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1、 二次根式二次根式 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.二次根式的定义二次根式的定义(1)(1)式子式子 ( (a0)a0)叫做二次根式叫做二次根式. .(2)(2)二次根式二次根式 中，被开方数必须非负，即中，被开方数必须非负，即a0a0，据此可以确定被开方数为非负数据此可以确定被开方数为非负数. .(3)(3)公式公式( )( )2 2= =a(a0).a(a0).aaa2.2.积的算术平方根积的算术平方根(1)(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平
2、方根的积积. .(2)(2)公式公式 = ( = (a0a0，b0).b0).abba 3.3.二次根式的乘法二次根式的乘法(1)(1)公式公式 = . = .(2)(2)二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运算律在实数范围内仍可使用算律在实数范围内仍可使用 abab4.4.商的算术平方根商的算术平方根(1)(1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根的算术平方根. .(2)(2)公式公式 （a0,ba0,b0 0）. .baba5.5.二次根式的除法二次根式的除法(1) (1) 公
3、式公式. .(2)(2)二次根式的除法运算，通过采用化去分母中的根号二次根式的除法运算，通过采用化去分母中的根号的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化. .baba6.6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. .(1)(1)被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数的因数是整数，因式是整式. .(2)(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式被开方数中不含开方开得尽的因数或因式. .(3)(3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数. .7.7.几
4、个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. .8. 8. ) )0 0a a( ( a a) )0 0a a( ( a a| |a a| |a a2 21. (2004年年西宁西宁)如果最简二次根式如果最简二次根式 与与 是同类根式，那么使有意义的是同类根式，那么使有意义的x x的取值范围是的取值范围是 ( ) A.x x 1010 B. x x 10 10 C. x x 1010 课前热身课前热身A2. (20004年年宁夏宁夏)计算：计算： 的结果是的结果是 。4 4x
5、 x1 1y y 3.若若 ，则的取值范围是，则的取值范围是 。x x2 2a a4 4 x x2 2) )2 2x x( (2 2 8 8a a3 3 8 81818 12x2x2C4.(2004年年甘肃甘肃)在函数在函数 中，自变量中，自变量x x的取值的取值 范围是范围是 ( ) A.x x 4 4 B. x x 4 4 C. x x 4 4 D. x x 45.(2004年年南昌南昌)化简化简 课前热身课前热身6.直接写出下列各题的计算结果：直接写出下列各题的计算结果：(1) = ；(2) ；(3) = ；(4)(3+ )2002(3 )2003= .2 2) )2 21 1( ( )
6、 )9 9( () )1 16 6( (2 22 21 14 45 50 0 1010 10101 10 03 3 11248 5 55 55 55 51 1 7.在在 、 、 、 中与中与 是同类二次根式的是是同类二次根式的是 、 .50501 12 27 71 175756 61 12 21 12 22 27 71 175758. (2004年年沈阳沈阳)下列各式属于最简二次根式的下列各式属于最简二次根式的是是 ( ) A. B. C. D.9. (1)化简化简(a-1a-1) 的结果是的结果是 .(2)当当x5时，化简时，化简 . (3)(2002年年天津市天津市)若若1x4时，则时，则
7、 = 。3 3y y1 1x x2 2 a a1 11 1 a a1 1 4 4x xx xx x8 81 16 62 22 22 2) )1 1x x( () )4 4x x( ( 32x-82x-8 课前热身课前热身8 82 21 1B10.（2004 陕西）计算：陕西）计算：3 31 16 627273 32 21 1 2 23 32 23 33 33 32 23 33 36 63 33 33 32 23 32 23 32 2 ）（）（解：原式解：原式 典型例题解析典型例题解析【例【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： (1) (2)
8、 x2xxxx35)3( ;32解解:(1)由由2-x0 x2，x2时，时， 在实数范围的有意义在实数范围的有意义.(2)由由x3时，时， 在实数范围内有意义在实数范围内有意义.x2 3 3x x2 2x x0 03 3x x0 02 2x x3 3x x2 2x x (3)由由-5x3时，时， 在实数范围内有意义在实数范围内有意义. 3 3x x5 5x x0 0 x x3 30 05 5x x3 3x x5 5x x 【例【例2】 计算：计算：(1)(2)(3) (4) 3 32 2) )2 27 74 44 48 83 3( ( b ba a1 15 5a ab b5 5a ab ba
9、a1 10 02 2 2 22 2) )6 63 32 2( () )6 63 32 2( ( )632()632(解：解：(1)原式原式=(2)原式原式=(10=(10a a5 515)( 15)( )= )= =(3)原式原式= =(4)原式原式= = = a ab ba ab ba ab ba ab ba ab ba a3 31 10 02 2 ) )6 63 32 26 63 32 2) )( (6 63 32 26 63 32 2( ( 2 22 24 46 64 4) )1 12 23 32 2( (2 22 2 6 63 32 2 ) )6 63 3( (2 2 2 22 2)
10、)6 63 3( () )2 2( ( 3 31 12 23 37 7) )3 36 63 31 12 23 3( (2 2 0 03 32 2) )3 312123 31212( ( a ab ba ab b3 31 10 0【例例3】 求代数式的值求代数式的值.(1) (2) 若若x2-4x+1=0，求求 的值的值. .b ba aababb ba a, ,3 32 23 32 2b b , ,3 32 23 32 2a a2 22 22 22 2的值的值求求若若 5 5x x1 1x x2 22 2 解解:(1) . . 1 13 32 23 32 23 32 23 32 2abab,
11、,1414) )3 32 2( () )3 32 2( (3 32 23 32 23 32 23 32 2b ba a2 22 2 原式原式abab2 2) )b ba a( () )b ba a( (abab2 2 2 2141414142 2977(2)由由x2-4x+1=0 x+ -4=0 x+ =4.原式原式=x1x13 39 97 74 45 52 2) )x x1 1x x( (2 22 2 【例【例4】 比较根式的大小比较根式的大小.(1) (a+b)/2 与与 ；(2)a ab b13137 714146 6 和和(2)9 91 12 22 20 0) )1 13 37 7(
12、(, ,8 84 42 22 20 01 14 48 84 42 26 6) )1 14 4) )6 6( (2 22 2 ，又又0 01 14 46 6 0 013137 7 且且13137 714146 6 解：解：(1) 0 2 2) )b ba a( (2 2b ba ab b2 2a aa ab b2 2b ba a2 2 a ab b2 2b ba a 9 91 12 22 20 08 84 42 22 20 0 【例【例5】 已知：已知： ,求求 的值的值.a aa a1 1x x 2 22 2) )x xx x4 4( (a a 解：已知解：已知x0，a a0, ,得得1- 1
13、-a a0， 即即a a1. 0a a1原式原式= = = = = 0 0a aa a1 1a aa a1 1 a aa a1 12 2x x) )a aa a1 1( () )x x( (2 22 2 4 4) )2 2x x( (a a2 22 2 4 4) )a aa a1 1( (a a2 22 22 22 2) )a aa a1 1( (a a 2 22 2) )a a1 1( ( 2 22 2a a1 1a a1 1 1.1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同几个二次根式化成最简二次根
14、式后，被开方数相同. .2.2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分化成最简二次根式，再约分. .3.3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷. . 课时训练课时训练1. (2004年年哈尔滨哈尔滨)函数函数 中，自
15、中，自 变量变量x x的取值范围是的取值范围是 .3. (2004年年河南省河南省)函数函数 中，中，自变量自变量x的取值的取值 范围是范围是 .x x5 53 3x x1 1y y 1 1x x2 2x xy y 2. (2004年年临汾市临汾市)若实数若实数ab，则化简，则化简 的的结果是结果是 ( ) A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b2 2) )b ba a( ( 4. (2004年年西宁市西宁市)当当m22时，化简：时，化简： 2 2m mm m4 44 42 2m m D33x551 1x x2 2x x 且且 课时训练课时训练5. (2004年年南京市南京市)计算：计算： 7. (2004年年山西省山西省)观察下列各式：观察下列各式： 请你将猜想到的规律用含自然数请你将猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来：的代数式表示出来： 12123 32 22 2, ,4 41 13 34 41 12 2, ,3 31 12 23 31 11 1 6. (2004年年上海市上海市)化简：化简： 8 81 14 41 12 21 12 21 18 834 42 2n n1 1) )1 1n n( (2 2n n1 1n n 5 51 14 45 51 13 3