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1、1 第六节二次函数的实际应用, 河北 8 年中考命题规律) 年份题号考查点考查内容分值总分20149 二次函数的实际应用以正方形板材面积与成本关系为背景，利用二次函数关系求板材边长3 3 201325 二次函数的实际应用以运输为背景，给出几组数据， (1) 求二次函数解析式； (2)(3)问通过二次函数解析式求某一点的值； (4) 求使二次函数值保持不变的条件12 12 201224(2) 一次函数、二次函数结合的实际应用以工厂生产薄板为背景，(2) 求满足关系的二次函数解析式；求最大利润5 5 20118 二次函数的实际应用以抛小球为背景，已知函数解析式求最大高度2 2 201026(1)
2、(2)(3) 一次函数、二次函数的实际应用以销售节能产品为背景， (1)代入函数解析式求值； (2) 求满足关系的二次函数解析式； (3) 求利润最大时 x 的值及 a 的值9 9 20099 二次函数的实际应用以刹车为背景，已知刹车距离与刹车速度的二次函数解析式，求开始刹车 时的速度2 2 命题规律二次函数的实际应用为河北近 8 年中考每年的必考考点，题型一般为选择、解答题，分值为212 分，在选择中考查比较简名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 -
3、- - - - - - - - 2 单，解答中综合性较强纵观河北 8 年考查内容可以看出，常考类型有： (1) 单纯二次函数的实际应用，其中在选择题中考查了 3 次，在解答题中考查了2次； (2) 二次函数与一次函数结合，其中在解答题中考查了 2 次近两年没考命题预测预计 2017 年会以考查一次函数与二次函数结合的实际应用问题为主一般设问求函数的解析式，然后通过解析式求最值问题，题型以解答题为主 . , 河北 8 年中考真题及模拟) 二次函数的实际应用(6 次) 1( 2014 河北 9 题 3 分) 某种正方形合金板材的成本y( 元)与它的面积成正比，设边长为x cm，当 x3 时，y18
4、，那么当成本为72 元时，边长为 ( A) A6 cm B 12 cmC24 cm D36 cm2 ( 2009 河北9 题 2 分 ) 某车的刹车距离y(m) 与开始刹车时的速度x(m/s) 之间满足二次函数y120 x2(x0) 若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为( C) A40 m/sB20 m/sC10 m/sD5 m/s3( 2011 河北 8 题 2 分) 一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m) 和飞行时间t(s) 满足下面函数关系式：h 5(t 1)26，则小球距离地面的最大高度是( C) A1 m B5 m C6 m D7 m4( 2012 河北24 题 9
5、分) 某工厂生产一种合金薄板( 其厚度忽略不计) ，这些薄板的形状均为正方形，边长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 ( 单位：cm) 在 550 之间每张薄板的成本价( 单位：元 ) 与它的面积 ( 单位：cm2) 成正比例每张薄板的出厂价( 单位：元 )由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长 (cm) 20 30
6、 出厂价 ( 元/ 张) 50 70 (1) 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2) 已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26 元( 利润出厂价成本价) 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ 参考公式：抛物线yax2bxc(a 0)的顶点坐标是b2a，4acb24a 解： (1) 设一张薄板的边长为x cm，出厂价为y 元，则 y2x10；(2) 设一张薄板的利润为w 元，则 w125x22x10；出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35 元5( 2013 河北25 题 12 分)
7、 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩Q W 100，而 W的大小与运输次数n 及平均速度x(km/h) 有关 ( 不考虑其他因素) ，W由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的 n 倍成正比试行中得到了表中的数据次数 n 2 1 速度 x 40 60 指数 Q 420 100 (1) 用含 x 和 n 的式子表示Q；(2) 当 x 70，Q 450 时，求 n 的值；(3) 若 n 3，要使 Q最大，确定x 的值；(4) 设 n2，x40，能否在n 增加 m%(m0) 同时 x 减少 m% 的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m的值；若不能
8、，请说明理由 参考公式：抛物线yax2bxc(a 0)的顶点坐标是b2a，4acb24a 解：(1) Q 110 x26nx100；(2) 将 x 70，Q 450 代入 Q110 x26nx100 中，得 450110702670n 100，解得 n2；(3) 当 n 3 时， Q 110 x218x100110(x 90)2910. 1100，函数图象开口向下，有最大值，则当 x90 时， Q有最大值，即要使 Q最大， x90；(4) 由题意，得42011040(1 m%)262(1 m% ) 40(1 m%) 100，即 2(m%)2m% 0，解得m150，m20( 舍去 ) ， m 5
9、0. , 中考考点清单 ) 二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1) 单纯二次函数的实际应用； (2) 与一次函数结合的实际应用出题形式有三种：(1) 以某种产品的销售为背景；(2) 以公司的工作业绩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 为背景； (3) 以某公司装修所需材料为背景设问方式主要有：(1) 列函数关系式并求值；(2) 求最优解； (3) 求最
