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1、5.2.4 功率谱密度函数功率谱密度函数简称为功率谱（PSD）它通过信号均方值的谱密度来描述随机信号的频率结构。随机信号的相关函数和功率谱在数学上是付氏变换对，两者都是描述随机信号的重要工具，只不过相关函数是在时域内，而功率谱是在频域内对信号的分析，二者所包含的信息是完全相同的。由于对系统的传递特性和运动状态环境模拟的研究都需要在频域内进行，因此，对随机信号进行频谱分析是十分重要的，它的研究工作有着极为重要的意义。近年来，在力学、电子学、声学、医学、地质、地震、军事领域中得到广泛的应用。例如：飞机、火车、汽车、轮船的各种振动和噪声的研究，大型高速机械的应力分析，建筑结构受地震叠加脉冲波作用的分
2、析，传递特性的分析和频率响应测量等等，都广泛应用谱密度分析。功率谱是通过均方值的谱密度来描述信号频率结构的一种方法。正如相关函数一样， 是描述功率结构的一种方法。功率谱密度根据所用的变量也分为自谱和互谱两种。5.2.4.1 自功率密度函数利用遍历过程的自相关函数)(Rx，可以得到自功率谱的定义如下deRfSf2jxx)()(（519）反之有dfefSRf2jxx)()(（5 20）上二式称为维纳-辛钦关系式， 即遍历过程)(fx在时域的统计量)(Rx可以通过付氏变换而转换成为频域中的统计量)( fSx，二者共同构成付氏变换对。自然产生的随机过程的样本函数，其时间历程)(tx是非周期的，因此不能
3、用离散的傅立叶级数表。而且平稳过程)(tX而言，是无限的继续下去，不满足条件dttxfS2x)()(因此，除非采用特殊方法，否则就不能通过对)(tx的付氏变换得到关于随机过程的频率成分的信息，这个困难可以通过对该过程样本函数的自相关函数)(Rx（而不是样本函数本身）做付氏分析解决得到。这个方法的根据是，自相关函数间间接地给出了包含在随机过程中的频率消息。)( fSx是在（ -,+）频率范围内的功率谱，它的谱图对称的分布在频率轴的两边， 所以又称为双边谱。但在实际应用中， 频率范围一般都是在（0, ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 范围内， 即频谱图是分布在频率轴的正方向上的单边谱。考虑到能量等效，在用单边功率谱)( fGX来代替双边功率谱)( fSx时，必须保持deR2fS2fGf2jxxx)()()(（521）图（ 5-9）给出了单边和双边谱的关系。为了说明)( fSx的物理意义，在维纳-辛钦关系式中令0，则有dttxT1dffS0RT02Txx)(lim)()(（522）假如把)(tx看成电工学中的电流，则有均方值2x就等于平均电功率，而相应的)( fSx图（ 5-9）图（ 5-10）就表示平均功
5、率按频率f的分布密度。所以称)( fSx为功率谱密度，而由)( fSx与f轴所包含的面积等于均方值2x，2x代表随机过程)(tX的平均功率，所以又称)( fSx为均方谱密度。为了进一步说明功率谱密度的物理意义，在图（5-10）上，于频率f0处截取频率间隔f，则分布在频率间隔上的小面积为2x=dffSxffff00)(小面积2x是整个面积2x的一部分，随机信号的均方值2x所代表的总面积，可视为各频率间隔所包含的小面积2x的总合。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共
6、 9 页 - - - - - - - - - 在实际测量中一般是用一只中心频率f1可调的窄通道滤波器对)(tx的磁带记录进行滤波，由此所得的信号)(txf只包含与f1一致的信号， 然后对信号进行平方并取均值，见图（ 1） 。不断改变滤波器中心频率不断地按下式进行运算，即可得到功率谱的直方图。其运算关系为功率谱密度)( fGx=T02ffTdttxfT1lin)(（5 23）这种模拟方法的物理意义比较清楚，但工作量很大， 故在近代工程应用中已多采用数字技术，特别具有FFT 程序的计算机来进行处理。图（ 1）在工程实践中， 常用一些频谱的主要成分集中于频率轴某一范围内的噪声信号，而在这个范围以外的
7、信号频谱分量强度很小。信号频谱主要成分集中所在的频率范围用带宽来表示。假如信号谱密度如图（2a）示，在频率轴上占据很窄的一段范围，就叫做“窄带”噪声。假如信号谱密度如图（2b）示在频率轴上占据较宽的一段范围，就叫做“宽带”噪声，其时间历程是此频带内的每个频率成分相叠加的结果。窄带噪声的频率是固定的，而幅值是变化的；宽带噪声的频率和振幅都是变化的，而且不是重复出现的。图（ 2）如果谱密度的数值不变，且其频带从01起延伸到2，则称该频谱为“白频谱” ，或白噪声频谱。白噪声的均方值必定是无限大的，而总功率无名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
8、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 限大的信号实际上当然是不可能得到的，所以白噪声不仅仅是理想的概念。在实际应用中只需要使试验信号在所需的频率范围内具有一段平直的功率谱也就可以了。功率谱密度函数主要用来建立数据的频率结构，表示出信号在各个频率上的能量与幅值的大小。功率谱分析广泛应用于机械设备的强度、寿命与可靠性的研究中。当把谱分析用于机械或过程的故障诊断时，频谱时分析相当于给机械设备做一次“透视” ，从中可以了解机械设备各部分的运行情况。定期观察谱图的变化，并与正常情况下的基准谱图进行比较，就能及时预防故障的
9、发生。谱分析还用于调查机电设备产生噪声的原因，测定大型结构物（包括高层建筑与大地等）的固有频率。近年来，谱分析技术亦用于语言分析，生物工程等领域中，功率谱密度还是研究物理系统动态特性的重要工具。设一个系统的频率响应函数为)( fH，假定其输入为一个功率谱密度为)( fGx的平稳随机信号，则系统的输出也将是一个平稳的随机信号，其功率谱密度函数)( fGy为)()()(fHfGfG2xy（524）所以只要测得上式中的任意两个量，就可以推算出第三个量。图（ 3）图（ 3）示出了某些实际测得的功率谱密度曲线。其中图（3a）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
10、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 对应于图（ -）示出的心电图信号；图（-3b）示出了在阿波罗宇宙飞船上记录到的振动加速度信号；图（-3c）则是用一只热丝风速表所测得的空气湍流速度信号。心电图频谱中突出的，并规律分布的尖峰是由于强类周期分量引起的，而空气湍流的平滑谱则证明信号具有纯随机性质，其中无周期性成分。在阿波罗宇宙飞船的结构振动数据中，则表现出周期与随机两种类型信号的混合。有时人们需要研究随时间而变化的功率谱，为此，可等时间间隔地画出功率谱，这样得到的一群功率谱图称为谱场见图（-4） 。
11、功率谱场也能用于研究非平稳随机过程，更加开拓了功率谱的应用范围。5.2.4.2 互功率谱密度函数互相关函数与互功率谱密度之间也构成付氏变换对。互功率谱密度函数可定义为defRfSf2jxyxy)()(（525）dtefSRf2jxyxy)()(（526）或可写成单边功率谱形式dteR2Gf2jxyxy)()(（527）由于互相关函数不是偶函数，故互谱密度函数一般是如下形式的复数)()()(fQjfCfGxyxyxy（5 28）其中实部)( fCxy称为共谱密度函数，虚部)( fQxy称为重谱密度函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
12、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 当直接用频率来表示时，共谱密度函数)( fCxy可当作)(tx与)(ty在窄频带区间),(fff内的平均乘积除以区间f得到的值。而重谱密度函数)( fQxy也有类似的定义，不过所取的)(tx与)(ty的相位应相差度。互谱密度可以更方便的表示为极坐标的形式。)( fGxy= efGfjxyxy)()(（ 529）其中模)(fyGx和相角)( fxy可由Cxy和Qxy表示为)()()(fQfCfGxy2xy2xy（530）)()()(fCfQarctgfxyxyxy（531）用
13、互谱密度函数来分析信号的优点是，它不仅给出了振幅谱的信号，而且也给出了相位谱的信号，这是自相关函数所不及的。互谱密度函数广泛应用于物理系统动态特性的研究，这时系统及其输入输出之间互谱的相角)( fxy表明了系统在频率f处的滞后量。 因此可以算出在任意频率上输入信号通过系统的滞后时间为f2xy5.2.4.3 相干函数（凝聚函数）实际系统测得的互谱和自谱之间的关系可有一个相干系统来描述，即)()()()(fGfGfGfryxxy2xy(1r02xy) （532）因为这个系数取决于频率，故不同于时域内定义的相关系数)(。它在频域内描述信号)(tx与)(ty之间的相关性，通常称为相干函数，又称为凝聚函
14、数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 相干函数r2xy在物理意义上反映信号)(ty在数量上有很大程度是来源于)(tx当1r2xy时，表示信号)(ty完全来源于信号，即信号)(ty与信号)(tx完全相干。 此时所计算出的互谱)( fGxy与传递函数)( fH估计是完全可信的。当0r2xy，表示)(tx与)(ty互不相干， 它们的统计特性是独立的，故由此算出的)( fGxy与)( fH毫无意义。 一般情况下，r2xy在
15、 01 之间。对于线性系统而言，这种情况可理解为在各频率处，信号)(ty中有一部分来源于)(tx，也有一部分是其它震源或外界干扰所致。5.2.4.4 倒频谱最后简要介绍一下倒频谱的概念，这是近代信号处理中的一项新技术。可以分析复杂频谱图上的周期结构并分离和提取在密集泛频信号中的周期成分。倒频谱对于具有同族谐频或异族谐频和多成分边频等复杂信号的分析甚为有效。广泛应用于震动分析、噪声源识别、 机械故障诊断与预报、地震回波分析遗迹传声回音识别等方面的研究。前面已经讲到， 时域信号)(tx经过付氏变换可转换频域函数)( fX或功率密度函数)( fGxy。当频谱图上呈现出复杂的周期结构而难以分辨是，可以
16、对功率谱密度函数的对数再进行一次傅立叶变换。第二次傅立叶变换的平方就是)(tx的倒功率谱函数)(qGp，其表示为)(qGp= F2xfG)(log（ 533）用文字表达是：倒功率谱是“对数功率谱的功率谱”。工程上也常取上式的开方式，即称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱。)(qGa=)(qGp= F)(logfGx（ 534）上述功率倒频谱或幅值倒频谱中的自变量q称为倒频谱， 它具有与自相关函数)(Rx中的自变量相同的时间量纲，一般以毫秒计。q值大者， 成为高倒频率，表示频谱图上的快速波动和密集谐频。反之，q值小中称为低倒频率，表示频谱图的缓慢波动和离散谐频。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
17、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 倒频谱实际上是频域信号取对数后的傅立叶变换再处理，或简称频域信号的傅立叶再变换， 它与相关函数的区别只在于对数加权。对功率谱密度取对数的目的，是使再变换以后的信号能量格外集中。同时，可以解析乘积成分，易于对原信号识别。图（ 5-15a）示出了一种标准元音的声音，从频谱图上可显然看出两个特点，存在着大量间隔等于声音音调的谐波成分和一些共振峰，它们取决于声带的形状，并决定了具体的元音发声。如果用)( fV表示原声信号的功率谱
18、。用)( fF表示共振特性的球面形状，则合成的元声声音的功率谱为)()()(fFfVfS如果用对数表示，则乘积变为加法，并可写为)(log)(log)(logfFfVfS由于付氏变换的线形关系，变换后的加法关系仍保持不变。图（ 5-15）图（ 5-15b）示出了此项结果。由图可见，由于声音与共振性在谱图中具有完全不同的倒频率成分，故这两种影响在倒频谱中就完全地分离开来。这种用处不仅适用于语言分析，比如说，可以把)( fV看作是机器中内部声源的频谱，而把)( fF看作是从声源到外部某一测点上的传递函数。假如源频率中所感兴趣的倒频率分量能够很好地与传递函数的倒频率分量分离开来， 则倒频谱中所感兴趣
19、的部分将不受频谱总形状的影响，因此可以认为具体的测点具有独立性（即不受干扰的影响）。这一节所讨论的主要问题能简要归纳如下：描述一个随机信号，需要以下几个主要概率特征：均方值、平方值方差；概率密度函数或概率分布函数；自相关函数， 互相关函数及它们的相关系数；自谱、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 互谱及它的相干函数等。均方值提供了数据在强度方面的基本描述；概率密度数据提供了随机信号在幅值域内的有关统计特性；自相关函数和功率谱密度分别在时域和频域上提供类似的信息。 对于平稳随机信号而言，功率谱密度函数和相关函数所提供的信息是相同的，因为二者互为付氏变换对，但二者给出的信息形式是不同的。要点及习题要点：)(Rry自功率密度函数、互功率谱密度函数、相干函数（凝聚函数）、倒频谱习题：1、 怎样从功率谱图中识别纯随机信号、含有强的类周期信号和二者混合的信号？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -