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1、学问整理 第一单元、数及代数一、数的相识1、数的意义（1）自然数：0、1、2、3、4都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。（2）0：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。（3）负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。0既不是正数，也不是负数。（4）小数：分母是10、100、1000的十进分数可以写成小数。（5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。把单位“
2、1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特别的分数。二、数的联络1、整数及小数：整数和小数在计数方法上是一样的，都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的根本性质改写成小数。2、小数及分数：小数就是分母是10、100、1000的十进分数，小数是特别的分数。3、分数及百分数：百分数虽然在形式上及分数是类似的，但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个详细的数量。4、正数
3、及负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。0既不是正数，也不是负数。三、数位依次表1、数位、位数和计数单位：整数及小数都是根据十进制计数法写出的数，个、十、百以及非常之一、百分之一都是计数单位，各个计数单位所占的位置，叫做数位。一个自然数数位的个数,叫做位数；小数位数是以小数点右边的数位多少来定的2、多位数的读法、写法：多位数从个位起，每四位分为一级，可分为个级、万级、亿级。读数时，从最高位起，一级一级的读。读万级或亿级的数时要根据个级的读法来读，并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读，其他数位上不管连续有几个0，只读一个
4、0。写数时，先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0来占位。3、小数的读法、写法：读小数时，整数局部根据整数读法来读（整数局部是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数局部顺次读出每个数位上的数字。写小数时，整数局部根据整数写法来写（整数局部是0的写作“0”），小数点写在个位的右下面，小数局部顺次写出每个数位上的数字。六、数的大小比拟包括整数、小数、分数的大小比拟，也包括他们互相之间的大小比拟。七、数的性质1、整除（1）整除及除尽整除：整数a除以整数b(b0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。除
5、尽：数a除以数b(b0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.整除是除尽的一种特别状况,整除也可以说是除尽,但除尽不肯定是整除.（2）因数和倍数假如数a能被数b整除(b0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.因数：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.因数和倍数是互相依存的（3）能被2.3.5整除的数的特征能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:能被3整除的数的特征：个位上是0或5能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除能同时被2、5整除的数的特征：个位是0能同
6、时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.（4）偶数和奇数一个自然数,不是奇数就是偶数偶数：能被2整除的数。最小的偶数是0奇数：不能被2整除的数.最小的奇数是1.（5）质数和合数质数（素数）：只有1和它本身两个因数。最小的质数是2.合数：除了1和它本身还有别的因数。最小的合数是4.1：既不是质数也不是合数一个自然数根据因数的个数，可以分为1、质数和合数。（6）最大公约数和最小公倍数公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这
7、几个数的最小公倍数.互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.互质数的几种特别状况：两个数都是质数,这两个数肯定互质.相邻的两个数互质.1和任何数都互质.求最大公约数和最小公倍数假如较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的最小公倍数.假如两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积.一般状况：可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找，也可以利用短除法去找。2、小数的根本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。根据小数的根本性质，可以化简小数、根据须要把整数或小数改写成指定的几位小数。3、分数的根本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个一
8、样的数（0除外），分数的大小不变。根据分数的根本性质，可以化简分数和通分。二、数的运算一、整数、小数、分数四则运算的意义乘法的意义：一个数乘整数是求几个一样加数和的简便运算；一个数及小数相乘可以看成是求这个数的非常之几、百分之几是多少；一个数及分数相乘可以看成是求这个数的几分之几是多少。（重点讲解）从他们的意义中可以知道：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。可以运用运算间的这种关系进展验算。二、运算形式口算、笔算、估算、用计算器计算，同时进一步明确口算、笔算、估算的根本要求，这是计算实力的保底要求。第87页第1题明确了应当驾驭的口算：两位数加、减两位数（和不超过100）及相应的小数加、减法
9、；两位数乘、除以一位数（积不超过100）及相应的小数乘、除法；简洁的分数四则运算。第2题明确了应当驾驭的笔算：三位数的加、减法及相应的小数加减法；三位数乘、除以两位数及相应的小数乘除法；比拟简洁的分数四则计算。第3题是应能进展的估算：估计三位数加、减法的结果大约是几百（或比几百多一些，比几百少一些）；估计两位数乘两位数的积大约是几千（几千几百）。另外，假如三位数除以两位数的商是两位数，说出商是几十多。三、四则混合运算的依次同级运算：在一个只有加减或乘除的算式里，根据从左到右的依次进展计算。二级运算：在一个既有加减又有乘除的算式中，根据先乘除后加减的依次进展计算。在有括号的算式中，先算小括号里的
10、，再算中括号里的，最终算大括号里的。四、运算法则加减法的法则：计算整数加减法把一样数位对齐，计算小数加减法要把小数点对齐，计算分数加减法要先通分化成同分母分数，其本质都是要把一样计算单位的数相加减。乘除法的法则：小数乘除法通常转化成整数乘除法进展计算，然后考虑积或商的小数点定位；分数除法通常转化成分数乘法进展计算。五、运算定律和性质加法交换律： A+B=B+A加法结合律：（A+B)+C=A+(B+C)乘法交换律： AB=BA乘法结合律： ABC=A(BC)乘法安排律： (A+B)C=AC+BC减法性质： A-B-C=A-(B+C)除法性质： ABC=A(BC)AC-BC=(A-B)C(A+B)
11、C=AC+BC六、探究运算规律计算的过程，不仅仅是运用计算法则机械演算的过程，也是视察分析、不断探究和总结各种运算规律的过程。一般，探究运算规律分成这几个阶段：计算给定的题组或试算简洁的几道题视察算式和计算结果有何特点比拟找出不同算式的共同之处，形成规律的揣测自主举例进一步验证规律周密思索中确认规律。运算规律：积的变更规律：一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积等于原来的积乘几。商不变规律：被除数和除数同时乘或除以一样的数（0除外），商不变。（商不变规律及小数的根本性质、分数的根本性质的内在关系）三、式及方程一、用字母表示数1、 用字母表示数的意义用字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知量；不
12、仅可以表示特定的数，还可以表示肯定范围内变更着的数。含有字母的式子可以看作数量间的关系，也可以看做运算的结果。2、用字母表示数的规则数字及字母、字母及字母相乘时，乘号可以记作“ ”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。当1及任何字母相乘时，1省略不写。在一个问题中，不同的量用不同的字母来表示，而不能用同一个字母表示。用含有字母的式子表示问题的答案时，除法结果一般要写成分数形式；假如式子中有加、减、乘、除运算时，要先进展适当的运算，再用括号把含有字母的式子括起来，并在括号后面写上单位名称。详细问题中，字母表示的数总是有肯定范围的。3、用字母表示常见的数量关系如路程、速度和时间的关系（s、v、t）
13、和总价、单价和数量的关系（a、b、c）等4、 用字母表示运算定律和运算性质加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和安排律等5、 用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式。二、简易方程1、方程和等式等式：表示相等关系的式子叫做等式。方程：含有未知数的等式叫做方程。他们的关系如下：2、解方程。解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。解方程的根据：等式的性质。 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍旧是等式。 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍旧是等式。3、列方程法解决问题的一般步骤弄清题意，确定未知数并用x表示（也可以用其他字母表示）。找出题中的数量之间的相等关系。 列
14、方程，解方程。 检查或验算，写出答案。四、比及比例一、比及比例比比例意义两个数的比表示两个数相除。表示两个比相等的式子叫做比例。根本性质比的前项和后项同时乘或除以一样的数(0除外)，比值不变。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。二、比、分数及除法比前项：（比号）后项比值除法被除数（除号）除数商分数分子（分数线）分母分数值三、求比值和化简比一般方法结果求比值根据比值的意义，用比的前项除以后项。是一个数值，可以是整数，也可以是小数或分数。化简比根据比的根本性质，把比的前项和后项同时乘或同时除以一样的数(0除外)。是一个最简洁的整数比，即前项、后项是公因数只有1的两个数。四、正比例和反比例一样点
15、不同点特征关系式正比例关系两种相关联的量，一种量变更，另一种量也随着变更。两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）肯定。y/x=k(肯定)反比例关系两种量中相对应的两个数的积肯定。Xy=k（肯定）五、比例尺一幅图的比例尺是指图上间隔 及实际间隔 的比。即图上间隔 ：实际间隔 =比例尺比例尺的种类：数字比例尺和线段比例尺六、按比例安排把一个数量根据肯定的比来进展安排，这种安排的方法叫做按比例安排。方法：求出每一份表示多少，再根据安排的份数求出相应的结果。根据两个量之间的关系，求出每一个量的结果。（乘法或除法都可）第二单元、空间及图形一、图形的相识、测量（一）量的计量1、长度单位是用来测量物体
16、的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。2、长度单位：（10）1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=100厘米3、面积单位是用来测量物体的外表或平面图形的大小的。常用的面积单位有：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。4、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。5、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。6、面积单位：（100）1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米7、体积单位是用来测量物体所占
17、空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。8、体积单位：（1000） 1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1升=1000毫升9、常用的质量单位有：吨、千克、克。10、质量单位：1吨=1000千克1千克=1000克11、常用的时间单位有：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。12、时间单位：（60） 1世纪=100年1年=12个月1年=4个季度1个季度=3个月1个月=3旬大月=31天小月=30天平年二月=28天闰年二月=29天1天=24小时1小时=60分1分=60秒13、高级单位的名数改写成低级单位的名数应当乘以进率；低级单位的名数改写成高级单
18、位的名数应当除以进率。14、常用计量单位用字母表示：千米：km米：m分米：dm厘米：cm毫米：mm吨：t千克：kg克：g升：l毫升：ml（二）、平面图形【相识、周长、面积】1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一局部。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。2、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小及两边叉开的大小有关，及边的长短无关。角的大小的计量单位是（埃SPAN lang=EN-US3、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角
19、是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。5、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和随意三角形。7、三角形的内角和等于180度。8、在一个三角形中，随意两边之和大于第三边。9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。10、四边形是由四条边围成的图形。常见的特别四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。1
20、1、圆是一种曲线图形。圆上的随意一点到圆心的间隔 都相等，这个间隔 就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。12、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形可以完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。13、围成一个图形的全部边长的总和就是这个图形的周长。14、物体的外表或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。15、平面图形的面积计算公式推导：【1】平行四边形面积公式的推导过程？（1）把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。（2）长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。（3）因为：长方形面积=
21、长宽，所以：平行四边形面积=底高。即：S=ah。【2】三角形面积公式的推导过程？（1）用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（2）平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半（3）因为：平行四边形面积=底高，所以：三角形面积=底高2。即：S=ah2。【3】梯形面积公式的推导过程？（1）用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（2）平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。（3）因为：平行四边形面积=底高，所以：梯形面积=（上底下底）高2。即：S=（a+b）h2
22、。【4】画图说明圆面积公式的推导过程？（1）把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。（2）长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。（3）因为：长方形面积=长宽，所以：圆面积=rr=r2。即：S=r2。16、平面图形的周长和面积计算公式：长方形周长=（长+宽）2长方形面积=长宽正方形周长=边长4正方形面积=边长边长平行四边形面积=底高三角形面积=底高2梯形面积=（上底下底）高2C=dC=2rr=d2r=C2d=2rd=S=r2S=（）2S=（）217、常用数据：常用值常用平方数2=6.283=9.424=12.565=15.706=18.847=21.988=25.129=28
23、.2610=31.412=37.6815=47.116=50.2418=56.5220=62.825= 78.532=100.482.25=7.0656.25=19.625112=121122=144152=225252=625（三）、立体图形【相识外表积、体积】1、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特别的长方体。2、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、多数条高。3、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。4、外表积：立体图形全部面的面积的和，叫做这个立体图形的外表积。5、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能包容其它物体的体积叫做容器的容积。6、圆柱和圆锥
24、三种关系：（1）等底等高：体积13（2）等底等体积：高13（3）等高等体积：底面积137、等底等高的圆柱和圆锥：（1）圆锥体积是圆柱的1/3，（2）圆柱体积是圆锥的3倍，（3）圆锥体积比圆柱少2/3，（4）圆柱体积比圆锥多2倍。8、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。9、立体图形公式推导：【1】圆柱的侧面绽开后得到一个什么图形？这个图形的各局部及圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程） (十二册数学书21-22页)（1）圆柱的侧面绽开后一般得到一个长方形。（2）长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。（3）因为：长方形面积=长宽，所以：圆柱侧面积=底面周长高。（4
25、）圆柱的侧面绽开后还可能得到一个正方形。正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进展推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它及圆柱体有关局部之间的关系？图(十二册数学书25页)（1）把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。（2）长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。（3）因为：长方体体积=底面积高，所以：圆柱体积=底面积高。即：V=Sh。【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？（1）找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。（2）将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发觉三次正好装满，将圆柱里的沙子
26、倒入圆锥中，发觉三次正好倒完。（3）通过试验发觉：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。10、立体图形的棱长总和、外表积、体积计算公式： 长方体棱长总和=（长宽高）4长方体外表积=（长宽长高宽高）2长方体体积=长宽高正方体棱长总和=棱长12正方体外表积=棱长棱长6正方体体积=棱长棱长棱长圆柱侧面积=底面周长高圆柱外表积=侧面积底面积2圆柱体积=底面积高圆锥体积：V=1/3Sh二、图形及变换1、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转一样的角度。2、不变更图形的形态，只
27、变更它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长及宽，三角形的底及高等同时按一样比例放大或缩小。3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后可以完全重合，而不是完全一样。（三）图形及位置1、当我们处在实际生活及情景中，面对教短间隔 时，通常用上、下、前、后来描绘详细位置。2、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东来描绘方向。再结合所示比例尺计算出详细间隔 ，把方向及间隔 结合起来确定位置。第三单元、统计及可能性（一）统计1、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进展数据的搜集和整理。2、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。3、条形统计图的特点：从图
28、中能清晰地看出各种数量的多少，便于比拟。4、折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还可以清晰地表示出数量增减变更的状况。5、扇形统计图的特点：表示各局部和总数之间，以及局部及局部之间的关系。6、中位数、众数、平均数名称意义计算方法中位数一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。中间的一个数或中间两个数的和2众数一组数中出现次数最多的数。出现次数最多的数平均数反映一组数的总体程度的数据。平均数=总数份数（二）可能性事务状态生活情景数学情景肯定会发生太阳从东方升起从5个红球中摸出一个红球肯定不会发生鸭子会讲话从5个红球中摸出一个白球可能发生今日会下雨从5个红球，1个白球中摸出一个白球2、在可能性一样的状况下，竞赛嬉戏规则是公允的。