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1、（1）向量共线的充要条件）向量共线的充要条件:ab 与 共线 0, bRba（2）向量垂直的充要条件：）向量垂直的充要条件：0, 00bababa（3）两向量相等充要条件：）两向量相等充要条件：, baba且方向相同。11221221( ,)(,)/0ax y bx ya bx yx y，11221 212( ,)(,)0ax y bx yabx xy y，11221212( ,)( ,),ax y bx yabxx yy，（4）两个非零向量夹角公式：）两个非零向量夹角公式：cos)1800(00baba2200BACByAxd 例例1.点到直线距离公式的推导。点到直线距离公式的推导。 已知点
2、已知点P坐标坐标( x0 ,y0 )，直线，直线l的方程的方程 Ax+By+C=0，P到直线到直线l的距离是的距离是d，则，则),(), 0(01BAnlBCPlB 的法向量的法向量直线直线取取上任取一点，不妨上任取一点，不妨时，在直线时，在直线证明：当证明：当,1dnPPlP方方向向上上射射影影长长在在向向量量距距离离等等于于向向量量的的到到则则),0,0(1BCyxPP 22),()0,0(1BABABCyxnnPPd 2200BACByAx （略略）时时，可可直直接接由由图图形形证证得得当当0 B例例2.2.椭圆椭圆 的焦点为的焦点为 ，点，点P P为为其上的动点，当其上的动点，当 为钝
3、角时，求点为钝角时，求点P P横坐标横坐标的取值范围。的取值范围。142y92x 12,FF2PF1F0520202121 yxPFPFPFF为为钝钝角角1420y920 xP 在椭圆上则在椭圆上则又点又点5530 x553 解解得得：)0y,0 x5(2PF),0y,0 x5(1PF)0y,0 x(P)0 ,5(2F),0 ,5(1F 则则，设设解：解：例例3.已知已知:过点过点C(0,-1)的直线的直线L与抛物线与抛物线y= 交于交于A、B两点，点两点，点D(0,1)，若，若ADB为钝角为钝角求直线求直线L的斜率取值范围。的斜率取值范围。241xCDABoxy解：设解：设A(x1,y1),
4、B(x2,y2),)1,(11 yxDA又又)1,(22 yxDB因为因为ADB为钝角所以为钝角所以0 DBDA即即x1x2+(y1-1)(y2-1)0)和直线和直线l:x=-1,B是直线是直线l上的动点，上的动点，BOA的角的角平分线交平分线交AB于点于点C,求点求点C的轨迹方程。的轨迹方程。XYAOCB-1L解：设解：设B(-1,t),C(x,y)则则0 xa,由由cos =cosOCOA,OCOB,得得)1(02)(22 xytyx由由A、C、B三点共线知三点共线知 ACCB),(yaxAC 又又),1(ytxCB (x-a)(t-y) - (-1-x)y=0整理得：整理得：)2(1yx
5、aat 将（将（2）代入（）代入（1）得：）得：0)(2)1)(22 xaxyyayxXYAOCB-1L当当y0时，得：时，得：(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0当当y=0时，时，t=0,C点坐标为（点坐标为（0，0）也满足以上方程。）也满足以上方程。故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0(0 x0)=2px(p0)的焦点为的焦点为F F， 经过点经过点F F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A、B B两点，点两点，点C C在抛物在抛物 线的准线上，且线的准线上，且BCxBCx轴。轴。 证明证明: :直线直线ACAC经过原点经过原点O O2y证明：证明： ，设，设A A（ ），），B B（ ）则）则C C（ ），（02pF1y,p221y2y,p222y2y2p，即即 亦即亦即 )2y,p222y2p()1y,p221y2p （ 2y1y)2p(p221y2y1y)p222y2p(p221y2pOAOC又又 （ ），）， = =（ ）1y,p221y2y,2p OCOA 故故A A、O O、C C三点共线，即直线三点共线，即直线ACAC经过原点经过原点O O。 因因A A、B B、F F三点共线，则有三点共线，则有 （ ） BFAF RyxAFBCo