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1、 相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1已知：如图，在ABC中，点D在边BC上，且BAC=DAG，CDG=BAD（1）求证：=；（2）当GCBC时，求证：BAC=902如图，已知在ABC中，ACB=90，点D在边BC上，CEAB，CFAD，E、F分别是垂足（1）求证：AC2=AFAD；（2）联结EF，求证：AEDB=ADEF3如图，ABC中，PC平分ACB，PB=PC（1）求证：APCACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长4如图，在平行四边形ABCD中，过B作BECD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且BFE=C（1）求证：ABFEAD；（2）若AB=4，BAE=30，求
2、AE的长5已知：如图，ABC中，ABC=2C，BD平分ABC求证：ABBC=ACCD6已知ABC，ACB=90，AC=BC，点E、F在AB上，ECF=45，设ABC的面积为S，说明AFBE=2S的理由7等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P（1）若AE=CF；求证：AF=BE，并求APB的度数；若AE=2，试求APAF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长8如图所示，AD，BE是钝角ABC的边BC，AC上的高，求证：=9已知：如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDF=A
3、BE求证：（1）DEFBDE；（2）DGDF=DBEF10如图，ABC、DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？11如图，AB和CD交于点O，当A=C时，求证：OAOB=OCOD12如图，已知等边三角形AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在AEC内，点D在AEC外）连接EB，过E作EFAB，交AB的延长线为F（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想（2）证明：BEFABC，并求出相似比13已知：如图，ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分ECB，且BC2=BDBA（1）求证：CED
4、ACD；（2）求证：14如图，ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且BAD=BGD=C，联结AG（1）求证：BDBC=BGBE；（2）求证：BGA=BAC15已知：如图，在ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且ADBC，BEAC，BE，AD相交于点G，过点B作BFAC交AD的延长线于点F，DF=6（1）求AE的长；（2）求的值16如图，ABC中，ACB=90，D是AB上一点，M是CD中点，且AMD=BMD，APCD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN（1）求证：MN=MA；（2）求证：CDA=2ACD17已知：如图，在ABC中，已知点D在BC上，
5、联结AD，使得CAD=B，DC=3且SACD：SADB12（1）求AC的值；（2）若将ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且ABDE，求的值18在ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DEBC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F（1）求证：ABCFCD；（2）若DE=3，BC=8，求FCD的面积19如图，ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作ADE=60，DE与ABC的外角平分线CE交于点E（1）求证：BAD=FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长20如图所示，ABC中，B=90，点P从点A开始沿AB边向
6、B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使PCQ的面积等于12.6cm2？21已知：如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE（1）求证：ADEDFC；（2）过点E作EHDC交DB于点G，交BC于点H，连接AH求AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长22如图，在ABC中，CD平分ACB，
7、BEBC交AC于点E（1）求证：AEBC=ACCE；（2）若SADE：SCDE=4：3.5，BC=15，求CE的长23如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90，E为AB的中点，（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值24在ABC中，CAB=90，ADBC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上（1）如图1，AC：AB=1：2，EFCB，求证：EF=CD（2）如图2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值25如图，M、N、P分别为ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F（1）求证：B
8、F=2FP；（2）设ABC的面积为S，求NEF的面积26在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求EDF的度数27如图，ABC是等边三角形，且ABCE（1）求证：ABDCED；（2）若AB=6，AD=2CD，求E到BC的距离EH的长求BE的长28如图，RtABC是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：ACEFBE；（3）设ABC=，CAC=，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由29如图，ABC是
9、等边三角形，DAE=120，求证：（1）ABDECA；（2）BC2=DBCE30 如图，在RtABC中，C=90，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点 （1）证明：ADEBDA；（2）证明：ADC=AEC+B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1解：（1）ADC=B+BAD，且CDG=BAD，ADG=B；BAC=DAG，ABCADG，=（2）BAC=DAG，BAD=CAG；又CDG=BAD，CDG=CAG，A、D、C、G四点共圆，DAG+DCG=180；GCBC，DCG=90，DAG
10、=90，BAC=DAG=902解：（1）如图，ACB=90，CFAD，ACD=AFC，而CAD=FAC，ACDAFC，AC2=AFAD（2）如图，CEAB，CFAD，AEC=AFC=90，A、E、F、C四点共圆，AFE=ACE；而ACE+CAE=CAE+B，ACE=B，AFE=B；FAE=BAD，AEFADB，AE：AD=BD：EF，AEDB=ADEF3解：（1）PB=PC，B=PCB；PC平分ACB，ACP=PCB，B=ACP，A=A，APCACB（2）APCACB，AP=2，PC=6，AB=8，AC=4AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，该题无解4（1）证明：A
11、DBC，C+ADE=180，BFE=C，AFB=EDA，ABDC，BAE=AED，ABFEAD；（2）解：ABCD，BECD，ABE=90，AB=4，BAE=30，AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5证明：ABC=2C，BD平分ABC，ABD=DBC=C，BD=CD，在ABD和ACB中，ABDACB，=，即ABBC=ACBD，ABBC=ACCD6证明：AC=BC，A=B，ACB=90，A=B=45，ECF=45，ECF=B=45，ECF+1=B+1，BCE=ECF+1，2=B+1；BCE=2，A=B，ACFBEC，ACBC=BEAF，SABC=ACBC=BEAF，AFBE=2S7（1）证明：
12、ABC为等边三角形，AB=AC，C=CAB=60，又AE=CF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60APB=180APE=120C=APE=60，PAE=CAF，APEACF，即，所以APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且ABP=BAP=30，AOB=120，又AB=6，OA=，点P的路径是当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；
13、因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：所以，点P经过的路径长为或38证明：AD，BE是钝角ABC的边BC，AC上的高，D=E=90，ACD=BCE，ACDBCE，=9证明：（1）AB=AC，ABC=ACB，DEBC，ABC+BDE=180，ACB+CED=180BDE=CED，EDF=ABE，DEFBDE；（2）由DEFBDE，得DE2=DBEF，由DEFBDE，得BED=DFEGDE=EDF，GDEEDF，DE2=DGDF，DGDF=DBEF10解：设EC=x，CH=y，则BE=2x，ABC、DEF都是等边三角形，B=DEF=60，B+BDE=DEF+HEC，BDE=HEC，BE
14、DCHE，AB=BC=2，点D为AB的中点，BD=1，即：y=x2+2x=（x1）2+1当x=1时，y最大此时，E在BC中点11解：A=C，AOD=BOC，OADOCB，=，OAOB=OCOD12解：（1）猜测BE和直线AC垂直证明：AEC是等边三角形，AE=CE，四边形ABCD是正方形，AB=CB，BE=BE，AEBCEB（SSS）AEB=CEB，AE=CE，BEAC；（2）AEC是等边三角形，EAC=AEC=60，BEAC，BEA=AEC=30，四边形ABCD是正方形，BAC=45，BAE=15，EBF=45，EFBF，F=90，EBF=BAC，F=ABC，BEFACB，延长EB交AC于G
15、，设AC为2a，则BG=a，EB=aa，相似比是：=13证明：（1）BC2=BDBA，BD：BC=BC：BA，B是公共角，BCDBAC，BCD=A，CD平分ECB，ECD=BCD，ECD=A，EDC=CDA，CEDACD；（2）BCDBAC，CEDACD，=，=，14证明：（1）DBG=EBC，BGD=C，BDGBEC，=，则BDBC=BGBE；（2）DBA=ABC，BAD=C，DBAABC，=，即AB2=BDBC，BDBC=BGBE，AB2=BGBE，即=，GBA=ABE，GBAABE，BGA=BAC15解：（1）在ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且ADBC，BEAC，AC=AB=
16、BC，ABC是等边三角形，C=60，BFAC，CBF=C=60，ADBC，FDB=90，F=30，DF=6，BD=2，AE=EC=BD=DC，AE=2；（2）BDF=90，F=30，BD=2，BF=2DB=4，ACBF，AEGFBG，=（）2=16证明：（1）APCD，AMD=MAN，BMD=MNA，AMD=BMD，MAN=MNA，MN=MA（2）如图，连接NC，APCD，且PN=AN=，MC=MD，CN为直角ACP斜边AP的中线，CN=NA，NCA=NAC，APCD，NAC=ACD，NCM=2ACD，CMN=DMB，DMA=BMD，CMD=DMA，在CMN和DMA中，CMNDMA（SAS），
17、ADM=NCM=2ACD即：CDA=2ACD17解：（1）SACD：SADB1：2，BD=2CD，DC=3，BD=23=6，BC=BD+DC=6+3=9，CAD=B，C=C，ABCDAC，=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，E=C，DE=CD=3，ABDE，B=EDF，CAD=B，EDF=CAD，EFDADC，=（）2=（）2=18（1）证明：D是BC的中点，DEBC，BE=CE，B=DCF，AD=AC，FDC=ACB，ABCFCD；（2）解：过A作AGCD，垂足为GAD=AC，DG=CG，BD：BG=2：3，EDBC，EDAG，BDEBGA，ED：AG=BD：BG=2：3，DE=3
18、，AG=，ABCFCD，BC=2CD，=（）2=SABC=BCAG=8=18，SFCD=SABC=19（1）证明：ABC为等边三角形，B=60，由三角形的外角性质得，ADE+FDE=BAD+B，ADE=60，BAD=FDE；（2）解：如图，过点D作DHAC交AB于H，ABC为等边三角形，BDH是等边三角形，BHD=60，BD=BH，AHD=18060=120，CE是ABC的外角平分线，ACE=（18060）=60，DCE=60+60=120，AHD=DCE=120，又AH=ABBH，CD=BCBD，AH=CD，在AHD和DCE中，AHDDCE（ASA），AD=DE，ADE=60，ADE是等边三
19、角形，DAE=DEA=60，AE=AD=5，BAD=BACCAD=60CAD，EAG=DAECAD=60CAD，BAD=EAG，ABDAEG，=，即=，解得AG=20解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使PBQ面积为8cm2，由题意得（6x）2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，PCQ的面积为：PBCQ=（6x）（82x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去）
20、，x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x8）cm，过Q作QDCB，垂足为D，由CQDCAB得，即 QD=，由题意得（14x）=12.6，解之得x1=7，x2=11经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使PCQ的面积等于12.6cm2经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，1410，点Q已超出CA的范围，此解不存在综上所述，经过7秒和秒时PCQ的面积等于12.6cm221（1）证明：如图，线段DB顺时针旋转60得线段DE，EDB=60，DE=DBABC是等边三角形，B=ACB=6
21、0EDB=BEFBCDB=FC，ADF=AFD=60DE=DB=FC，ADE=DFC=120，ADF是等边三角形AD=DFADEDFC（2）解：由ADEDFC，得AE=DC，1=2EDBC，EHDC，四边形EHCD是平行四边形EH=DC，3=4AE=EHAEH=1+3=2+4=ACB=60AEH是等边三角形AHE=60（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，ED=HCDE=DB=HC=FC=2EHDC，BGHBDC即解得x=1BC=322（1）证明：DEBC，ADE=B，AEC=ACB，ADEABC，=，DEBC，EDC=BCD，CD平分AC
22、B，BCD=DCE，DCE=EDC，DE=CE，=，即AEBC=ACCE；（2）SADE：SCDE=4：3.5，AE：CE=4：3.5，=，由（1）知=，=，解得DE=6，DE=CE，CE=823（1）证明：AC平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC2=ABAD；（2）证明：E为AB的中点，CE=AB=AE，EAC=ECA，DAC=CAB，DAC=ECA，CEAD；（3）解：CEAD，AFDCFE，AD：CE=AF：CF，CE=AB，CE=6=3，AD=4，24（1）证明：如图1，在ABC中，CAB=90，ADBC于点D，CAD=B=90A
23、CBAC：AB=1：2，AB=2AC，点E为AB的中点，AB=2BE，AC=BE在ACD与BEF中，ACDBEF，CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EHAD于H，EQBC于Q，EHAD，EQBC，ADBC，四边形EQDH是矩形，QEH=90，FEQ=GEH=90QEG，又EQF=EHG=90，EFQEGH，EF：EG=EQ：EHAC：AB=1：，CAB=90，B=30在BEQ中，BQE=90，sinB=，EQ=BE在AEH中，AHE=90，AEH=B=30，cosAEH=，EH=AE点E为AB的中点，BE=AE，EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：325（1）证明：如图1，
24、连接PN，N、P分别为ABC边BC、CA的中点，PNAB，且ABFNPF，BF=2FP（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，MGEF，AG=GF=FNNEFNMG，SNEF=SMNG=SAMN=SABC=S26（1）证明：CDAB，CDB=ADC=90，ACD+BCD=90，ACB=90，A+ACD=90，A=BCD，ADCCDB，=； （2）解：CE=AC，BF=BC，=，又A=BCD，ACD=B，CEDBFD，CDE=BDF，EDF=EDC+CDF=BDF+CDF=CDB=9027解；（1）ABCE，A=DCE，又ADB=EDC，ABDCED；（2）过点E作EHBF于点H，ABC是等
25、边三角形，ABDCED，AB=6，AD=2CD，=，A=ACB=60，CE=3，ABCE，A=DCE=60，ECH=180ACBDCE=1806060=60，EH=CEsin60=3=；在RtECH中，ECH=60，CE=3，CH=CEcos60=3=，BH=BC+CH=6+=，BE=328（1）解：AC=AC，AB=AB，由旋转可知：CAB=CAB，CAB+EAC=CAB+EAC，即CAC=BAB，又ACB=ACB=90，ACCABB，AC=3，AB=4，=；（2）证明：RtABC是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，AC=AC，AB=AB，CAB=CAB，（1分）CAC=BAB，ABB=A
26、BB=ACC=ACC，ACC=ABB，（3分）又AEC=FEB，ACEFBE（4分）（3）解：当=2时，ACEFBE理由：在ACC中，AC=AC，ACC=ACC=90，（6分）在RtABC中，ACC+BCE=90，即90+BCE=90，BCE=9090+=，ABC=，ABC=BCE，（8分）CE=BE，由（2）知：ACEFBE，ACEFBE（9分）29证明：（1）ABC是等边三角形，DAE=120，DAB+CAE=60，ABC是ABD的外角，DAB+D=ABC=60，CAE=D，ABC=ACB=60，ABD=ACE=120，ABDECA；（2）ABDECA，=，即ABAC=BDCE，AB=AC=BC，BC2=BDCE30（1）证明：AC=CD=DE=EB=，又C=90，AD=2，=，=，=，又ADE=BDA，ADEBDA；（2）证明：ADEBDA，DAE=B，又ADC=AEC+DAE，ADC=AEC+B；（3）解：点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE=，BE=，PE的最大值为作EFAB，则EF=，则PE的最小值为EP，EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个第 27 页 共 27 页