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1、第1章数值分析中的误差一、重点内容误差 设精确值X*的近似值x,差e=x x*称为近似值x的误差(肯定误差)。 误差限 近似值x的误差限e是误差e的一个上界，即|e| = |x x*|W 。相对误差er 是误差e与精确值x*的比值，。常用 计算。相对误差限 是相对误差的最大限度，常用 计算相对误差限。肯定误差的运算：(X1 x2)= (xl)+ (x2)e (xlx2)|xl| (x2) + |x2| e (xl)有效数字假如近似值x的误差限e是它某一个数位的半个单位，我们就说x精确 到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的全部数字称为x的有效数字。关于有效数字：(1)设精确值X*的近似值
2、X, x= 0.ala2-*anX 10 mal, a2,，an是09之中的自然数，且alWO, |x 一x*|W =0.5X10 m1 , UlWn那么x有1位有效数字.(2)设近似值x=0.ala2-anX10m有n位有效数字，那么其相对误差限(3)设近似值x= 0.ala2-anX 10m的相对误差限不大于 那么它至少有n位有效数字。(4)要求精确到10-3,取该数的近似值应保存4位小数。一个近似值的相对误差是与精确数字有关系的，精确数字是从一个数的第一位有效数字始终数到它的肯定误差的第一位有效数字的前一位，例如具有肯定误差e = 0.0926的数x = 20.7426只有三位精确数字2
3、, 0, 7。一般粗略地说，具有一位精确数字，相对于其相对误差为10%的量级；有二位精确数字，相对于其相对误差为1%的量级；有三位精确数字，相对于其相对误差为0.1%的量级。二、实例例 1 设 X*=p = 3.1415926近似值 x = 3.14=0.314X101,即 m=l,它的误差是 0.001526-,有 |x-x*|=0.001526-0.5X 101-3即1 = 3,故x = 3.14有3位有效数字。x = 3.14精确到小数点后第2位。又近似值x = 3.1416,它的误差是0.0000074-,有|x-x*|=0.0000074-0.5X101-5即m=l, 1 = 5,
4、x = 3.1416有5位有效数字。而近似值x=3.1415,它的误差是0.0000926-,有|x-x*|=0.0000926-0.5X 101-4即m=l, 1=4, x = 31415有4位有效数字。这就是说某数有s位数，假设末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；假设末位数字 不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s1位有效数字。例2指出以下各数具有几位有效数字，及其肯定误差限和相对误差限：2.000 4-0.002 009 0009 000.00解 由于 xl=2.000 4=0.200 04X101,它的误差限 0.000 05=0.5X10 1-5, BP m=l,l =
5、 5,故 xl3 .高斯一一勒让德求积公式，节点为的零点(高斯点)其余项：4 .微分公式等距节点两点求导公式：(k=0, 1, 2,，n-1)等距节点三点求导公式：(k=l, 2,，n-1)二、实例例1试确定求积公式的代数精度。依定义，对xk(k=O, 1, 2, 3,)，找公式精确成立的k数值解当f(x)取1, x, x2,计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(x)=l,有左边=,右边=(2)取 f(x)=x,有左边=,右边=(3)取 f(x)=x2,有左边=,右边=(4)取 f(x) = x3,有左边=,右边=(5)取 f(x) = x4,有左边=,右边=当kW3时求积公式精确成立，而x
6、4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分(计算结果取5位有效数字)用梯形公式计算(2)用抛物线公式用科茨公式系数为假如要求精确到10-5,用复化抛物线公式，截断误差为， ， ，,N22只需把05 14 等分,分点为 05 0.625, 0.75, 0.875, 1例3用三点高斯一一勒让德求积公式计算积分高斯型求积公式只能计算1, 1上的定积分解做变量替换，查表得节点0.774 596 669和0；系数分另U为0.555 555 5556和0.888 888 8889注：该积分精确到小数点后七位是0.9460831,可见高斯型求积公式的精度是
7、很高的。教材的第12章12.2节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比拟。例4用三点公式计算 在x=1.0, 1.1, 1.2处的导数值。函数值f(l.0)=0.250000, f(l.1)=0.226757, f( 1.2)=0.206612解三点导数公式为k= 1, 2, 3,，n 1本例取 x0=L0, xl = l.l, x2=1.2, y0=0.250000, yl =0.226757, y2=0.206612, h=0.l。于是有计算例5选择填空题1 .牛顿一一科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是。解答：牛顿一一科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估量其精度；高斯
8、型求积公式是由精度 确定其节点和求积系数。2 .假如用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差的肯定值不超过0.5X104,试问n2()(A) 41(B)42(C) 43(D) 40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差中，故,n=40.8,取 n241。应选择(A)。3 .n = 3时，科茨系数，那么 =4 案：1/8解答：由科茨系数的归一性质，三、练习题1 .试确定求积公式的待定参数，使求积公式QA0f(0)+Alf(l)+A2f(2)的代数精度尽可能的高。2 .用复化抛物线公式计算定积分。取n=4,保存4位有效数字。3 .试用四点(n = 3)高斯一一勒让德求积公式计算积分4 .条件见例
9、4。用两点求导公式计算fC(l.O), (1.1)。5 .假设用复化抛物线公式计算积分,要求截断误差的肯定值不超过。.5X104,试问n与() (A)l (B)2(C)4(D)36 .当 n = 6 时， =()7.用三点高斯一一勒让德求积公式计算积分，具有7.用三点高斯一一勒让德求积公式计算积分，具有代数精度的。四、练习题答案1. A0=A2=l/3, Al =4/32. 0.11094. 0.23243； 0.202255. (B)6. (D)7.5 次第13章方程求根一、重点内容1 .二分法：设方程f(x)=。在区间a, b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：。x*2xn=(
10、a0 = a, b0=b), n=0, 1, 2,有误差估量式：为x* xn%W , n=0, 1, 2,二分区间次数：2 .简洁迭代法：假设方程f(x)=0表成x=j(x),于是有迭代格式：xn=j(xn 1)(n= 1, 2, ,)x* xn假设存在0Vl0,迭代解数列肯定收敛。4 .弦截法：用两点连线与x轴交点靠近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为(n=l, 2,)二、实例例1证明方程1x sinx=O在区间0, 1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5X104的根 要迭代多少次？证明 令 f(x)= 1 x sinx,f(0)=l0, f(l)=-sinl0: f(x)=lxsin
11、x = O 在0, 1内有根。又f0(x)=-l-cosx0,所以L 2为 f(x)=O 的有根区间。取 xO=l, xl =2o迭代格式：，(n=l, 2,)列表计算如下：n xn xn_ 1 f(xn)f(xn- 1) xn+1 f(xn +1)1234567891011 21.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.4656 1222222222 1.4655 3 -0.6094 -0.2863-0.1177-0.0457-0.0174-0.0066-0.0024-0.0010-0.00030.0001-1333333333
12、 -0.00031.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.4656 1.4656 -0.6094 -0.2863-0.1177-0.0457-0.0174-0.0066-0.0024-0.0010-0.00030.0001由于|xl2xll|V0.000L 故 x* xl2= 1.4656例4选择填空题1 .设函数f(x)在区间a, b上连续，假设满意，那么方程f(x)=。在区间a, b肯定有实根。答案：f(a) f(b)0解答：由于f(x)在区间a, b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c,使 得f(c)
13、=0,故f(x) = 0肯定有根。2 .用简洁迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表成x=j(x),那么f(x)=0的根是()(A) y=x与y=j(x)的交点(B) y=x与y=j(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x),满意x=j(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐 标。3.为求方程x3 x21=0在区间1.3, L6内的一个根，把方程改写成以下形式，并建立相应的迭 代公式，迭代公式不收敛的是()(A)(B)答案：(A)解答：在(A)中,故迭代发散。在(B
14、)中，,故迭代收敛。在(C)中，,故迭代收敛。在(D)中，类似证明，迭代收敛。4.牛顿切线法是用曲线f(x)上的与x轴的交点的横坐标逐步靠近f(x)=0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的与x轴的交点的横坐标逐步靠近f(x) = 0的解。答案：点的切线；两点的连线解答：见它们的公式推导。三、练习题1 .用二分法求方程f(x) = 0在区间a, b内的根xn,误差限e,确定二分的次数n是使()(A) baWe(B) |f(x)|We(C) |x* 一xn|Wc (D) |x*一xn|Wb-a2 .设方程f(x) = x4+2x=0,在区间1, 2上满意，所以f(x)=0在区间1, 2内有根。建立迭
15、代公式x=4-2x=j(x),由于，此迭代公式发散。3 .牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，假设初始值x0满意()，那么解的迭代数列肯定收敛。(A) 0(C) WO (D) 204 .设函数f(x)区间a, b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)0,当时，那么用弦截法产生的解数列收敛到方程f(x)=O的根。5 .用二分法求方程x3-x-l=0在区间1.0, 1.5内的实根，要求精确到小数点后第2位。6 .试用牛顿切线法导出以下各式的迭代格式：(1)不使用除法运算；(2)不使用开方和除法运算。四、练习题答案l.(C)2. f(l)0；13. (B)4. fC(x)W05. 1.326. (
16、1) xn+1 =2xn cxn2, (2) xn+1 = 1.5xn0.5cxn3 第8章常微分方程的数值解法一、重点内容1 . 欧拉公式：(k=0, 1, 2,，n-1)局部截断误差是O(h2)。2 .改进欧拉公式：或表示成：平均形式：局部截断误差是O(h3)。3 .四阶龙格库塔法公式：其中 kl=f(xk, yk)； k2=f(xk+0.5h, yk+0.5hkl)； k3=f(xk+0.5h, yk+0.5hk2)；k4=f(xk+h, yk+hk3),局部截断误差是 O(h5)o二、实例例1用欧拉法解初值问题取步长h=0.2。计算过程保存4位小数。解h=0.2, f(x, y)=-y
17、 xy2o首先建立欧拉迭代格式= 0.2yk(4-xkyk) (k=0, 1, 2)当 k=0, xl=0.2 时， x0=0, y0=l,有y(0.2)-yl =0.2X l(4-0X l)=0.8当 k=l, x2 = 0.4 时， xl=0.2, yl=0.8,有y(0.4户 y2=0.2 X 0.8 X (4-0.2 X 0.8)=0.6144当 k=2, x3=0.6 时， x2=0.4, y2 = 0.6144,有 y(0.6)y3=0.2X0.6144X (4-0.4X0.6144)=0.4613例2用欧拉预报一校正公式求解初值问题取步长h=0.2,计算y(1.2), y(L4)
18、的近似值，小数点后至少保存5位。解 步长 h=0.2,此时 f(x, y)=yy2sinx欧拉预报一校正公式为：有迭代格式:当 k=0, xO=l, yO=l 时，xl = 1.2,有= y0(0.8-0.2y0sinx0)=l X(0.8-0.2Xlsinl)=0.63171y(l.2户yl=1X(O.9-O.1 X 1 X sin 1) - 0.1 (0.63171 + 0.631712sin 1.2)=0.71549当 k=L xl = 1.2, yl=0.71549 时，x2=1.4,有=y 1 (0.8 - 0.2y 1 sinx 1)=0.71549 X (0.8 - 0.2 X
19、0.71549sin 1.2)=0.47697y(1.4)y2=0.71549 X (0.9-0.1X0.71549X sin 1.2)-0.1(0.47697+0.476972sin 1.4)=0.52611例3写出用四阶龙格一一库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。至少保存四位小数。解此处f(x, y) = 8-3y,四阶龙格一一库塔法公式为其中 kl=f(xk, yk)； k2=f(xk+0.5h, yk+0.5hkl)； k3=f(xk+0.5h, yk+0.5hk2)； k4=f(xk+h, yk+hk3)本例计算公式为：其中 kl=8-3yk； k
20、4=4.208+1.578yk= 1.2022+0.5494yk (k=0, 1, 2,)当 x0=0, y0 = 2,y(0.2)yl = 1.2022+0.5494y0 = 1.2022+0.5494 X 2=2.3004y(0.4) y2 = 1.2022+0.5494y 1 = 1.2022+0.5494 X 2.3004=2.4654 例4对初值问题，y(0)=l,证明用梯形公式求得的近似解为并证明当步长h0时，yne-x证明 解初值问题的梯形公式为 f(x, y)=-y 整理成显式反复迭代，得到y0=l Z.假设x0,为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x,故乂
21、 =而，有例5选择填空题：1 .取步长h=O.l,用欧拉法求解初值问题的计算公式是答案：，k=0, 19 2,，yO= 1解答：欧拉法的公式(k=0, 1, 2,，n-1)此处，迭代公式为,k=0, 1, 2,，yO=l2 .改进欧拉法的平均形式的公式是()(A)(B)(C)(D)答案：(D)解答：见改进欧拉法平均形式公式。三、练习题1 .求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是()，改进欧拉法的局部截断误差是()；四阶龙 格一一库塔法的局部截断误差是()(A)0(h2)(B)0(h3)(C)0(h4)(D)O(h5)2 .改进欧拉预报一校正公式是.设四阶龙格一一库塔法公式为其中 kl=f(xk,
22、 yk)； k2=f(xk+0.5, yk+0.5hkl)； k3 = f(xk+0.5, yk+0.5hk2)；k4=f(xk+h, yk+hk3)取步长h=0.3,用四阶龙格一一库塔法求解初值问题的计算公式是。3 .取步长h=0.1,用欧拉法求解初值问题4 .试写出用欧拉预报一校正公式求解初值问题的计算公式，并取步长h=O.l,求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过105。5 .对于初值问题试用欧拉法；(2)欧拉预报一校正公式；(3)四阶龙格一一库塔法分别计算y(0.2), y(0.4)的近似值。6 .用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x=0.2, 0.4, 0.6处的近似值。四、
23、练习题答案l.(A), (B), (D)7 .；625+0.7408375yk (k=0, 1, 2,)提示：其中 kl = 1 yk； k2=0.85(l yk)；k3 = 0.8725(l-yk)； k4=0.73825(l-yk)=0.2591625+0.7408375yk (k=0, 1, 2,)4 . yl = l, y2= 1.005000, y3= 1.015050,y4= 1.030276, y5= 1.050882, y6= 1.077154,y7= 1.109469, y8= 1.148300, y9= 1.194232, yl0=1.2479725 .计算公式为(k =
24、0, 1, 2,)J y(0.2)y26 .欧拉法：y(0.2) 1.00000； y(0.4) 1.08000欧拉预报一校正公式：y(0.2) 1.02084； y(0.4) 1.04240四阶龙格一一库塔法：y(0.2) 1.002673； y(0.4) =1.0217987 . yp = 0, yc=0.04, yl=0.02；yp=0.056, yc=0.0888, y2 = 0.0724；yp=0.13792, yc = 0.164816, y3 = 0.151368= 2.000 4有5位有效数字。相对误差限。x2=-0.002 00,误差限 0.000 005,由于 m=2, 1
25、 = 3, x2=-0.002 00 有 3 位有效数字。相对 误差限 e=0.000 005/0.002 00=0.25%。x3 = 9 000,肯定误差限为0.5,由于m=4, 1=4, x3 = 9 000有4位有效数字，相对误差限e r= 0.5/9 000=0.005 6%ox4 = 9 000.00,肯定误差限0.005,由于m=4, 1 = 6, x4 = 9 000.00有6位有效数字，相对误差限 为 er=0.005/9 000.00=0.000 056%。由x3与x4可以看到小数点之后的0,不是可有可无的，它是有实际意义的。例3 ln2=0.69314718-,精确到10-
26、3的近似值是多少？解 精确到10-3=0.001,即肯定误差限是e=0.05%,故至少要保存小数点后三位才可以。 ln20.693 o三、练习题1 .设某数x*,它的保存三位有效数字的近似值的肯定误差是。2 .设某数x*,它的精确到10-4的近似值应取小数点后位。3 .()的3位有效数字是0.236X102。(A) 235.54X 10-1(B) 235.418(C) 2354.82 X 10-2(D) 0.0023549X1034 .设a* = 2.718181828，取a=2.718,那么有(),称a有四位有效数字。(A) |aa*|W0.5X 104(B) |a-a*|0.5X 101-
27、4(C) |aa*|W10-4(D) |aa*|W0.00035 .设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是()，那么它有3位有效数字，肯定误差限是0.5X10 4o(A) 0.315(B) 0.03150(C) 0.0315(D) 0.003156 .以下近似值中，保存四位有效数字，相对误差限为0.25X103。(A) 0.01234(B)-12.34(C) -2.20(D) 0.22007 .将以下各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的肯定误差和相对误差。(1)2.1514(2) -392.85(3) 0.0039228 .各近似值的相对误差，试确定其肯定误差：(1) 13267 er=0.
28、1%(2) 0.896 er=10%9 .各近似值及其肯定误差，试确定各数的有效位数。(1) 0.3941 e=0.25X10-2(2)293.481e=0.1(3) 0.00381 e=0.1X10-410.各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。(1) 1.8921 er=0.1X10-2(2) 22.351 er=0.15(3) 48361 er=l%四、练习题答案1 .该数有效数字第四位的一半。2 .五 3. (A)4. (B)5. (C) 6. (D)7. (1)2.15, c=-0.14X 10-2, cr=0.65X 10-3； (2) -393,e=0.15, er=0.3
29、8X103； (3)0.00392, e= 0.2义 105, er=0.51X10-38. (l)e=0.13X102； (2) 0.9X10-19. (1)2； (2)3； (3)210. (1) 3； (2)1； (3)2第15章 线性方程组的数值解法一、重点内容1 .高斯挨次消去法解线性方程组AX = b,对增广矩阵挨次作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变 换消元过程中，。留意：本章争论线性方程组的解的方法，不争论解的存在性。2 .高斯列主元消去法在高斯挨次消去法中，每次消元之前，要确定主元，(k=l, 2, 3,，n-1)把第r行作为
30、主方程，做第k次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。3 .雅可比迭代法(简洁迭代法)解线性方程组AX=b的雅可比迭代法公式为(k=0, 1, 2,).高斯一一赛德尔迭代法解线性方程组AX=b的高斯一一赛德尔迭代法公式为(i=l, 2,，n； k=0, 1, 2,)4 .解的收敛性定理【定理1】高斯消去法消元过程能进行究竟的充分必要条件是系数矩阵A的各阶挨次主子式不为0； AX = b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶挨次主子式不为0o【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组X = BX + f对于任意初始向量X(0)及任意f,对应此方程组的迭代公式X(k+1) =
31、B (k)X + f收敛的充分必要条件是 ，其中入i(i=l, 2,，n)为迭代矩阵B的特征根。当入i为 复数时，I入i|表示入i的模。【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX = b,(1)假设A是严格对角占优矩阵，那么雅可比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法收敛；(2)假设A为对称正定矩阵，那么高斯一一赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵A = aijn,假设那么称矩阵A是严格对角占优矩阵。二、实例例1用挨次消去法解线性方程组解挨次消元于是有同解方程组回代得解x3 = -l, x2=l, xl = l,原线性方程组的解为 X=(l, 1, -l)To例2取初始向量X(0) = (0, 0, 0
32、)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式(k=l, 2, 3,)第1次迭代，k=0X(0)=0,得到 X(l) = (l, 3, 5)T第2次迭代，k=lX(2) = (5, -3, -3)T第3次迭代，k=2X(3) = (l, 1, 1)T第4次迭代，k=3X(4) = (l, 1, 1)T例3填空选择题：1 .用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2, 3个方程分别为。解 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x14-2x2+3x3 = 3,消元得到是应填写的内容。2 .用选主元的方法解线性方程组AX = b,是为了()(A)提高计算速度(B)削减舍入误差(C
33、)削减相对误差(D)便利计算答案：选择(B)3 .用高斯一一赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 =(k=0, 1, 2, )答案：解答：高斯一一赛德尔迭代法就是充分采用已经得到的结果，求x2的值时应当用xl的新值。4 .当a()时，线性方程组的迭代解肯定收敛。(A) 6(B) =6(C) 6 或V6答案：(D)解答：当间6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6,迭代解肯 定收敛。三、练习题1 .用高斯列主元消去法解线性方程组2 .用高斯一一赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67, 7.62, 9.05)T,求二次迭代值。3 .证明线性方程组的迭代解收敛。4 .
34、用高斯挨次消去法解线性方程组，消元能进行究竟的充分必要条件是5 .用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为()(A) 3(B)4(C) -4(D)-9四、练习题答案1 .X = (-4, 1, 2)T2 . (4.666 19, 7.618 98, 9.047 53)T.提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。3 .线性方程组的系数矩阵的各阶挨次主子式均不为0。4 .(C)第2章函数插值与最小二乘拟合一、重点内容1 .函数插值函数f(x)的n个函数值yk=f(xk), k=0, L 2, , n。构造一个多项式P(x),使得P(xk) = yk。 P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函
35、数，xk就是插值节点。误差R(x) = f(x) P(x)。2 .拉格朗日多项式称n次多项式Pn (x)=y010+yllldFynln= 为拉格朗日插值多项式，其中基函数(i = 0, 1, 2,，n)当 n=l 时，线性插值 P1 (x) = yklk(x) + yk+1 lk+1 (x) 其中基函数。当n = 2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为：，其中W(a, b)留意：过n+1个互异点，所得的多项式应当是次数不超过n的多项式。3 .均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差，一阶均差(或记作fx0, xl)；二阶均差 (或记作fx0, xl, x2)均
36、差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点挨次无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)=f(x0) + fx0, xl(xx0)+fx0, xl, x2(x x0)(x x 1) +kfx0, xl, x2,，xn(xx0)(xx 1 )(xx2) (xxn-1)牛顿插值多项式的余项为：Rn(x) = f(x)-Nn(x)= fx, xO, xl, x2, ，xn(x xO)(xx 1 )(xx2) (xxn l)(x xn)4 .分段线性插值n+1个互异节点xO, xl,，xn构造一个分段一次的多项式P(x),且满意：(l)P(x)在a, b上
37、 连续；(2)P(xk)=yk(k=0, 1, 2,，n)； (3)P(x)在xk, xk+1上是线性函数。分段线性插值函数其中lk(x)(k=O, 1, 2,，n)是分段线性插值基函数。(i=l, 2,，n1)5 .三次样条插值函数 (k=0, 1, 2,，n 1) (xkWxWxk+1)其中 S?(xk) = mk (k=0, 1, 2,，n), hk=xk+l xk (k=0, 1, 2,，n 1), mO, ml,，mn 满意的方程组是(*)其中： ，(k=l, 2,，n1)(1)当 S,(xO)=yCO, SC(xn) = yn 时，(*)式中 mO=L ln= 1,(2)当 S2(
