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1、第一章 集合、常用逻辑用语及不等式第1节集合课标要求(1)集合的概念与表示：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在 具体情境中了解全集与空集的含义；(2)集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；(3)集合的基本运算：理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交 集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图 表达集合间的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.备考第1步梳理教材基础，落实必备知识1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确
2、定性、互异性、无序性.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号且或学表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系耒口自然数集正整数集整数集有理数集实数集id rNN*（或 N+）ZQR表示关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A中所有元素都在 集合5中(即假设那么 xB)（或 33A）O 或真子集集合A是集合3的子集， 且集合B中至少有一个 元素不在集合A中(或脸A)集合相等集合A, 3中元素相同A=B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言硝符号语言AUB=xx一或工研AAB=x|x且依A游记的学生人数与该校学生总数比值的估计
3、值为丽 =0. 7.答案：C课下巩固培优卷(一)【A/基础巩固题组】1 .(2021全国高考乙卷)全集。=1，2, 3, 4, 5,集合M=b 2 , N= 3, 4,那么CU2V)=()A. 5B. 1， 2C. 3, 4D. 1， 2, 3, 4解析：由题意可得，MUN=1, 2, 3, 4,那么u(MUN) =5.答案：A.集合1=0，y)|x+y=l, B=xxy=l,那么 AG3 等于()A. (1, 0)B. (0, 1)C. 1, 0D. 0解析：因为集合A中的元素为点集，集合3中的元素为数集，所以两集合没有公共元 素，所以AA8=0.应选D.答案：D.集合=1，2, 3 , N
4、=(x, y)xM,x+yM.那么集合 N 中的元素个数为()A. 2B. 3C. 8D. 9解析：由题意，满足条件的平面内以(羽y)为坐标的点集合N = (1, 1), (1, 2), (2, 1),所以集合N的元素个数为3答案：B4. (2022广东广州模拟)集合人=工I以=1, R , 5=-1, 1,假设 那么所有。的取值构成的集合为()A 11 B. 一1, 1 C. 0, 1D. 1， 0, 1解析：。=0时，A = 0满足题意，。手。时，依=1得,所以=1或,=1, a= a d ci1或=一1,所求集合为-1, 0, 1).答案：D5.全集 U=R,集合 M=xZ|xl| 3,
5、 N=-4, -2, 0, 1, 5,那么以下 Venn 图中阴影局部的集合为()A. 0, 1)B. -3, 1, 4)C. -1， 2, 3D. -1， 0, 2, 3解析：集合 M= %ez|x-l|3 = %ez| - 3x - 13 = %ez| - 2x4= -1, 0, 1, 2, 3 , Venn图中阴影局部表示的集合是MArN= - 1, 2, 3).答案：c6.定义集合 A/N=且x1 N,集合 A = x|x2+3x100 , B =x| 7x0,那么 A5=()A. x| 5x1 B. x|7x2C. x| 5xl D. x| 5x0解析：由不等式 f+Bx10 = (
6、x2)(x+5)0,解得一5vx2,即 A= x| 5x2,又由 3= x| 7x0,假设 x可得x| 6xvl ,所以 AB= x| 5xa,那么以下选项可能成立的是()A. ABB. BAC. AU(r8) = RD.1 20,解析：由Joc 得4 = -1, 2)U(2, +), B=(a, +), CrB=(tz,选x2W0,项A, B, C都有可能成立，对于选项D,不可能有AC (rS答案：ABCv 18 .集合 A=j2x, lr ， Bx2, x+y, 0,假设 A = 5,那么 x+y=.解析：显然 y=i,即？1=21，0, 1, B=x2, x+1, 0.假设 x+l =
7、l,那么 x=0,集合 A中元素不满足互异性，舍去，A.2=l, EL 2x=x+1, A.r=l,故x+y=2.答案：29 .集合2x3W0, B=xy=n (2-%),那么 AA3=, AUB=解析：A= x|f2x3W0 = x(x+1)(%3)W0 = x 1 WxW3, B= xy=n (2x)= x2-xQ = xx29 那么 AAB=-1, 2）, 4UB=（-8, 3.答案：1, 2） （8, 310 .集合A=x2xv3, Bxmxm+9,假设AGBW。，那么实数机的取值范围 是.解析：假设A C 5=0,那么有m+9W 2或mN3,解得mW 11或m23,所以当AC BW
8、0时，实数机的取值范围为加一11加3.答案：）?| 一 11 m3【B/能力提升题组】X11.集合M=mm=+上+三+生y xyzx、y、z为非零实数,那么M的子集个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 8解析：因为集合M=加|加=三+?7 +A +产？ ,小V、z为非零实数,所以当x, y, m bl |z| |xyz| Jz都是正数时,m=4;当x, y, z都是负数时，2=4;当x, y, z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0, 当x, y, z中有两个是正数，另一个是负数时，m=09 所以集合M中的元素是3个，所以M的子集个数是8.答案：D12.集合4=1，a , B= x|log
9、2xl,且A GB有2个子集，那么实数。的取值 范围为（）A. （ 8, 0B. （0, 1） U（l, 2C. 2, +）D. （一8, 0 U 2, +00）解析：由题意得，8= x|log2九1 =（。，2）,AA5有2个子集，AnB中的元素个数为1个；VIG（AAB） , ：.ai（AnB）,即涌3,，后。或心2, 即实数的取值范围为（-8, 0 u2, +8）. 答案：D13.（多项选择）全集U的两个非空真子集A, 3满足。以）UB=B,那么以下关系一定正 确的是（）A. ADB=0B. ADB=BC. AUB=UC. AUB=UD.(1网 UA=A解析：令 U=1, 2, 3, 4
10、 , A=2, 3, 4 , B=1, 2,满足()UB=B, 但AG3W。，故A, B均不正确；由()U8=B,知以18, A U=AU(A) Q (A UB) , ：.AUB=U,由知(u8) UA=A,故C, D均正确.答案：CD14 .某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出 13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，那么该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有 种；(2)这三天售出的商品最少有 种.解析：(1)如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19-3 = 16(种).(2)如图2所示，这三天
11、售出的商品最少有19+13 3 = 29(种).答案：(1)16 (2)2915 .集合4=工*-3x+2=0, 8=珏？-ov+3q5 = 0,假设 AG3=3,那么实数。 的取值范围为.解析：由题意，可得4=3/3尤+2 = 0 = 1, 2,因为AGB=3,所以(1)当 B=0时，方程 x2一办+3-5 = 0 无解，那么/=/一4(3。-5)0,解得 20),那么 408=()A. 1, 2B. 1, 2, 3 C. 2, 3 D. 0, 1, 2, 3)解析：由题意，集合A=xZ| = 1, 0, 1, 2, 3,又由5=加0,根据集合交集的概念及运算，可得AC5 =1, 2, 3)
12、.答案：B2 .集合4=&11 I x26x+8W0,那么A的真子集个数是()A. 5B. 6 C. 7 D. 8解析：因为 A= xN I x26x+8W。= xN|2Wx4 =2, 3, 4,所以A的真子集个数是231=7.答案：c3 .全集 U=R,集合 A=x|x2,那么 = ()A. (-2, 2)B. (8, -2)U(2, +8)C. -2, 2D. （-8, -2U2, +8）解析：由可得，集合A的补集必=-2, 2.答案：C4 .集合4=1, 2, 3, B=2, 4, 5,那么集合A U3中元素的个数为 答案：55 .易错题设集合xR, B=xlx5, xGR,假设痴,那么
13、。的取值范围为解析：由 |x得一141, 或.+1W5,a11, 或.+1W5,a121,.a- lxa-1,由 A星3 得彳 +1 5答案：2WqW4备考第2步突破核心考点，提升关键能力考点1集合的含义与表示自主演练1.设集合 A = 1, 2, 3, 3=4, 5, C=x+y|x0A,y3,那么 C 中元素的个数为（）1 . 3B. 4 C. 5 D. 6解析：集合 A=1, 2, 3, B=4, 5, C=x+yxA, yB,所以 C=5, 6, 7, 8.即C中元素的个数为4.答案：B2 .（2021 .山东泰安模拟）m R,假设卜,1 =a2, a+b, 0,那么层021+2021
14、 为（）A. 1B. 0 C. -1 D. 1h解析：由得qWO,那么一 =0,所以/? = 0,于是=1,即4=1或=1.根据集合中元素的互异性可知a=应舍去，因此a= - l9故a2021+/?2021 = - 1 .答案：C3 .假设集合人二住金国分23x+2=0中只有一个元素，那么a等于（）A. | B. | C. 0 D. 0 或1解析：假设集合A中只有一个元素，那么方程Qf3x+2=0只有一个实根或有两个相等实 根.2当Q = 0时，,符合题意；9当qWO时，由/ = ( 一3y一8。=0,得Q=g.、9所以4的值为0或石.o答案：D4.易错题集合A=m+2, 2m2+m,假设3金
15、4那么2的值为.、3解析：由题意得加+2=3或2/n2+m=3,那么m= 1或m= t .当m= 1时，m+2 = 3 乙31且2扇+加=3,根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m=一5时，根+2=5 ,而2疗3+根=3,故 m=2 .3答案:一思维升华含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.l考点2集合间的基本关系典例弓I领【例1】集合尸=加3 , Q=x I -2x2,贝U()A. PQB. QUPC. PAQ=PD. PUQ=Q(2)集合 4=九斤一3x+2 = 0, xER, B=xOx59 %eN,那么满足条件的集合C的个数为()A. 1B. 2 C.
16、 3 D. 4(3)集合 A=x|2Wx5, B=x|m+lx2m-l,假设 3UA,那么实数机的取值 范围为.解析：(1)因为尸=x|x3,Q= x I 2x2,所以 QCP, PCQ=Q, PUQ=P.(2)因为 A=1, 2, B=1, 2, 3, 4,那么集合 C 可以为1, 2, 1, 2,3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4),共 4 个.(3)因为8CA,所以假设3=0,那么2加-1加+1,此时长22m- 1 2加+ 1,假设B”,那么 m+ 1 2 2,解得24nW3.2m 1 W5.由可得，符合题意的实数机的取值范围为机W3.答案：(1)B (2)D (3)(8, 3
17、对点练1.（2022.河南开封模拟）设a, Z?eR, A= h a , b -b,假设AC9那么 i=（）A. -1B. -2 C. 2 D. 0a= - 1, q= - 1, 解析：由ACB知A = 3,即得-b=l,b=-l9b=Q.答案：D2.设M为非空的数集，M1, 2, 3,且M中至少含有一个奇数元素，那么这样的集 合”共有（）A. 6个B. 5个 C. 4个 D. 3个解析：由题意知，M=1, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3,共 6 个. 答案：A3.假设集合A=1, 2, B=4?+a+1=0, xeR,且5UA,那么实数2的取值范围 为.解析：假设8
18、=0,那么/ = /?4V0, 解得一2V2V2,符合题意； 假设1丛 那么12+m+1=0,解得机=-2,此时3=1,符合题意； 假设 2Gs 那么 22+2/+1=0,2,共，不合题意.解得2=5 ,此时B=综上所述，实数机的取值范围为-2, 2）.答案： 2, 2）考点3一集合的基本运算多维讲练集合的运算是高考重点，多与函数、不等式相结合，考查集合的交、并、补运算，或考 查由集合的运算求参数（范围）.题型多为选择题，难度较小.角度1集合的运算【例2一题多法（2020全国卷I ）集合人=小2 3x40, 5=-4, 1, 3, 5）,那么 AA8=（）A. -4, 1A. -4, 1B.
19、1, 5 C. 3, 5 D. 1, 3设全集U=R, A=x|4-x20, 8=x|xW 1,那么如图阴影局部表示的集合为(A. (-1, 2B. -1, 2C. -2, -1)D. (8, -1解析：(1)法一 由 x23x40,得一1%4,即集合 A= x lx0,所以一464故排除人；又 123Xl40,所以 1&A, 那么1(AG3),故排除C;又323*340,所以5e4, 54(AnB),排除C.应选D.(2)易知阴影局部为集合AA (您)=(一1, 2,应选A.答案：(1)D (2)A思维升华集合运算的两种常用方法(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运
20、算，也可借助Venn 图运算.(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解.对于端点处的取舍，可以单独检验.对点练1.N是R的子集，且MCN,贝iJ(rN)CM=()A. MB. NC. 0D. R解：根据条件，用Venn图表示M, N, R如下：由图看出，()门”=。应选C.答案：C2. (2021 全国高考乙卷)集合 S=s|s=2+1, Z , T=4+1, Z, 那么 snr=( )A. 0B. SC. TD. Z解析：任取PT,那么1=4+1 =2X(2)+1,其中Z,所以，段S,故TCS,因此， SHT=T.答案：c角度2利用集合的运算求参数【例3一题多法(2020全国卷I )设集
21、合4=4?一4忘0,3=321+4。,且403 = x2W1,那么=()A. -4B. -2C. 2D. 4(2)设集合 A = 0, -4, B= x|+2(+ l)x+2-1 =0, xR.假设 AU8=A,那么实数 Q的取值范围是.解析：(1)法一 易知 A=x| 2WxW2, B=yx 九W,因为 ACB=x| , 所以一今=1,解得q=-2.应选B.法二 由题意得 A=x| - 2WxW2.假设 =4,那么 3=x|xW2,又 A= x| 2W%W2, 所以AA8=x| 2Wx2,不满足题意，排除A;假设=-2,那么3=无以1,又A=x| 2x2,所以 AA3=x| 2xWl,满足题
22、意；假设。=2,那么 3=x|x一l,又 A=x| 2x2,所以 AGB=x| 2xW l,不满足题意，才非除 C;假设 =4,那么 3=Mx0, 一2 (6/+1) =4,解得 q=i；21=0,当 8W0且时，8=0或 3=-4,并且 /=4(+1)24(/1) = 0,解得=一1,此时B=0满足题意；当 5=。时，/=4(+1)24(/-1)0,解得a.综上所述，所求实数。的取值范围是(-8, -1U1.答案：(1)B (2)(8, -1U1思维升华(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；(2)假设集合能一一列举，那么一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关
23、系，再列方程(组) 求解.对点练3.集合 A=x|2x4, 3=xqxWq+3,假设 AG8=A,那么。的 取值范围是()A. (-2, +8)B. (-8, -1C. 1, +8)D. (2,+8)解：由 403=4知/1 = 3,一。2,故解得+324,答案：c4.假设集合 A = x|x23 2a, 8=川(尢-a+l)(x)20, AUB=R,那么实数的取值 范围为(),(41A. 2, +)B. (-8,-C. I，+8)D. (8, 24解析：3=或 x一 1,由 AU3=R 得 32q一1,解得 ,应选 C.答案：C考点4集合的新定义问题典例引领【例4】M, N是任意两个非空集合
24、，定义集合一N=x|xM，xN，那么 (MUTV) _=()A. NA. NB. N-MC. M-ND. MCN解析：由题意(MUN) M= xxMUN,mAf = x|xN, xM =N-M.答案：B(2)设全集U=1, 2, 3, 4, 5, 6,且。的子集可表示由0, 1组成的6位字符串，如： 2, 4)表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字 符串010100,并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A, B,我们定义集合 运算 A B xxA 且依5 , A*8 = (A8) U(BA).假设 A 2, 3, 4, 5 , B 3, 5,
25、 6,那么表示的6位字符串是()A. 101010B. 011001C. 010101D. 000111解析：由题意可得假设 A=2, 3, 4, 5 , B=3, 5, 6,那么 A*8=2, 4, 6,所 以此集合的第2个字符为1,第4个字符为1,第6个字符为1,其余字符均为0,即A*3 表示的6位字符串是010101.答案：C思维升华(1)常见的命题形式有新概念、新法那么、新运算等；(2)运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关 键.对点练设A, 3是非空集合，定义AB=xxA)B且依AP3.集合A = x|0%2, B=yy0,那么 A=.解析：由A=
26、x|0x2, B=yy0,又由新定义A8=U 3且依A n 3,结合数轴得A=0U2, +8).答案：0U2, +8)备考第3步拓展创新应用，培优学科素养利用Venn图解决集合中的实际应用题集合是数学中一个非常重要的概念，是研究群体及群体中元素的，在日常生活中我们会 遇到许多群体性的实际问题，常从集合的角度利用Venn图解决.【典例】某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项 的最多人数为x,最少人数为y,那么xy=（）A. 22B. 21D. 19D. 19如图，设集合A, 8分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U, AHB 就是两者都爱好的，要使AG
27、3中人数最多，那么x=22,要使A AB中人数最少，那么 AUB=U,即 22+27y=46, y=3, ：.x-y=22-3=9.应选 D.答案：D对点练1.高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，那么这两种活动都没参加的有 人.解析：因为7人参加了数学建模且两种活动都参加了的有3人，故只参加了数学建模的 人数为7 3=4（人）.又9人参加了计算机编程，故只参加了计算机编程的人数为9-3 = 6（人）.故参加了这两种活动的人数有4+3 + 6=13（人）.故两种活动都没参加的有15 13 = 2（人）.答案：22.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古 典小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，那么该校阅读过西游记的 学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）B. 0. 6D. 0. 8解析:C. 0.A. 0. 5根据题意阅读过红楼梦西游记的人数用Venn图表示如图，所以该校阅读过西