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1、 二项式定理【学习目标】1理解并驾驭二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法 2会用二项式定理解决与二项绽开式有关的简洁问题【要点梳理】要点一：二项式定理一般地,对于随意正整数,都有：这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项绽开式。式中的做二项绽开式的通项，用Tr+1表示，即通项为绽开式的第r+1项：，其中的系数r=0，1，2，n叫做二项式系数，2二项式(a+b)n的绽开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n字母a降幂排列，次数由n到0；
2、字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数与均为n；3.两个常用的二项绽开式：要点二, 二项绽开式的通项公式二项绽开式的通项：公式特点：它表示二项绽开式的第r+1项，该项的二项式系数是；字母b的次数与组合数的上标一样；a与b的次数之与为n。 要点诠释： 1二项式(a+b)n的二项绽开式的第r+1项与(b+a)n的二项绽开式的第r+1项是有区分的，应用二项式定理时，其中的a与b是不能随意交换位置的 2通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(ab)n的二项绽开式的通项是只需把b看成b代入二项式定理。要点三：二项式系数及其性质与二项绽开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所
3、著的详解九章算法如下表，可直观地看出二项式系数。绽开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,时,如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的与。用组合的思想方法理解(a+b)n的绽开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n绽开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，那么这种取法种数为，即为的系数 2.的绽开式中各项的二项式系数, , 具有如下性质：对称性：
4、二项绽开式中，与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等，即；增减性与最大值：二项式系数在前半局部慢慢增大，在后半局部慢慢减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项绽开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项绽开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.各二项式系数之与为，即；二项绽开式中各奇数项的二项式系数之与等于各偶数项的二项式系数之与，即。要点诠释：二项式系数与绽开式的系数的区分二项绽开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，绽开式的系数是单项式的系数，二者不愿定相等。如(ab)n的二项绽开式的通项是，在这里对应项的二项式系数都是，但项的系数是，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的
5、概念3.绽开式中的系数求法的整数且如：绽开式中含的系数为要点诠释：三项或三项以上的绽开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。要点四：二项式定理的应用1.求绽开式中的指定的项或特定项或其系数.2.利用赋值法进展求有关系数与。二项式定理表示一个恒等式，对于随意的a，b，该等式都成立。利用赋值法即通过对a, b取不同的特殊值可解决与二项式系数有关的问题，留意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要防止漏项等状况。设(1) 令x=0，那么(2)令x=1，那么(3)令x=1，那么(4)(5)3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：能被64整除4.
6、证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项绽开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再依据不等式的传递性进展证明。；如：求证：5.进展近似计算：求数的次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。当充分小时，我们常用以下公式估计近似值：如：求的近似值，使结果精确到0.01；【典型例题】类型一, 求二项绽开式的特定项或特定项的系数例1. 求的二项式的绽开式 【思路点拨】 依据二项式的绽开式或按通项依次写出每一项，但要留意符号【解析】 1解法一：解法二：【总结升华】 记准, 记熟二项式(a
7、+b)n的绽开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较困难的二项式，有时先化简再绽开会更简捷举一反三：【变式】求的二项式的绽开式【答案】先将原式化简。再绽开例2试求：1(x3)5的绽开式中x5的系数；2(2x2)6的绽开式中的常数项；【思路点拨】先依据条件求出二项式的指数n，然后再求绽开式中含x的项因为题中条件与求解局部都涉及指定项问题，应选用通项公式【解析】1Tr1依题意155r5，解得r2故(2)240为所求x5的系数2Tr1(2x2)6-r(1)r26-r依题意123r0，解得r4故2260为所求的常数项【总结升华】1.利用通项公式求给定项时防止出错的关键是弄清共有多少项,所求的
8、是第几项,相应的是多少；2. 留意系数与二项式系数的区分；3. 在求解过程中要留意幂的运算公式的精确应用。举一反三：【变式1】求的绽开式中的二项式系数及的系数.【答案】，；通项，故绽开式中的二项式系数为，的系数为.【变式2】求的绽开式中的第4项.【答案】；【变式3】1求的绽开式常数项； 2求的绽开式的中间两项【答案】，1当时绽开式是常数项，即常数项为；2的绽开式共项，它的中间两项分别是第项, 第项，例3 求二项式的绽开式中的有理项 【思路点拨】 绽开式中第r+1项为，绽开式中的有理项，就是通项中x的指数为正整数的项【解析】 设二项式的通项为，令，即r=0，2，4，6，8时，。 二项式的绽开式中
9、的常数项是第9项：；有理项是第1项：x20，第3项：，第5项：，第7项：，第9项：【总结升华】 求有理项是对x的指数是整数状况的探讨，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求举一反三：【变式】假如在 的绽开式中，前三项的系数成等差数列，求绽开式中的有理项。【答案】1绽开式中前三项的系数分别为1， ， 由题意得：2=1+得=8。设第r+1项为有理项，那么r是4的倍数，所以r=0，4，8。有理项为。类型二, 二项式之积及三项式绽开问题例4求的绽开式中的系数.【思路点拨】 将变形为，要使两个因式的乘积中出现，依据式子的构造可以分类探讨：当前一个因式为1时，后面的应当为；当前一个因式为时，后面的应当为；当
10、前一个因式为时，后面的应当为；也可以利用通项公式化简解答。【解析】解法一：的通项公式，分三类探讨：1当前一个因式为1时，后面的应当为，即；2当前一个因式为时，后面的应当为，即；3当前一个因式为时，后面的应当为，即；故绽开式中的系数为。解法二：的通项公式，的通项公式,，令,那么或或，从而的系数为。举一反三：【变式1】求的绽开式中的系数.【答案】；的通项公式，分二类探讨：1当前一个因式为1时，后面的应当为，即；2当前一个因式为时，后面的应当为，即；故绽开式中的系数为。【变式2】在(1x)5(1-x)4的绽开式中，x3的系数为_【答案】 (1x)5(1-x)4(1x)(1-x2)4，其中(1-x2)
11、4绽开的通项为(-x2)r，故绽开式中x3的系数为-4例5. 求(1+x+x2)8绽开式中x5的系数【思路点拨】要把上式绽开，必需先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理绽开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理绽开【解析】 解法一：(1+x+x2)8=1+(x+x2)8，所以，那么x5的系数由(x+x2)r来确定，令r+k=5，解得或或。含x5的系数为。解法二：那么绽开式中含x5的系数为。 解法三：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2)共8个，这8个因式中乘积绽开式中形成x5的来源有三： 1有2个括号各出1
12、个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有种； 2有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有种；3没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有种所以x5的系数是【总结升华】 高考题中，常出现三项式绽开或两个二项式乘积的绽开问题，所用解法一般为二项式定理绽开，或将三项式转化为二项式举一反三：【变式1】的绽开式中的常数项.【答案】 = 所求绽开式中的常数项是-20【变式2】在(1+x+px2)10的绽开式中，试求使x4的系数为最小值时p的值【答案】由通项，又(1+px)r的通项为。而m+r=4，且0mr10。，或，或。x4的系数为仅当p=4时，x4的系数为最
13、小。类型三：有关二项式系数的性质及计算的问题例6. 1求(1+2x)7绽开式中系数最大的项；2求(12x)7绽开式中系数最大的项。【思路点拨】 利用绽开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。【解析】 1设第r+1项系数最大，那么有即，解得，即，r=5。系数最大的项为。2绽开式共有8项，系数最大的项必为正项，即在第一, 三, 五, 七这四项中取得。又因(12x)7括号内的两项中后项系数确定值大于前项系数确定值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只须要比拟T5与T7两项系数大小即可，所以系数最大的项是第五项，。【总结升华】求绽开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组。举一反三：【变式】设绽开
14、式的第10项系数最大，求n. 【答案】绽开式的通项为第10项系数最大，又n=13或n=14【变式2】 的绽开式中第五, 六, 七项的二项式系数成等差数列，求绽开式中二项式系数最大的项。【答案】 因为，所以。即n221n+98=0，解得n=14或7。当n=14时，第8项的二项式系数最大，。当n=7时，第4项与第5项的二项式系数最大，类型四, 利用赋值法进展求有关系数与。例7. (12x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求：1a1+a2+a7；2a1+a3+a5+a7；3a0+a2+a4+a6；4|a0|+|a1|+|a2|+|a7|。【思路点拨】求绽开式的各项系数之与常用赋值法【解析】 令
15、x=1，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 ，令x=1，那么a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37 ，1因为a0=或令x=9，得a0=1，所以a1+a2+a3+a7=2。2由2得。3由+2得。4方法一：因为(12x)7绽开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a0|+|a1|+|a2|+|a7|，即(1+2x)7绽开式中各项的系数与，所以|a0|+|a1|+|a7|=37=2187。【总结升华】 求绽
16、开式的各项系数之与常用赋值法。“赋值法是解决二项式系数常用的方法，依据题目要求，灵敏赋给字母不同的值。一般地，要使绽开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得全部项系数之与，令x=1可得偶次项系数之与与奇次数系数之与的差，而当二项绽开式中含负值时，令x=1那么可得各项系数确定值之与。举一反三：【变式1】，求：1； 2； 3.【答案】1当时，绽开式右边为当时，2令， 令， 得：， .3由绽开式知：均为负，均为正，由2中+ 得：，举一反三：【变式1】求值：.【答案】【变式2】设，当时，求的值【答案】令得：类型四, 二项式定理的综合运用例8.求证：能被64整除.【思路点拨】可将化
17、成再进展绽开,化简即可证得.【解析】故能被64整除。【总结升华】利用二项式定理进展证明,须要多项式绽开后的各项尽量多的含有的式子.举一反三：【变式1】求证能被10整除【答案】故能被10整除。例9：当且1，求证【解析】 从而【总结升华】 用二项式定理证明不等式时，依据n的最小值，确定绽开的最少项，然后分析具体状况确定其中有多少项即可举一反三：【变式】求证：，其中，。【答案】例10. 求的近似值，使误差小于0001【思路点拨】因为，所以可以用二项式定理来计算【解析】，即第3项以后的项的确定值都小于，从第3项起，以后的项可以忽视不计，即【总结升华】由知，当x的确定值与1相比很小且n足够大时，等项的确定值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽视不计因此可以运用近似计算公式在运用这个公式时，要留意按问题对精确度的要求，来确定对绽开式中各项的取舍举一反三：【变式】5精确到的近似值是 【答案】5=(1-0.009)5=第 12 页