10、大利润及利润最大时自变量的值；(4) 求最小值； (5) 选择最优方案解二次函数应用题步骤及关键点步骤关键点(1) 分析问题明确题中的常量与变量及其它们之间的关系，确定自变量及函数(2) 建立模型，确定函数解析式根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系(3) 求函数解析式变量间的数量关系表示及自变量的取值范围续表(4) 应用性质，解决问题熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围【方法技巧】(1) 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品所获利润销售数量”
11、 ，建立利润与价格之间的函数关系式；(2) 最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值中考重难点突破) 二次函数的实际应用【例】 ( 2016 石家庄二十八中二模) 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40 元，超市规定每盒售价不得少于45 元根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45 元时，每天可卖出700 盒，每盒售价每提高1 元，每天要少卖出20 盒(1) 试求出每天的
12、销售量 y( 盒) 与每盒售价x( 元) 之间的函数关系式；(2) 当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P( 元) 最大？最大利润是多少？(3) 为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58 元如果超市想要每天获得不低于6 000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【解析】 (1) 根据“当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高1 元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y( 盒) 与每盒售价x( 元) 之间的函数关系式；(2) 根据利润 1 盒粽子所获利的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；(3) 先由(2) 中所求得的P
13、与 x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58 元，且每天销售粽子的利润不低于6 000 元，求出x 的取值范围，再根据(1) 中，所求得的销售量y( 盒 ) 与每盒售价x( 元) 之间的函数关系式即可求解【学生解答】解：(1)y 70020(x 45) 20 x1 600 ；(2)P (x 40)( 20 x1 600) 20 x22 400 x 64 000 20(x 60)28 000. x45， a 200，当 x60 时， P最大8 000. 即当每盒售价定为60 元时，每天销售的利润最大，最大利润为8 000 元；(3) 由题意，得 20(x 60)28 000 6 00
14、0. 解得 x150，x270. 抛物线P 20(x 60)28 000 的开口向下，当50 x70 时，每天销售粽子的利润不低于6 000元又 x58， 50 x58. 在y20 x1 600 中， k 200， y 随 x 的增大而减小当x58 时， y最小2058 1 600 440. 即超市每天至少销售粽子 440 盒(2016 唐山九中二模) 某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8 点开名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，
15、共 7 页 - - - - - - - - - 5 放，而无人售票窗口从上午7 点开放，某日从上午7 点至 10 点，每个普通售票窗口售出的车票数y1( 张) 与售票时间 x(h) 的变化趋势如图，每个无人售票窗口售出的车票数y2( 张) 与售票时间x(h) 的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图. 若该日截至上午9 点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同(1) 求图中所确定抛物线的解析式；(2) 若该日共开放5 个无人售票窗口，截至上午10 点，两种窗口共售出的车票数不少于900 张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？解： (1) 设 y2ax2，当 x2 时，
16、y2y140. 把(2 ，40) 代入 y2ax2，得 a10. y210 x2；(2) 设 y1kxb(1x3)，把 (1 ，0) ，(2，40) 分别代入y1kxb，得0kb，402kb，解得k40，b 40，y140 x40. 当 x 3 时， y180，y290. 设需要开放m 个普通售票窗口，80m 905900， m 558. m 为整数， m 6. 答：至少需要开放6 个普通售票窗口, 中考备考方略 ) 1( 2016 葫芦岛中考 )小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20 元，则每周能卖出甲商品40 件，乙商品20 件经调
17、查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价 1 元，这两种商品每周可各多销售10 件为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元(1) 直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y( 件) 与降价 x( 元) 之间的函数关系式：y甲_10 x40_，y乙_10 x20_；(2) 求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W(元) 与降价x( 元) 之间的函数关系式如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的32，那么当x 定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？解：由题意得W (10 x)(10 x 40) (20 x)(10 x 20) 20 x2240 x800，
