，已知AE AB ，AFA
13、C ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （2）EC BF （1）证明 ;因为AE 垂直AB所以角EAB= 角 EAC+ 角CAB=90度因为AF 垂直AC所以角CAF= 角 CAB+ 角BAF=90 度所以角 EAC= 角 BAF 因为 AE=AB AF=AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等所以 EC=BF 角 ECA= 角 F （2）(2)延长 FB 与 EC 的延长线交于点G 因为角 ECA=角F(已证）所以角G=角 CAF 因为角 CAF=90 度所以 EC 垂直BF42如图： BEAC，CFAB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；
14、 （2）AM AN 。证明： （ 1）BEAC ，CFAB ABM+ BAC=90 ，ACN+ BAC=90 ABM= ACN BM=AC ，CN=AB ABM NAC AM=AN （2）ABM NAC BAM= N N+BAN=90 BAM+ BAN=90即 MAN=90 AM AN 43如图 ,已知 A= D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证 :BCEF 连接 BF、CE，证明 ABF 全等于 DEC（SAS） ，然后通过四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得 BC 平行于 EF FBCAMNE1234A E B M C F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎
15、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 44如图 ,已知 ACBD，EA、EB 分别平分 CAB 和 DBA ，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD相等吗？请说明理由在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以 ANE= ACE 又 AC 平行 BD 所以 ACE+ BDE=180 而 ANE+ ENB=180 所以 ENB= BDE NBE= EBNBE 为公共边 , 所以
16、三角形EBN 全等三角形EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、 （10 分） 如图 ,已知 : AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE 求证 :BECF证明： AD 是中线 BD=CD DF=DE ，BDE= CDF BDE CDF BED= CFDBE CF46、 (10 分 )已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足，DEBF求证：ABCD证 明 ： DEAC ， BFAC ， DEC=AFB=90 ， 在Rt DEC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA， C=A， ABCD47、 (10 分) 如图，已知 1=2，
17、3=4，求证： AB=CD 【待定】48、 (10 分)如图，已知ACAB，DBAB ，ACBE，AEBD，试猜想线段CE 与 DE的大小与位置关系，并证明你的结论. 结论： CEDE。当 AEB 越小，则 DE 越小。证明：过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F，连接 FB 由已知条件知 AFDE 为平行四边形， ABEC 为矩形，且DFB 为等腰三角形。 RTBAE 中， AEB 为锐角，即AEB90 DF/AE FDB= AEB45RTAFB 中， FBA=90 -DBF 45 ABAF AB=CE AF=DE CEDE 49、 (10 分)如图，已知ABDC，AC DB，BECE，
18、求证： AEDE. 先证明 ABC BDC 的出角 ABC= 角 DCB 在证明 ABE DCE 得出 AE=DE A B E C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 50如图 9 所示， ABC 是等腰直角三角形，ACB 90，AD 是 BC 边上的中线，过C作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDE 证明：作 CG 平分 ACB 交 AD 于 G ACB=90 ACG= DCG=45 ACB=90 AC=BC B=BAC=45 B=DCG=ACGCFAD ACF+ DCF=90 ACF+ CAF=90 CAF= DCF AC=CB ACG= B ACG CBE CG=BE DCG=B CD=BD CDG BDE ADC= BDE A B C D E F 图 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -