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1、 第二章第二章 数列数列2.5 2.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和复习引入复习引入1. 1. 等等比比数列数列的的定义：定义：2. 2. 等等比比数列通项公式：数列通项公式： 111(,0)nnaaqa q1(,0)n mnmaaqa q复习引入复习引入3. 3. a an n 成等比数列成等比数列1(,0)nnaq nNqa4. 4. 性质：性质：若若m mn np pq q，则，则a am m a an na ap p a aq q. . 国际象棋起源于古代印度国际象棋起源于古代印度. .相传国王要奖赏相传国王要奖赏象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么象棋的发明者，于是就问
2、象棋的发明者有什么要求，发明者说要求，发明者说:“:“请在象棋的第一个格子里放请在象棋的第一个格子里放1 1颗麦粒，第二个格子放颗麦粒，第二个格子放2 2颗麦粒，第三个格子颗麦粒，第三个格子放放4 4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要求实现上述要求”. .国王不假思索就欣然答应了国王不假思索就欣然答应了他的要求他的要求. . 我们看国王能不能满足他的要求，由于每我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数个格子里的麦粒数都是前一个格子里
3、的麦粒数的的2 2倍，共有倍，共有6464个格子，各个格子里的麦粒数个格子，各个格子里的麦粒数依次是：依次是： 复习引入复习引入讲授新课讲授新课 讲授新课讲授新课 1讲授新课讲授新课 12讲授新课讲授新课 1222讲授新课讲授新课 122232讲授新课讲授新课 12223242讲授新课讲授新课 12223242讲授新课讲授新课 这一格放这一格放的麦粒可的麦粒可以堆成一以堆成一座山座山!12223242632632讲授新课讲授新课 由于每格的麦粒数都是前一格的由于每格的麦粒数都是前一格的2 2倍，倍，共有共有6464格每格所放的麦粒数依次为：格每格所放的麦粒数依次为：分析：分析：23631, 2
4、, 2 , 2 , 2 .它是以它是以1 1为首项，公比是为首项，公比是2 2的等比数列，的等比数列，麦粒的总数为麦粒的总数为: :626364124822S 讲授新课讲授新课请同学们考虑如何求出这个和请同学们考虑如何求出这个和？23636412222S 23636464222222S即即23636422(12222 )S由由 可得：可得： 23636412222S 23636464222222S646421S18446744073709551615184467440737095516151.841.8410101919 如果如果10001000粒麦粒重为粒麦粒重为4040克，那么这些麦粒的总
5、克，那么这些麦粒的总质量就是质量就是73007300多亿吨多亿吨. .根据根据统计资料显示，全世界小统计资料显示，全世界小麦的年产量约为麦的年产量约为6 6亿吨，就亿吨，就是说全世界都要是说全世界都要10001000多年多年才能生产这么多小麦，国才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发王无论如何是不能实现发明者的要求的明者的要求的. . 这种求和这种求和的方法的方法, ,就就是错位相是错位相减法减法! !等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导1一般地，设等比数列一般地，设等比数列a1, a2, a3, , an11(1)nnq Saa q它的前它的前n项和是项和是12311
6、nnnnSaaaaaa q由2211111123111111nnnnnnSaa qa qa qa qqSa qa qa qa qa q得当当q1时，时，1(1)1nnaqSq当当q=1时，等时，等比比数列的前数列的前n项项和和是什么？是什么？1naSn 或或11nnaa qSq123nnSaaaa等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导2由定义由定义,32121nnaaaqaaaqaSaSaaaaaannnnn 112132qaSaSnnn 1qaaSqnn 1)1(由等比的性质由等比的性质,即即当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1或或qqaaSnn 11当当q1时，时，.1
7、naSn等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导项和公式的推导3123nnSaaaa)(13211 naaaaqa11 nqSa)(1nnaSqa 当当q1时，时，qqaSnn 1)1(1或或qqaaSnn 11当当q1时，时，.1naSnqaaSqnn 1)1(等比数列的前等比数列的前n n项和公式的推导项和公式的推导 “ “方程方程”在代数课程里占有重要的地在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决知量之间搭起桥梁，使问题得到解决等比数列的前
8、等比数列的前n n项和公式项和公式当当q q11时，时，.11qqaaSnn 当当q q1 1时，时，;1naSn 或或,1)1(1qqaSnn 思考：思考： 什么时候用公式什么时候用公式, 什么时候用公式什么时候用公式 ?u当已知当已知a1, q, n 时用公式时用公式；u当已知当已知a1, q, an时，用公式时，用公式.讲解范例讲解范例:例例1.1.求下列等比数列前求下列等比数列前8 8项的和项的和. 0,2431,27)2(91 qaa81,41,21)1(解：由已知条件和求和公式可知解：由已知条件和求和公式可知8888111271 () 1 ( ) 2551640322(1);(2)
9、112568111 ()23SS 1(1)1nnaqSq例2.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)25000 1.1台第n年产量为15000 1.1n台则n年内的总产量为：2155 1.1 5 1.15 1.1n 例例2.2.某商场第一年销售计算机某商场第一年销售计算机50005000台台, ,如果平均每年如果平均每年的销售量比上一年增加的销售量比上一
10、年增加10%,10%,那么从第一年起那么从第一年起, ,约几年约几年内可使总销售量达到内可使总销售量达到3000030000台台( (保留到个位保留到个位)?)?:,解 根据题意 每年的销售量比上一年增加的百分率相同 ,na所以从第一年起 每年的销售量组成一个等比数列15000a 1 10%1.1q 30000nS (1)1nnnaqSq5000(1 1.1 )300001 1.1n即1.11.6n即,lg1.1lg1.6n两边取对数 得5n 得答答: :约约5 5年内可以使总销售量达到年内可以使总销售量达到3000030000台台.课堂小结课堂小结1. 1. 等比数列求和公式：等比数列求和公式：当当q q11时，时，当当q q1 1时，时，;1naSn 或或.11qqaaSnn ,1)1(1qqaSnn 课堂小结课堂小结2 2这节课我们从已有的知识出发，这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前了等比数列的前n n项和公式，并在项和公式，并在应用中加深了对公式的认识应用中加深了对公式的认识