38、x0) = y2() = m0, S? (xn)=y2 n = mn 时，(*)式化为6 .最小二乘法用j(x)拟合数据(xk, yk) (k=l, 2,，n),使得误差的平方和 为最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。(1)直线拟合假设，aO, al满意法方程组(2)二次多项式拟合 假设,aO, al, a2满意法方程组二、实例例1函数y=f(x)的观看数据为xk -2 04 5yk 51-3 1试构造拉格朗日多项式Pn(x),并计算P(l)o只给4对数据，求得的多项式不超过3次解先构造基函数所求三次多项式为P3(x)=P3(-D=例2函数y=f(x)的数据如表中第1, 2歹U。计算它的各
39、阶均差。 解依据均差计算公式，结果列表中。k01234xk f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0.40 0.410 75 0.55 0.578 15 0.65 0.696 75 0.80 0.888 110.90 1.201 52 计算公式为 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 例3设x0,1.116001.168 001.275 731.384 100.280 000.358 93 0.197 330.433 48 0.213 00 0.031 34(k=0, 1, 2, 3)(k=0, 1, 2)(k=0, 1)xl, x2,，xn是n+1个互异的插值节点，lk(x) (k=0
40、, 1, 2,，n)是拉格朗日插值基函数，证明：(1) ; (2) (m=0, 1, 2,，n)证明(1) Pn(x) = y010+ylll H|-ynln =当f(x)三1时，=由于，故有(2)对于f(x) = xm, m = 0, 1, 2, , n,对固定xm (OWmWn),作拉格朗日插值多项式，有当 nm1 时,f (n+1) (x)=O, Rn(x)=O,所以留意：对于次数不超过n的多项式，采用上结果，有可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格 朗日插值多项式就是它自身。例4函数ex的以下数据，用分段线性插值法求x=0.2的
41、近似值。x 0.10 0.15 0.25 0.30e-x 0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818解 用分段线性插值，先求基函数。所求分段线性插值函数为 所以，e-0.2=P(0.2)=-0.819 07X0.2+0.983 569=0.819 755例5数据如表的第2, 3歹U，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。k xk xkykyk12345S123451544.5688.53114916255549183242.5105.5n = 5。aO, al满意的法方程组是解得a0=2.45, al = 1.25o所求拟合直线方程为y = 2.45+1.25x例
42、6选择填空题1 .设y=f(x),只要xO, xl, x2是互不相同的3个值，那么满意P(xk) = yk (k=0, 1, 2)的f(x)的插 值多项式P(x)是(就唯一性回答以下问题)答案：唯一的解答：由于过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x) = a2x2+alx + a0,其中a2, al, aO是待定数。P(xk) = yk,即这是关于a2, al, aO的线性方程组，它的解唯一，由于系数行列式所以，不超过2次的多项式是唯一的。2 .通过四个互异节点的插值多项式P(x),只要满意()，那么P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值y0=0(B) 一阶均差为0(C)二阶均差
43、为0(D)三阶均差为0答案：(C)解答：由于二阶均差为0,那么牛顿插值多项式为N(x) = f(xO)+fxO, xl(x-xO) 它是不超过一次的多项式。3 .拉格朗日插值多项式的余项是()，牛顿插值多项式的余项是()(A) fx, x0, xl, x2,xn(x-xl)(xx2)(x-xn l)(x xn)(B) fx, xO, xl, x2,xn(x - xO)(x - x 1 )(x - x2)(x-xn _ l)(x-xn)答案：(A), (D)o见教材有关公式。4.数据拟合的直线方程为丫=0+收，假如记那么系数aO, al满意的方程组是()(A)(B)(C)(D)答案:(B)解答：由于法方程组为由第1个方程得到，将其代入第2个方程得到整理得故(B)正确。三、练习题.函数y=f(x),过点(2, 5), (5, 9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为。1 .过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数14(x)=o2 .多项式 P(x),过点(0, 0), (2, 8), (4, 64), (11, 1331), (15,