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1、汽车公司的最佳生产方案摘 要本文主要研究的是南洋汽车公司如何安排生产使公司获利最大的问题。主要方法是利用LINGO9.0软件和MATLAB7.0求一定约束条件下的非线性最优化解。通过对题目的分析，我们从已知数据中，发现A101型与A102型汽车各具体数据之间存在着某些比例关系，运用这些比例关系将每月不变管理费用分摊到A101，A102型汽车的标准成本中。来自资料搜索网() 海量资料下载A问题中的第一问，是一个非线性规划问题。我们以追求利润的最大化为目标，充分考虑了限制A101，A102型汽车生产量的各种因素，借助LINGO9.0求得了最优方案如下表所示：A101型汽车生产量 （辆）A102型汽
2、车生产量 （辆）半年最大毛收益（千元）2054623 26955A问题中的第二问，通过“外包加工”的方式增加A101型汽车的产量。为了使得在这种新的生产方式下月平均毛收益大于公司现在的毛收益水平，我们借助LINGO9.0，求得了对该汽车公司而言，其支付给协助厂商的“外包加工费”不应大于491.4元/辆。同时，我们通过MATLAB下的函数曲线图验证了该结果的正确性。对B问题，我们根据已知条件对目标函数和约束条件进行修改，计算得到：当A101型汽车生产1428辆，A102型汽车生产1500辆时，加班后的公司半年可获得的毛收益为2373千元(2695.5千元)。可知：公司不益采取加班的方法来提高公司
3、毛收益。最后，我们对模型进行了进一步的讨论，提出了改进的方案。并给公司的总裁递交了一份报告。关键词：非线性规划 最优化方案 毛收益最大一. 问题的提出南洋汽车公司生产A101、A102型两种型号的汽车，并设有冲压，发动机装配，A101、A102型车装配车间等四个生产车间。这些车间的月生产能力有限。当前的市场情况是：A101型售价为2100元，A102型为2000元，且在这样的价格下，不管生产多少辆汽车，都能售出。根据前6个月的销售情况，A101型的销售为每月333辆，A102型为每月1500辆。此时，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分
4、发挥出来。同时，我们也具有在该情况下两类汽车的标准成本信息。现在有四种提高公司利润的方案，即：1,停产A101车; 2，重新规划安排生产；3，与其他厂商合作“外包加工”；4，加班。现需要建立模型，讨论这四个方案是否有利于提高公司利润。二、基本假设1A101型售价为2100元，A102型为2000元，且在这样的价格下，不管生产多少辆汽车，都能售出，且价格不随市场波动，每个月的销售独立且保持稳定，无月份差别。2.每个月的产品数目是独立的，各个月之间是离散的。3.汽车公司的库存成本不计，即生产多少就一定全部售出。4汽车公司的每月不变管理费用在整个过程中不随生产汽车数的增加而发生变化。5汽车公司对纯收
5、入所得税的税率保持不变。6为了使生产出来的汽车配套以便于销售，冲压车间和发动机装配车间的生产量应相互配套，即相应的车型数量应相等。7. 公司追求每月毛利益的最大化，而无需计算税后纯收入即先不考虑销售行政过程中的费用以及所得税。8. 公司的员工按时上下班、社会声誉稳定。三符号说明与名词解释：:月毛利益，：月销售额：月生产总成本：两类车的标准成本，角标1表示A101型车,2表示A102型车：每辆车的直接材料费用： 每辆车的直接劳力费用：每辆车标准成本中的管理费用部分：公司每月生产A101，A102两类车的数量：角标，表示各个生产车间：各车间每月总管理费用：各车间每月不变管理费用：各车间可变管理费用
6、，但对于每辆车而言为不变项：各车间每月不变管理费用在每辆车的分摊，是可变项：各车间总管理费用在每辆车上的分摊：每辆A101车与每辆A102车分摊各车间不变管理费用的比例：外包加工费：外包加工A101车发动机的数量外包加工费：对于每辆车,公司应支付给合作厂商的费用.它由三部分组成，1：直接劳动力费用中的“发动机装配”成本；2：管理费用中的“发动机装配”成本；3：公司付给其他厂商的委托加工费。四、问题的分析：4.1问题的分析： 经过我们的分析，认为该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题。汽车公司要制定一套合理的生产计划，需要考虑的约束条件主要来自三个方面：第一，公司各生产车间生产能力的限制；第二
7、，市场对于产品的需求量的限制（我们假设在A101型售价为2100元，A102型为2000元的前提下，不管生产多少辆汽车，都能售出，即实质上忽略了它的限制影响）；第三，A101和A102两种类型的汽车由于销售量的不同，导致了对固定成本的分摊不同，直接影响了各自标准成本的大小。分析题意后可知约束条件是非线性的，所以该问题是一个非线性规划问题。汽车公司的毛收益（GROSS MARGIN） 为销售额 和出售产品的总成本 之差，即 。其中，销售额 。 为A101，A102两类车的生产数量。单件出售产品的成本包括直接材料费用、直接劳力费用和管理费用。其中直接材料费用和直接劳力费用可以由简单的线性代数式确定
8、；而可变管理费用则进行多次叠代的非线性代数式表示。于是出售产品的总成本可以表示为（其中1表示A101型汽车，2表示A102型汽车）。由此可见，本题中A（1）的实质就是在现有的条件下，如何给出A101，A102型车的生产方案，能够使公司寻求到最大利润的多变量非线性约束优化问题。对于A（2）的问题，是在不减少A102型汽车的情况下，通过与其他厂商的协作，来提高公司的利润。我们正是通过将“外包加工”后的毛收益与原毛收益进行比较，从而求得可以接受的“外包加工”费的最大值。对于B的问题，用加班的方法提高发动机装配车间的生产能力，实际上对约束条件进行了增加和修改，最后把求解结果与题目给出的原毛收益2111
9、66.67元进行比较，从而比较分析得出加班的方法是否值得采用。并经过进一步的讨论达到优化设计的目的。4.2 对题中所给数据的分析： 4.2.1 对各车间月生产能力的分析：根据车间月生产能力的数据表，对冲压车间和发动机装配车间来讲该表只给出了单独生产某一车型时的月生产能力而不能反映同时生产两种车型时彼此之间的限制能力。根据“对发动机装配车间而言，单生产A101型时，月生产能力为3300辆。若同时要生产A102型时，A101的产量应相应减少，即每生产1辆A102型，相应地，在原来产量的基础上，A101型的产量减少2辆”，我们认为发动机装配车间分别生产一辆A101和A102两种不同型车的能力大小2：
10、1，这个比例恰好是3300：1667=1.98：12：1。同样，对于冲压车间而言生产A101和A102型车的能力大小是2500：3500=1：1.4。而由于两种车型的装配车间独立，因此彼此之间不相互影响。4.2.2 关于管理费用与生产数量的分析：（1）公司的管理费用：从题目中表格看，公司的管理费用分为不变管理费用和随生产量不同而改变的管理费用。以冲压车间每月的总管理费用为例可以表示为：325000=135000+120333+1001500。可以把上式写成如下公式：于是，推广至各个车间为：（2）A101和A102两种车的标准成本：A101和A102两种车的标准成本（ ）均由三种成本构成：直接材
11、料费用（ ），直接劳力费用（ ），管理费用（ ）。其中前两种费用已经给出，我们主要来分析管理费用。在（1）中的，对于每一辆车而言实际属于不变项，而可变项则是每月不变管理费用在A101和A102每辆车上的分摊，这对每辆车来说实际是由于生产数量不同而产生的可变管理费用。两种类型汽车的标准成本中的管理费用部分A101型A102型冲压（不变项+可变项）216（=120+96）169（=100+69）发动机装配（不变项+可变项）130（=105+25）251（=200+51）总装配（不变项+可变项）445（=175+270）175（=125+50）管理费用合计791595从上表中提取两种车型的可变项进行
12、必较，根据假设1可得以下比例关系：A101车：A102车96：6914：125：511：2270：01：00：500：1可以看出这分别与各车间生产单位车辆能力的比例关系成反比，这可得出以下结论：各车间生产车辆的能力与该车间固定管理费用在每一辆车上的分摊成反比，也就是某车间 可生产某型车部件的能力越大，该车间固定管理费用在单位部件上的分摊越小。五、模型建立和求解：5优化设计数学模型的建立：通过对题目的分析，我们将原问题归结为求解有一定约束条件的最优化问题。从问题的分析中，我们将各车间不变管理费用分摊到每一辆车上，于是各个车间所生产的每辆汽车所分摊到的不变管理费用可表示为：H 表示各个车间的每月不
13、变管理费用，表示前面定义的比例，其中i表示不同的生产车间（冲压车间，发动机装配车间，A101型车装配车间）我们得到各车间A10，A102A102型汽车管理费用可分别表示为：于是，A101，A102汽车标准成本中的总的管理费用分别为：这样，在不同的生产条件下的A101，A102型汽车的标准成本表示为：其中，表示A101或者A102的直接材料费用、表示A101或者A102的直接劳力费用，表示A101或者A102的管理费用而汽车公司每个月的销售额：因此，公司获得的毛利益为： 约束条件如下所示：1 无论在何种条件下，都有生产A101型汽车的数量x2250,同时A102型汽车 的数量y1500；2 根据
14、题意有冲压车间应满足：（3500x/2500）+y211167当P的值为211167时，可解得M的表达式为： M=465+ - -将上式与限制条件z1095配合，在LINGO9.0中求M的最小值（程序见附录2中所示），得到了如下的结果：当在z=1095时， M =491.393元。即：只要该汽运公司支付给其他厂商的每辆A101型车的“外包加工费”不高于491.4元，则公司与原来相比，能够提高自身的利润额。为了更加直观得表明这个结论，我们在MATLAB7中绘制了M的函数图象，如下图所示：在上图中，喷绘区的上限便是491.393，这与我们在LINGO9.0中算得的结论是一致的。只要y的值落在喷绘区
15、内，都应当是该汽运公司可以接受的“外包加工费”。54 对讨论利用加班的方法提高公司的利润。公司总裁需要研究利用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力是否合算的建议。根据题目条件：发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型汽车。我们认为对发动机装配车间而言，单生产A101型时，月生产能力提高到（2000+3300）=5300辆。此时的两种汽车装配能力的比例仍然按照前面的分析计算。直接劳动力费用提高50。我们认为这里的直接劳动力费用仅仅指的是直接劳动力费用中发动机装配这一项。即A101型汽车的直接劳动力费用为：40+100+60 元辆；A102型汽车的直接劳动力费用 为：30+75+120
16、=285元辆。加班的固定管理费用为40000元。我们认为加班的固定管理费用应当加在发动机装配的每月不变管理费用当中。即由每月85000元增加到（85000+40000）125000元。可变的管理费用仍保持原来数值。根据假设我们设A101，A102型汽车的产量分别为x,y辆，于是我们可以根据模型将目标函数和约束条件写出如下：对上述模型利用lingo9.0软件求解，得到结果为：A101型汽车为1428辆/月，A102型汽车为1500辆/月时，公司所得的毛利润为 395560元/月（软件实现过程见附录3）。将结果与前面的各种情况下得到的最大利润值比较，可以发现：在不加班的现有情况下，仅通过调整生产安
17、排，就可以使公司所得的毛利润达到449250（元/月）395560（元/月）。我们认为如果不加班达到的最大利润都能够超过加班所达到的最大利润，那么公司就没有必要采用加班的方法来提高公司利润。所以，我们得出结论：公司不必采取加班的方法来提高公司利润。六、模型的评价及改进和推广：61 模型的优缺点从上面的模型的建立与求解分析中，我们建立的模型主要的优点是：1) 采用“从整体到局部再回到整体”的分析问题的方法，首先，从整体上分析问题的实质，确定出约束生产计划的主要因素，然后，就每个月汽车生产中控制标准成本的约束条件，建立初步优化模型，对每个月获利最大的生产计划初步定位，最后从宏观角度上再对该厂六个月
18、总的生产计划进行合理的安排，从而使该厂六个月内获得的总利润最大。2) 方便、直观、实用，所涉及到的数学原理和计算以及概念都较为简单明了易于在计算机上实现及推广；另外，程序运行时间很短，算法稳定，准确性高，容量大，逻辑性严格，计算速度快，具有较强的说服力和适应能力，有利于实际应用中的管理者决策。但是也有一些需改进的缺点：由于约束条件对数据的要求比较严格，因而模型用到的某些数据可能是不现实的，从而使模型得到一些不太理想的结果；由于某些式子存在非线性的关系，所以其算法的运算量较大。62模型的改进：我们在考虑公司现有条件下的最大毛利润时，是基于一条很重要的假设，即汽车公司的库存成本不计，即生产多少就一
19、定全部售出。这样事实上假设说明对A101或A102类汽车各个生产车间所生产出来的车的数量都相等。然而如果允许汽车公司不同车间根据降低两种类型的汽车的标准成本的需要，可以在不超过生产能力的前提下，生产各自数量的产品，也许会一定程度上降低总的汽车标准成本。不妨设冲压车间生产A101，A102类型汽车部件的数量为a，b。发动机装配车间生产A101和A102类型汽车部件的数量为c，d，A101型车装配车间生产A101型车的数量为e，A102型车装配车间生产A102型车的数量为f。于是得到A101型车的成本：C1=1200+200+120+135000*1.4/(1.4a+b)+105+85000/(c
20、+2d)+175+90000/e同样得到A102型车的成本:C2=1000+225+100+135000/(1.4a+b)+200+85000*2/(c+2d)+125+75000/f公司的毛利润表示为:P=(2100-C1)*e+(2000-C2)*fa,b,c,d,e,f各值均要满足各生产车间的实际生产能力.（通过LINGO实现过程见附录4。）通过LINGO求解得到:当A=2055.0, B=623.0, C=2054.0D=623.0, E=2054.0, F=623.0时,公司可以得到的最大毛收益为:P= 449304.0元/月将此种情况下得到的最大毛收益449304.0元/月与假设各
21、个车间生产A101或者A102型汽车数量相同时的最大毛收益449250元/月相比较可以发现相差并不多。于是可以得到结论，当且仅当每个车间分别生产的A101或者A102型汽车数量相同，没有剩余，即没有库存成本时，公司获利最大。同样的，我们可以将该种推广后的模型应用到求解A（2）和B中。求解过程略。对改进后模型的评价：这样就可以通过六个变量来控制公司的最大毛收益P，更具有普遍性和一般性.而且真正体现了多个变量控制目标函数达到最优解的模型思想。但是，从实际运用中比较发现，这样的模型需要的约束条件过多，并不利于模型的推广。而且从得到的最大毛收益可以看出，利用较少的变量求解出的结果与之完全相同。因此，在
22、实际建立模型中我们并不采取更一般的模型，而是只利用较少的变量求解问题。七、向公司总裁汇报： 给公司总裁的报告我们仔细分析了贵公司上半年的收入报表，权衡比较了各部门经理的提议，找到了在现有生产条件下的一套优化生产的方案，望能有助于贵公司今后的发展。首先，对于销售部门经理的提议，通过计算，得到了当A101型汽车全面停产后，公司半年的毛收益值可达1377千元，这与原来的半年毛收益值1267千元相比，有一定程度的提高，但效果并不理想。其次，对于财务部门经理的提议，我们通过综合分析，调整了A101，A102型车的产量，得到当A101车生产2054辆/月，A102车生产623辆/月时，贵公司的获益是最大的
23、，半年的毛收益值可达到2695.5千元，比原来提高了一倍多，显著地增加了公司的获利。再次，对于生产部门经理的提议，通过“外包加工”的方式生产时，只要对每辆车而言，外包加工费不多于491.4元，都能使贵公司的毛收益高于原来的水平。但在现在的市场经济环境下，企业合作追求“双赢”，如果贵公司支付的外包加工费过低，显然不利于双方的合作。在下图中，表示的是当外包加工件数和外包加工费不同时，公司每月毛收益的值：图表 1为了实现双赢，我们认为取外包加工费为350元/辆较合适，公司半年的毛收益值可达2196元。最后，我们还考虑了采用加班的方法。在加班的条件下，当生产A101型汽车为1428辆/月，A102型汽
24、车为1500辆/月时，公司半年的毛收益为2373千元，相比于现有的水平有所提高。在下图中，我们对四种方法得到的毛收益进行了比较： 说明：在上面的图中，1，2，3，4分别表示A101车停产，重新规划生产，外包加工，加班四种生产方案。从上图中，我们发现，重新安排生产，合理调整A101，A102型车产量的方案最有益于提高公司的毛收益。另外，经过对整个问题的分析，我们发现发动机装配车间的生产能力有限是阻隘贵公司发展的瓶颈，因此，我们建议公司能考虑扩充发动机装配车间。由于我们没有这方面的相关数据，无法进行更深一步的考察。最后，愿我们的工作能给公司的发展产生积极的影响。八，参考文献：1、胡适耕施保昌 最优
25、化原理 华中理工大学出版社2、陈永春 MATLAB M语言高级编程清华大学出版社3、谢金星优化模型与LINDOLINGO软件应用清华大学 4、最优化方法解可新、韩建、林友联。 天津大学出版社 5、姜启源 谢金星叶俊数学模型 高等教育出版社九，附录：附录1：在现有条件下，公司安排生产使获利最大时的源程序：max=(2100-1400-400-135000*1.4/(1.4*m+n)-85000/(m+2*n)-9000/m)*m+(2000-1225-425-135000/(1.4*m+n)-85000*2/(m+2*n)-75000/n)*n;(1.4*m+n)3500;(m+2*n)3300
26、;m2250;n1500;gin(m);gin(n);end计算结果：Local optimal solution found. Objective value: 449250.0 Extended solver steps: 7 Total solver iterations: 210 Variable Value Reduced Cost M 2054.000 -300.0000 N 623.0000 -350.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 449250.0 1.000000 2 1.400000 0.000000 3 0.000000 0.
27、000000 4 196.0000 0.000000 5 877.0000 0.000000附录2：通过引入“外包加工”费用，使公司获利最大时源程序如下：max=(2100*x+465075-139563000/(1.4*(333+x)+1500)+90000*333/(333+x)/x-252/x-(1635+135000/(1.4*(333+x)+1500)+90000/(333+x);x0;gin(x);end计算结果：Local optimal solution found. Objective value: 491.3930 Extended solver steps: 0 Tota
28、l solver iterations: 20 Variable Value Reduced Cost X 1095.000 -0.2410033E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 491.3930 -1.000000 2 0.000000 0.000000附录3：利用加班的方法，使公司安排生产获利最大时的源程序：max=(2100-1200-40-90-100-135000*1.4/(1.4*m+n)-120-125000/(m+2*n)-105-90000/m-175)*m+(2000-1000-30-120*1.5-75-100-135000/(
29、1.4*m+n)-125000*2/(m+2*n)-200-75000/n-125)*n;(1.4*m+n)3500;(m+2*n)5300;m2250;n1500;gin(m);gin(n);end计算结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 395560.0 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 51 Variable Value Reduced Cost M 1428.000 -270.0000 N 1500.000 -290.0000附录4：模型改进中使用到的计算
30、程序：max=(2100-(1200+200+120+135000*1.4/(1.4*a+b)+105+85000/(c+2*d)+175+90000/e)*e+(2000-(1000+225+100+135000/(1.4*a+b)+200+85000*2/(c+2*d)+125+75000/f)*f;(1.4*a+b)3500;(c+2*d)3300;e2250;f1500;ca;db;ec;fd;gin(a);gin(b);gin(c);gin(d);gin(e);gin(f);end计算得到的结果：Local optimal solution found. Objective value: 449304.0 Extended solver steps: 13 Total solver iterations: 70 Variable Value Reduced Cost A 2055.000 -53.97840 B 623.0000 -38.55600 C 2054.000 -25.75758 D 623.0000 -51.51515 E 2054.000 -220.2424 F 623.0000 -259.9134