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1、解三角形的必备学问与典型例题一, 学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。1三边之间的关系：a2b2c2。勾股定理2锐角之间的关系：AB90；3边角之间的关系：锐角三角函数定义：sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A, B, C为其内角，a, b, c分别表示A, B, C的对边。1三角形内角与：ABC。2正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等R为外接圆半径3余弦定理：三角形任何一边的平方等于另两边平方的与减去其与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA； b2c2a22ca
2、cosB； c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式：1ahabhbchcha, hb, hc分别表示a, b, c上的高；2absinCbcsinAacsinB=2R2sinAsinBsinC 4解三角形：由三角形的六个元素即三条边与三个内角中的三个元素其中至少有一个是边求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高, 中线, 角平分线以及内切圆半径, 外接圆半径, 面积等等主要类型：1两类正弦定理解三角形的问题：第1, 两角与随意一边，求其他的两边及一角. 第2, 两角与其中一边的对角，求其他边角.2两类余弦定理解三角形的问题：第1, 三边求三角.第2,
3、 两边与他们的夹角，求第三边与其他两角. 5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式与上述变换方法外，还要留意三角形自身的特点。1角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。2判定三角形形态时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 6求解三角形应用题的一般步骤：1分析：分析题意，弄清与所求；2建模：将实际问题转化为数学问题，写出与所求，并画出示意图；3求解：正确运用正, 余弦定理求解；4检验：检验上述所求是否符合实际意义。二, 典例解析题型1：正, 余弦定理例11在中，cm，解三
4、角形； 2在中，cm，cm，解三角形角度精确到，边长精确到1cm。解：1依据三角形内角与定理，依据正弦定理， ；依据正弦定理，2依据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时，点评：应用正弦定理时1应留意两边与其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；2对于解三角形中的困难运算可运用计算器题型2：三角形面积例2在中，求的值与的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又, 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 +得。 得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考察三角恒等变形, 三角形面积公式等根本学问，着重数学考察运算实力，是一道三角的根底试题。两种解法比拟起来，你认为哪一种解法比拟简洁呢？题型3
5、：三角形中的三角恒等变换问题例3在ABC中，a, b, c分别是A, B, C的对边长，a, b, c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a, b, c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a, b, c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=
6、b2sinB。=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4：正, 余弦定理推断三角形形态例4在ABC中，假设2cosBsinAsinC，那么ABC的形态肯定是 答案：C解析：2sinAcosBsinC =sinAB=sinAcosB+cosAsinBsinAB0，AB另解：角化边点评：此题考察了三角形的根本性质，要求通过视察, 分析, 推断明确解题思路与变形方向，通畅解题途径题型5：三角形中求值问题例5的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos
7、=cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型6：正余弦定理的实际应用例62021辽宁卷文，理如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点与D点的仰角分别为，于水面C处测得B点与D点的仰角均为，AC=0.1km。摸索究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离计算结果精确到0.01km，1.414，2.449 解:在ABC中，D
8、AC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，在ABC中，即AB=因此，BD= 故B，D的距离约为0.33km。 点评：解三角形等内容提到中学来学习，又近年加强数形结合思想的考察与对三角变换要求的降低，对三角的综合考察将向三角形中问题伸展，但也不行太难，只要驾驭根本学问, 概念，深刻理解其中根本的数量关系即可过关。三, 思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：1两角与一边如A, B, C，由A+B+C = 求C，由正弦定理求a, b；2两边与夹角如a, b, c，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先
9、求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；3两边与其中一边的对角如a, b, A，应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要留意解可能有多种状况；4三边a, b, c，应余弦定理求A, B，再由A+B+C = ，求角C。2三角学中的射影定理：在ABC 中，3两内角与其正弦值：在ABC 中，4解三角形问题可能出现一解, 两解或无解的状况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来扶植理解。四, 课后跟踪训练1.2021上海文数18.假设的三个内角满意，那么 A肯定是锐角三角形. B肯定是直角三角形.C肯定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可
10、能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角2.2021天津理数7在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，假设，那么A=( )A B C D【答案】A【解析】此题主要考察正弦定理与余弦定理的根本应用，属于中等题。由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【温馨提示】解三角形的根本思路是利用正弦, 余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3.2021湖北理数3.在中，a=15,b=10,A=60，那么=A B C D 【答案】D【解析】依据正弦定理可得解得，又因为，那么，故B为锐角，所以，故D正确.4.2021广东理数11.a,b,c分
11、别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，假设a=1,b=, A+C=2B,那么sinC= .解：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，那么，52021湖南卷文在锐角中，那么的值等于 ， 的取值范围为 . 解析 ： 设由正弦定理得由锐角得，又，故，6.2021全国卷理在中，内角A, B, C的对边长分别为, , ，且 求b 分析：:此题事实上比拟简洁,但考生反响不知从何入手.对条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对条件(2) 过多的关注两角与与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化与差,导致找不到突破口而失分.解法
12、：在中那么由正弦定理及余弦定理有:角化边 化简并整理得：.又由.解得. 7在ABC中，A, B, C成等差数列，求的值。解析：因为A, B, C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而60，故tan.由两角与的正切公式，得。所以点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用根本公式，将未知角变换为角求解，同时结合三角变换公式的逆用。8.2021四川卷文在中，为锐角，角所对的边分别为，且I求的值；II假设，求的值。 解I为锐角， II由I知， 由得，即又 9.2021陕西文数17本小题总分值12分在ABC中，B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解
13、在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=10.2021辽宁文数17本小题总分值12分在中，分别为内角的对边，且求的大小；假设，试推断的形态.解：由，依据正弦定理得即由余弦定理得故 由得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。11.2021辽宁理数17本小题总分值12分 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 求A的大小；求的最大值.解：由，依据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 6分由得：故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 第 9 页