《随机过程习题及复习资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程习题及复习资料.docx（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、1.1设二维随机变量（,）的联合概率密度函数为:试求:在”1时，求/o解为= ”班 g当0，1时 AW =1。其它1. 2 设离散型随机变量X听从几何分布：试求X的特征函数，并以此求其期望以及方差”。=距力=噂= 解：7 所以:2. 1EMBED Equation.KSEE32.2设随机过程（Xain/aHa/.YI-BVtV40。，其中是常数，/及F是相互独立 的随机变量，Y听从区间（加上的匀称分布，4斤从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：m %(9 =至/+7)=/5刘0清#7)及我无关= (20 = cnS(fiV+r)2 =(2)(cos W+n乙J所以残=欧2（）0
2、&(%9 =即豆dcos(a# 7)/85/0（一4）只及时间间隔有关，所以“为宽平稳过程。EMBEDEquation.KSEE32.3Equation.KSEE3Equation.KSEE3一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间听从均值为2分钟的指数分布并且及其他人所需时间 相互独立，那么1小时内平均有多少学生承受过体检？在这1小时内最多有40名学生承受过体检 的概率是多少（设学生特别多，医生不会空闲）解：令N）表示（）时间内的体检人数，那么N）为参数为30的poisson过程。以小时为单位。 那么在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为h,当1路公共NN汽
3、车有人乘坐后动身；2路公共汽车在有？人乘坐后动身。设在0时刻两路公共汽车同时开场等候 乘客到来，求（1） 1路公共汽车比2路公共汽车早动身的概率表达式；（2）当N, WJ?时，计 算上述概率。解：法一：1）乘坐1, 2路汽车所到来的人数分别为参数为和，！的poisson过程，令它们为N） N,t）%的注生计引丰一 N,（t） Ni的老土叶判1,2 o h表示1- I的发生时刻，表示2- -的发生时刻。当N I J 2 ,时， 丫一 丫2法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为和+ ?的泊松过程。令, , Z !分别表示乘坐公共 汽车1, 2的相邻两乘客间到来的时间间隔。那么Z , Z 2分别听
4、从参数为l？的指数分 布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-,EMBED八 -CEquation.DSMT41 + 2上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度和+仆的泊松过程时，乘客分别以产概率乘坐公共汽车1,以L*八的概率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验胜利，那么有：当I =N 2 , L！时3.3设.是个相互独立的Poisson过程，参数分别为* EMBEDEquation.DSMT4力。记T为全部个过程中，第一个事务发生的时刻。（1）求的分布；证明证明是叱.过程，参数为7L+求
5、当4个过程中，只有一个事务发生时，它是属于的概率。解：1）记第个过程中第一次事务发生的时刻为, “TN-/。那么上由听从指数分布，有（2）方法一：由,为相互独立的poisson过程,对于、rl这里利用了公式N，）=2VG）/2O所以T方法二：幺二4是参数为 , 的poisson过程。当/z-时, 当/zY时,得证。3.4证明poisson过程分解定理：对于参数为1的poisson过程0/ Q计算不也解：3.10 设某医院专家门诊，从早上8:00开场就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者效劳，效 劳的平均时间为20分钟，且每名患者的效劳时间是相互独立的指数分布。那么8:00到12:00
6、f j 诊完毕时承受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。解：从门诊部出来的患者可以看作听从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。那么在1，4小时内承受治疗的患者平均停留时间为：当t = 4时，平均等待停留时间为2 h o0也是强度函数为的非齐次Poisson过程，年星是事务发生之间的间隔时 间，问：(1)诸是否独立12)诸i是否同分布？解： Y从上面看出1 ,2不独立。以此类推，i不独立。及(乙/9分布不同。3. 12设每天过某路口的车辆数为：早上7:008:00, 11:00 12:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。那么早上7:30 11:20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经
7、过路口的车辆数超过500辆的概率是多少？解：(1)记时刻7:00为时刻0,以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度 函数如下：Ze 0.5,7V()-7V(0.5)那么在7： 3011： 20时间内，即3时， 3代表这段时间内通过的车辆数，它听从均值为如卜的poisson分布。13A)-A(Q5) =QSJ即： 3,在给定的时间内平均通过的车辆数为280。2)三o3.13 0,t时间内某系统受到冲击的次数N),形成参数为的poisson过程。每次冲击造成的损害 11, 2独立同指数分布，均值为。设损害会积累，当损害超过肯定极限A时， 系统将终止运行。以T记系统运行的
8、时间(寿命)，试求系统的平均寿命ET。NQ)1x)= 2 匕匕一(一)解：在内某系统受到的总损害日 为一个复合poisson过程，其中 “o1 A系统的平均寿命为H14某商场为调查顾客到来的客源状况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别 独立地听从每分钟2人及每分钟3人的泊松过程。(1 ) 试求到某时刻工时到达商场的总人数的分布；(2) 在工时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设C(纨M分别为(0, t时段内到达商场的男顾客数，女顾客数及总人数。(1)由，砥。为强度4 = 2的泊松过程，闻为强度冬=3的泊松过程；故，MO为强度
9、4 = 4+冬=5的泊松过程；于是，（5分）HM = 3。冲）=50） =空理花 56g30 /30仗（出，一打201303302p（5分）一般地,打马 =幻卸0 = 50=找）6f=0127。欧玛0|= 50 = 50x2 =30故平均有女性顾客5 人4.1 m对（2）错当/=时，有可能小于t13）错,（4分） Tn X 那么：4.3解:对于Poisson过程证明定理4. 1.4.4设尸,3叫解:4.5 一个过程有个状态L2/，最初在状态1,停留时间为,离开1到达2停留时间为？, 再到达3,最终从回到1,周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求设且-巧为非格点分布。解：
10、记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n,经过n再回到1,再到iT这一过程记为关。那么有乙一,设初始状态从1第一次到i须要时间,）。那么4. 6 用交织更新过程原理计算t时刻的寿命及剩余年龄的极限分布。解：1T为t时刻剩余寿命，为t时刻年龄。假设假设更新过程是将一个部件投入运用而一旦失效即更换所产生的，那么A）表示 在时刻t部件所运用的年龄，而丫 ）表示它的剩余寿命。即X）表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算孑独注W,为此我们将一个开-关的循环对应于 个更新区间，且假设在t时刻的年龄小于或等于X,就说系统在时刻t “开着。换言之，在两次相邻的时间为X）的时间 内，前X时间内系统“开着，而其余时间“关着。那么假设X）的分布非格点的，由定理4. 10得到4.7 对t时刻最终一次更新取条件重新给出定理4. 10的证明。解：表示时刻t前的最终一次更新。,那么由关键更新定理得到:对最终一次更新取条件概率有：4.8H为非负不增函数，且对延迟更新过程证明更新方程8=耳=1JlJT ，。oo三月令”1,从上面可以推出: