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1、-全等三角形辅助线的做法一、知识点讲解：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段(角)的相等关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”这种方法也是常说的“倍长中线法”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模
2、式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 图形变换5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目二、典型例题： 一、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.及时应用（0
3、9崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.旋转1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 2.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；四、 借助角平分线造对称型全等1：如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线
4、AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：（06郑州市中考题）如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.3、如图，已知OP平分AOB，C，D分别在OA、OB上，若PCO+PDO=180，求证：PC=PD.4、 已知PA、PC分别是ABC的外角DAC、ECA的平分线，PMBD，PNBE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）DMABCNPEA.PMPN B.PMPN C.PMPN D.无法确定 及时应用（06北京中考）如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线
5、为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。及时应用（07佳木斯）已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成
6、立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.（09崇文一模）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数
7、量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）四、巩固练习A组1. 如图，已知，AB=AD,CB=CD，试证明：. 2.求证三角形一边的中线小于其他两边的一半。 3.已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.A4. 已知ABC中，AB=AC,D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE与BC交于点F。求证：DF=EFDCEFB 5.如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求
8、证：AB+ACAD+AE. 6. 如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 7. 如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 8. 如图，在ABC中，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF 9.如图，在ABC中，C=2B,1=2,试证明AB=AC+CD。 10. 如图，已知ABC中，边BC上的高为AD，且B=2C.求证：CD=AB+BD。 11.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC12.如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，
9、求证;ABAC+BD 13. 如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 14. 如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 15.如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 16. 如图，在四边形ABCD中，AD/BC，点E事AB上一点，若DEC=，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。17.已知，如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE,垂足为D，求证：BAD=DAC+C B组CNMABD1、如图，已知MB=ND，MBA=NDC，下列条件不能判定ABMCDN的是（ ）
10、（A） M=N（B） AB=CD（C） AM=CN（D） AMCNEBDAC2、如图，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断ABEACD的是（ ）（A） AD=AE（B） AEB=ADC（C） BE=CD （D） AB=AC3、已知，如图，M、N在AB上，AC=MP，AM=BN，BC=PN。求证：ACMPMPCABN4、 已知，如图，AB=CD，DFAC于F，BEAC于E，DF=BE。求证：AF=CE。FEACDBFEODCBA5、 已知，如图，AB、CD相交于点O，ACOBDO，CEDF。求证：CE=DF。AEDCBb6、 已知，如图，ABAC，ABAC，ADA
11、E，ADAE。求证：BECD。GFEDCAB7、已知，如图，四边形ABCD是正方形，ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：BCFDCEFEDCAB8、 如图，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。 AB=AC BD=CD BE=CFFEDCABG9、 如图，EGAF，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 AB=AC DE=DF BE=CF10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABC
12、D外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。求证： BCGDCEFEDCABGH BHDE11、如图，ABC中，AB=AC，过A作GBBC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。FEDCABGHFEDCAB12、如图所示，己知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明。EDCAB13、如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD交于E，由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论（不要添加字母和辅助线）。FEDCABGPFEDCABGP14、己知，ABC中，AB=AC，CDAB，垂足为D，P是BC上任一点，PEAB，PFAC垂足分别为E、F，求证： PE+PF=CD. PE P F=CD.15、已知，如图5，ABC中，AB=AC，BAC=900，D是AC的中点，AFBD于E，交BC于F，连结DF。求证：ADB=CDF。FEDCA3N1MB2MFEDCA31B2-第 15 页-