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1、自主招生辅导讲义二排列组合专题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，假设必需相邻且在的右边，那么不同的排法有 A、60种 B、48种 C、36种 D、24种2.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位与两端.例2.七人并排站成一行，假设甲乙两个必需不相邻，那么不同的排法种数是 A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种，集合，且，假设，那么满意条件的集合有多少个？3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必需保持确定的依次，可
2、用缩小倍数的方法.例4.1A,B,C,D,E五人并排站成一排，假设必需站在的右边可以不相邻那么不同的排法有 A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 2由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A、210种 B、300种 C、464种 D、600种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此接着下去，依次即可完成.例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不一样的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序支配
3、问题逐分法:有序支配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例6.1有甲乙丙三项任务，甲需2人担当，乙丙各需一人担当，从10人中选出4人担当这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 212名同学分别到三个不同的路口进展流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的支配方案有 A、种 B、种 C、种 D、种6.全员支配问题分组法:例7.14名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，那么不同的保送方案有多少种？25本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名
4、额支配问题隔板法:例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同支配方案？例9.公路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满意条件的关灯方案有多少种？8.限制条件的支配问题分类法:例10. 现支配甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与上海世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参与.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，那么不同支配方案的种数是 A 152 B. 126 C. 90 D. 549.多元问题分类法：元素多，取出的状况也多种，可按
5、结果要求分成不相容的几类状况分别计数再相加。例11 1从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法不计依次共有多少种？2从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其与能被4整除的取法不计依次有多少种？例12. 电子表10点20分08秒时，显示的数字是10:20:08，那么，从8点到10点内，电子表6个数码均不一样的状况有多少种10.穿插问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式例13.从6名运发动中选出4人参与4100米接力赛，假设甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元
6、素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例14.现1名老师与4名获奖同学排成一排照相纪念，假设老师不站两端那么有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例15.16个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种28个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？13.“至少“至多问题用间接解除法或分类法:例16.从4台甲型与5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型与乙 型电视机各一台，那么不同的取法共有
7、 A、140种 B、80种 C、70种 D、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再支配到确定的位置上，可用先取后排法.例17.1四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？29名乒乓球运发动，其中男5名，女4名，如今要从中选4人进展混合双打训练，有多少种不同的选法？15.几何问题:例18.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有 A、70种 B、64种 C、58种 D、52种2四面体的顶点与各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A、150种 B、147种 C、144种 D、141种3记正方体的各条棱的中点构成的集合为
8、M，那么过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？4正方体8个顶点可连成多少对异面直线？16.圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，依次例如按顺时钟不同的排法才算不同的排列，而依次一样即旋转一下就可以重合的排法认为是一样的，它与一般排列的区分在于只计依次而无首位、末位之分，以下个一般排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为一样，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.例19.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为探讨对象，元素不受位置的约束，可逐一支配元素的位置
9、，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例20.把6名实习生支配到7个车间实习共有多少种不同方法？19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例21. 某电脑用户方案运用不超过500元的资金购置单价分别60元、70元的单片软件与盒装磁盘，依据须要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，那么不同的选购方法有 A5种 B6种 C7种 D8种例22从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其与大于100，这样的取法共有多少种？20.困难的排列组合问题也可用分解与合成法:例23.130030能被多少个不同偶数整除？2设是由的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的依次数。如在排列中，
10、5的依次数为1，3的依次数为0. 那么在由这八个数字构成的全排列中，同时满意8的依次数为2、7的依次数为3、5的依次数为3的不同排列的种数为多少？21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中浸透的一种重要的解题方法，它可以将困难的问题转化为简洁问题处理.例24.1圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？2某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示公路，从A到B的最短 途径有多少种？22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题贺卡问题，信封问题记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般状况给出了一个递推公式：用A、B、C表示写着n位友人名字的信封，a、b、c表示n份相应的写好的信
11、纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类： 1b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。 2b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把除a之外的n1个信纸b、c装入除B以外的n1个信封A、C，明显这时装错的方法有f(n-1)种。总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D的n2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此得到一个递推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分别带入n=2、3、4等可推得结果。也可用迭代法推导出一般
12、公式： 例25.设有编号为1，2，3，4，5的五个球与编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码一样，问有多少种不同的方法？例26、5位同学原来坐成一排，现让他们重新坐，那么至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多少？23.多人传球问题：构造递推关系例27、个人传球，第一次由开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿球者再传给其他任何一个人，如此接着，那么第次球仍回到的手中的传球方法种数是多少？24.上台阶问题：例28、10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。1他6步就可上完台阶的方法数是多少？2他上完台阶的
13、方法总数是多少？25.方程的正整数解的个数问题：隔板法，的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例30. 将20个完全一样的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中。1假设要求每个盒子至少放一个球，那么一共有多少种放法？2假设每个盒子可放随意个球，那么一共有多少种放法？3假设要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，那么一共有多少种放法？26.配对配凑问题：例31. 5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？例32. 50名选手参与乒乓球淘汰赛竞赛,须要打多少场才能产生冠军 淘汰赛竞赛规那么是:要淘汰1名选手必需进展1场竞赛;反之,每进展1场竞赛那么淘汰1名选手。例
14、33. 有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通。现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，那么有多少种不同的选派方式？27.染色问题：例34. 把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有一样的颜色,问共有多少种染色法 123456例35.在如下图的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？例36. 某城市在中心广场建立一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，那么不同的栽种方
15、法有多少种？ 变式：假设要栽种5种颜色的花？排列组合问题经典题型答案1.解析：把视为一人，且固定在的右边，那么此题相当于4人的全排列，种，答案：.2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3. 易知互不相等且不相邻，那么有。4.解析：1在的右边与在的左边排法数一样，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.2按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种状况，分别有个，个，合并总计300个,选种5.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种
16、填法，共有331=9种填法，选.6.解析：1先从10人中选出2人担当甲项任务，再从剩下的8人中选1人担当乙项任务，第三步从另外的7人中选1人担当丙项任务，不同的选法共有种，选.2答案：.7.12，答案：.8.解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个一样的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种支配方案，故共有不同的支配方案为种.9.解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满意条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，假设能转化为熟识的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问
17、题简洁解决.10.11.解析：1解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.2解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.12.
18、 解：108：a b ：c d ,其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,9.209：a b ：c d ,其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,8.先填a、c，再填b、d，共13.解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，依据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.14.解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.15.解析：1前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.2解析：看成一排，某2个元素在前半段四
19、个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.16.解析1：逆向思索，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型与乙 型电视机各一台可分两种状况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.17.解析：1先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.2先取男女运发动各2名，有种，这四名运发动混与双打练习有中排法，故共有种.18.解析：1正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个外表与6个对角面
20、的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.2解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种状况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的状况为，四个面共有种.356个。一个面内取GH两点，另一个点取F时，即8个角；一个面内取GH两点，另一个点取K时，24个；一个面内取HI两点，那另一个点只能取A或C，24个4因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有358=174对.19.解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左
21、边与右边，有2种方式，故不同的支配方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.20.解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生支配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生支配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.21. 解析：C。设购置软件片、磁盘盒，那么，所以；，；。故共7种。22. 解析：(包括两个数不同与一样的情形！)23.解析：1先把30030分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取假设干个组成成积，全部的偶因数为个或.2分析知7必排在8之后，5必排在7之
22、后. 且8的前面只有2个数，8、7之间只有一个小于7的数，6或在7之前，或在7、5之间，或在5之后。第一种状况：6在7之前，形如：#8#7#5# ，；第2种状况： 6在7、5之间 ，形如：#8#765# ，；第3种状况：6在5之后，形如：#8#75# ，所以共144种。24.解析：1因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，明显有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.2解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路途必需走7小段，其中：向东4段，向北
23、3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定途径，因此不同走法有种.25.解析：从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，假设剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.26.解：错排问题，分类解决：27. 解析：设第次球仍回到的手中的传球方法种数是，那么，且，所以。28. 解析：1设跨1级、2级、3级的步数分别为，那么，解得，故方法数为2设上完n级台阶的方法数
24、为，那么，且，29解析：；30解析：1；2；3先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0,1,2,3,4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，那么31. 解析：32. 解析：49.33. 解析：34. 解析：前9个扇形依次染色并不难,但第10个扇形既与第九个相邻也与第1个相邻,这两个扇形颜色可能一样也可能不一样,所以干脆用记数原理有困难,但建立递推关系并不难设将圆分成n个不相等的扇形时,满意题设的染法有种依次记n个扇形为s,s.明显a1=3.当n=2时，先对s1染色，有3种方法；s1染色后再对s2染色，有2种方法，故a2=6.当n3时，我们依次对s,s2,s染色对s1染色，
25、有3种方法，对s1染色后再对s2染色有2种方法，同样的对s3,s4,sn分别有2种方法，由乘法原理共有32 n-1种染色方法但这样做sn与s1有可能同色即在32 n-1种染色方法中包含了sn与s1同色的染色方法对于sn与s1同色的情形，拆去sn与s1的边界使sn与s1合并，便得到将圆分为n-1个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的状况有an-1种 故an=32 n-1-an-1 (n3)所以，n3时，a10=210+2=102635.解：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：第一类可按一下步骤进展：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法。第5步：用不同的两色涂剩下的两格，有2种方法；所以有3*2*1*2*224种第二类可按一下步骤进展：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格一样的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法。第5步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种方法；所以有3*2*1*1*16种所以，共有24+630种涂法。36.解析:留意4种颜色的花都有种上。变式：第 16 页