18、由题意得10 x4032(10 x 20) ，解得x2， W 20 x2240 x80020(x 6)21 520. a 200，当x6，能安全通过；(3) 令 y 8，即16x22x48，可得 x212x240，解得 x1623，x2623，x1x243. 答：两排灯的水平距离最小是43 m. 3( 2016 鄂州中考 ) 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30 元物价部门规定其销售 单价不高于每千克60 元，不低于每千克30 元经市场调查发现：日销售量y(kg) 是销售单价x( 元) 的一次函数，且当x60 时， y80；x50 时， y100. 在销售过程中，每
19、天还要支付其他费用450 元(1) 求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 求该公司销售该原料日获利W(元) 与销售单价x( 元) 之间的函数关系式；(3) 当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解： (1) 设y 与 x 的函数关系式为ykxb，根据题意，得8060kb，10050kb，解得k 2，b200.y 2x200(30 x60)；(2) 由题意，得W (x 30)( 2x200)450 2x2260 x6 450 ，所求函数的关系式为W 2x2260 x6 450(30 x60)；(3)W 2(x 65)22 000. 20) ，试用
20、含 x 的代数式表示BC的长；(2) 请你判断谁的说法正确，为什么？解： (1)72 2x；(2) 小英说法正确矩形面积Sx(72 2x) 2(x 18)2648. 722x0， x36，0 x36，当 x18 时， S取得最大值此时，x722x，面积最大的不是正方形5( 2016 保定八中二模 ) 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等下图中的折线ABD 、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1( 单位：元 ) 、销售价 y2( 单位：元 ) 与产量 x( 单位：kg) 之间的函数关系(1) 请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2) 求线段 AB所表示的 y1与 x 之间的
21、函数解析式；(3) 当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 解： (1) 点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元； (2) 设线段AB所表示的y1与 x 之间的函数解析式y1k1xb1. 因为 y1k1xb1的图象过点 (0 ，60) 与(90 ，42) ，所以b160，90k1b142.解得k
22、1 0.2 ，b160.这个一次函数的解析式为y1 0.2x 60(0 x90)； (3) 设 y2与 x 之间的函数解析式为y2k2xb2. 因为 y2k2xb2的图象过点 (0，120) 与(130 ，42) ，所以b2120，130k2b242.解得k2 0.6 ，b2120.这个一次函数的解析式为y2 0.6x 120(0 x130)设产量为x kg时，获得的利润为W元当 0 x90 时， W x( 0.6x 120) ( 0.2x 60) 0.4(x 75)22 250 ，所以当 x75 时，W的值最大，最大值为2 250. 当 90 x130 时， W x( 0.6x 120)42
23、 0.6(x 65)22 535. 当 x90 时， W 0.6 (90 65)22 535 2 160. 由 0.665 时， W随 x 的增大而减小，所以90 x130 时， W 2 160. 因此，当该产品产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润是2 250 元6( 2016 张家口九中二模) 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元为按时完成任务，该企业招收了新工人设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只， y 与 x 满足如下关系式： y54x，（ 0 x5）30 x120. （5x15）(1) 李明第几天生产的粽子数量为420 只
24、？(2) 如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元， p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x 天创造的利润为W元，求 W与 x 之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？( 利润出厂价成本 ) (3) 设 (2) 小题中第m天利润达到最大值，若要使第(m1)天的利润比第m天的利润至少多48 元，则第 (m1)天每只粽子至少应提价几元？解： (1) 设李明第n 天生产的粽子数量为420只，当 0 x5 时， y最大270420， 30n120420，解得 n10. 答：李明第10 天生产的粽子数量为420 只；(2) 由图象可知，当0 x9 时， p4.1 ；当
25、9x15 时，设pkxb，把 (9，4.1) ，(15，4.7) 代入，得9kb4.1 ，15kb4.7 ，解得k0.1 ，b3.2.p0.1x 3.2. 当 0 x5 时， W (6 4.1) 54x 102.6x ，当 x5 时，W最大513；当 5x9 时， W (6 4.1 ) (30 x120) 57x228， x 是整数，当x8 时， W最大684；当 9x15 时， W (60.1x 3.2) (30 x 120) 3x272x336 3(x 12)2768. 30，当 x12 时， W最大768. 综上所述， W与 x 之间的函数解析式为 w102.6x （0 x5），57x228（5x9），3x272x336（9x15） .第 12 天的利润最大，最大利润是768 元；(3) 由 (2) 知， m 12，m 113，设第 13 天提价 z 元由题意，得W13(6 zp)(30 13 120) 510(z 1.5) ， 510(z 1.5) 76848，解得z0.1.答：第 13 天至少应提价0.1 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -