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1、利用Matlab求解机械设计优化问题的分析董洪峰，化工学院，1012207123摘要： MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真与最优化设计等功能。本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。关键词： MATLAB 约束条件 机械设计优化 0 前言 在线性规划与非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进展手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C与FORTRAN之类的高级语言编写一
2、套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以防止计算量过大与编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以到达足够的精度。1.两种约束条件求极值方法 1)无约束条件的极值问题的解算方法设有Rosenbrock函数如下：f(X1,X2)=100(X2-X1*X1)2+(1-X1)2求向量X取何值时，F(x)的值最小及最小值是多少？先用MATLAB语言的编辑器编写求解该问题的程序如下：%把函数写成MATLAB语言表达式fun=100*(X(2)-X(1)*X(1)2+(1-X(1)2%猜自变量的初值X0=-1 2; %所有选项取默认值o
3、ptions= ；%调用最优化函数进展计算。%函数最小值存放在数组元素options(8)中%与极值点对应的自变量值存放在向量X里%计算步数存放在数组元素options(10)中X,options=fmins(fun,X0,options)；%显示与极值点对应的自变向量X的值。%显示函数最小值options(8)%显示函数计算步数options(10)把上面这段程序保存为m文件，然后用“Tools菜单中的“Run命令行这段程序，就可以轻松的得到如下结果：X=9.9999e-001 9.99982742178110e-001ans=1.7760e-001ans=195显然，计算结果与理论结果的误
4、差小到e-10级,这里调用了MATLAB的最优化函数fmins(),它采用Nelder-Mead的单纯形算法，就是因为这个函数的采用，使最小值问题的解算变得非常简单。2带约束条件的极值问题的解法 设目标函数与约束条件如下:f(x) =-3X1+X2+X3-X1+2X2-X3= -114X1-X2-2X3=0,X2=0，X3=0;求X向量取何值时函数取极小值？对条件极值问题通常的做法都是将约束条件标准化即把等式约束条件写成等号为0的形式，把不等式写成=0的形式。然后把条件极值问题转换为非条件极值问题，MATLAB也采用同样的做法。下面是求解该问题的MATLAB语言程序。funf =f=-3*X(
5、1)+X(2)+X(3); %写出目标函数表达式。fung=g=2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3； %把约束条件标准化，写成向量函数。注意等式约束条件要放在前面。fun=funf ,fung %把目标函数表达式与约束条件表达式合成一个向量函数。 X0=101 %猜初值options= options13=1 %在options(13)中指定等式约束条件的个数。vlb =zeros(1,3); %指定向量X的下界为0。vub = ; %对向量的上界不做要求。X,options=constr(fun,X0,options,
6、Vlb,Vlb); %调constr()函数%显示与极值点对应的X 向量值。options(8) %显示极小值options(10) %显示计算次数g=2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3 %显示约束条件表达式的取值。运行这段MATLAB程序得到如下结果:X=4.0000e+000 1.000le+000 9.0005e+000ans=-1.99999999999999le+000ans=17g=-6.21724522790877e-015 1.77635683940025le-015 -1.4210e-014显然，计算结
7、果是非常准确的，这里调用了MATLAB的最优化函数constr()，它是专门用来解算条件极值问题的。2机械优化设计应用实例 机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计中，用计算机从大量可行方案中找出最优化设计方案，从而大大提高设计质量与设计效率。MATLAB具有解决线性规划与非线性规划、约束优化与无约束优化问题的内部函数，因而可以完成这一功能。现举一例：螺栓组联结的优化设计 如图4所示的压力容器螺栓组联接中，D1= 400mm,D2 = 250mm，缸内工作压力为p=1.5 MPa，螺栓材料为35号钢，s=320Mpa,平安系数S=3,取剩余预紧力Qp=1.6F,采用铜皮石棉密封垫片。现从
8、平安、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n与螺栓的直径d 。21 设计问题分析假设从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度与密封性，不能保证平安可靠的工作；假设从平安、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结经济本钱最小化的同时，还要保证联结工作平安、可靠。 2 2 设计变量 目标函数 约束条件 22 .1 设计变量 选取螺栓的个数n与直径d(mm)为设计变量:22 .2 目标函数 追求螺栓组联结经济本钱Cn最小为目标。而当螺栓的长度、材料与加工条件一定时，螺栓的总本钱与nd
9、值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为min F(X) = Cn = nd = x1x2 强度约束条件 为了保证平安可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件 ； 其中； N；对于粗牙普通螺纹：由文献3推荐，小径 d1=0.85d 所以，强度约束条件为： 密封约束条件 为了保证密封平安，螺栓间距应小于10d，所以，密封约束条件为： 安装扳手空间约束条件 为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于5d，所以，安装约束条件为： 边界约束条件 ； 3. 建立数学模型综上所述，本问题的数学模型可表达为：设计变量：目标函数：min F(X) = x1x2约束条件： s.t. ( i = 1, 2, 3, 4,
10、 5,)现运用MATLAB的优化函数进展求解 : 先编写M文件 function c,ceq=mynas(x)c(1)=146192/(x(1)*x(2)2)-106; % 非线性不等式约束 c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2);c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2);ceq=; % 非线性等式约束在MATLAB命令窗口输入:fun=x(1)*x(2); % 目标函数x0=4,6; % 设计变量初始值A=-1,0;0,-1; % 线性不等式约束矩阵b=0;0; Aeq=; % 线性等式约束矩阵beq=;lb=; % 边界约束矩阵ub=;x,fval=fmincon(fun
11、,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mynlsub) % 调用有约束优化函数运行结果如下:x = 11.4499 10.9751fval = 125.6637所以，该问题优化结果为：n =11.4499 ,d = 10.9751，目标函数最小值：F(X)= 125.6637。根据实际问题的意义取整、标准化：n =12 ,d = 12。由此例可以看出，与其它编程语言相比，MATLAB语言可以简化编程。图5是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图标注数字的曲线为目标函数的等值线，为此在MATLAB命令窗口输入: x1=0.1:20;y1=146192./(106.*x1.2
12、);y2=400.*pi./(10.*x1);y3=400.*pi./(5.*x1);plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),o)y4=0.1:0.1:20;y4,x1=meshgrid(y4,x1);Q=y4.*x1;hold on;c,h=contour(y4,x1,Q); hold on;clabel(c,h) ;4结论 从上述实例可以看出，利用求解最优化问题具有编程简单，精度很高，速度很快，各种工形式的最优化问题都适用等优点，巧妙各种利用MATLAB语言可以取得事半功倍的效果。MATLAB具有科学计算的强大能力,不管处理什么样的对象算法、图形、图像、报告或者算
13、法仿真MATLAB都能够帮助大家不断提高工作效率。 MATLAB环境能够完成算法开发、数据分析与可视化、高性能数据分析等工作，相对于传统的 C、C+或者 FORTRAN语言，在 MATLAB中完成这些工作所消耗的时间仅仅是传统手段的极小一局部。开放性的 MATLAB软件与开发语言M 语言，能够快速实现用户好的想法与概念。使用MATLAB软件进展科学计算，能够极大加快科研人员进展研究开发的进度，减少在编写程序与开发算法方面所消耗的时间与有限的经费，从而获得最大的效能。参考文献1 薛定宇?控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言及应用?，清华大学出版社，19962 濮良贵?机械零件?北京.高等教育出版社。3 蒲俊，吉家锋?MATLAB数学手册?上海.浦东电子出版社，2002。4 黄华梁 彭文生 ?机械设计根底? 高等教育出版社第 9 页