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1、苏州市2018届高三调研测试 数学试题 20181注 意 事 项考生在答题前请仔细阅读本留意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试完毕后，请将答题卡交回2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3. 请在答题卡上根据依次在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必需用0.5毫米黑色墨水的签字笔请留意字体工整，笔迹清晰4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不
2、准运用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔参考公式：球的外表积公式S=4r2，其中r为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分不须要写出解答过程，请把答案干脆填在答题卡相应位置上1已知i为虚数单位，复数的模为 2已知集合，且，则正整数 3在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为 4苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台马上能乘上车的概率为 5已知，则正实数 v1，in1vvx+iii1输出vNY开场完毕输入n,xi0（第6题图）6秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶
3、算法，至今仍是比拟先进的算法右边的流程图是秦九韶算法的一个实例若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为 7已知变量x，y满意则的最大值为 8已知等比数列的前n项与为，且，则的值为 9鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯构造，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的外表积至少为 （容器壁的厚度忽视不计，结果保存）（第9题图）DCBA（第10题图）10如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m与15m，从建筑物AB的顶部A
4、看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB与CD的底部之间的间隔 m 11在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆与直线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = -2x 上，则圆C的标准方程为 12已知正实数a，b，c满意，则的取值范围是 PFECBA（第13题图）13如图，ABC为等腰三角形，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧上的一点，则的取值范围是 14已知直线ya分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知函数（1）求
5、函数的最小值，并写出获得最小值时自变量x的取值集合；（2）若，求函数的单调增区间16（本小题满分14分）A1B1C1D1ABCDEFGH如图，在正方体中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点（1）求证：EF平面ABHG；（2）求证：平面ABHG平面CFED17. （本小题满分14分）BCP东北A如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨马路相连，B，C之间的间隔 为100km，海岛A在城市B的正东方50处从海岛A到城市C，先乘船按北偏西角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸马路P处登陆，再换乘汽车到城市C已知船速为25km/h，车速为75km/h. （
6、1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由18（本小题满分16分）OyxBAM在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的间隔 的最小值为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点的动直线l与椭圆C交于 A，B 两点，试推断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由19. （本小题满分16分）已知各项是正数的数列的前n项与为（1）若（nN*，n2），且求数列的通项公式；若对随意恒成立，务实数的取值范围；（2）数列是公比为q（q0， q1）的等比数列，且an的前n项积为若存在正整数k，对随意nN*，使得为定值，求首项的值2
7、0. （本小题满分16分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，务实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：2018届高三调研测试注 意 事 项考生在答题前请仔细阅读本留意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生运用本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分第22、23题为必答题每小题10分，共40分考试时间30分钟考试完毕后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3. 请
8、在答题卡上根据依次在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必需用0.5毫米黑色墨水的签字笔请留意字体工整，笔迹清晰4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准运用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 数学（附加题） 2018121【选做题】本题包括、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的随意一点，于点D，于点E，于点F. DPFEOCBA求
9、证：.选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，求选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AOB的面积选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a，b，cR，若对一实在数a，b，c恒成立，务实数x的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）PNEDCBAzyx如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角
10、梯形ABPE所在平面于直线AB，且ABBP2，AD=AE=1，AEAB，且AEBP（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由23（本小题满分10分）在正整数集上定义函数，满意，且（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对随意正整数n恒成立，并证明你的结论苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案一、填空题（共70分）122345648789101811121314二、解答题（共90分）15. 解（1）2分4分当，即时，获得最小值0此时，获得最小值时自变量x
11、的取值集合为7分（注：结果不写集合形式扣1分）（2）因为，令，8分解得，10分又，令，令，所以函数在的单调增区间是与14分（注：假如写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分）A1B1C1D1ABCDEFGHP16. 证明：（1）因为E，F是A1D1，B1C1的中点，所以，在正方体中，A1B1AB，（注：缺少A1B1AB扣1分）所以3分又平面ABHG，AB平面ABHG，（注：缺少AB平面ABHG不扣分）所以EF平面ABHG6分（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD 平面BB1C1C，又平面，所以8分设，BCH，所以，因为HBC+PHC=90，所以+PHC=90所以，即11分由，又
12、，DC，CF平面CFED，所以平面CFED又平面ABHG，所以平面ABHG平面CFED14分 （注：缺少平面ABHG，此三分段不给分）17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为，所以，则， 4分（注：AP，BP写对一个给2分）由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，6分所以由A经P到C所用时间与的函数关系为8分函数的定义域为，其中锐角的正切值为. （2）由（1），令，解得，10分设0，使00减函数微小值增函数12分所以，当时函数f()获得最小值，此时BP=17.68 ，答：在BC上选择间隔 B为17.68 处为登陆点，所用时间最少14分（注：结果保存根号，不扣分）18. 解（1）由题意，故
13、，1分又椭圆上动点到一个焦点的间隔 的最小值为，所以，2分解得，所以，4分所以椭圆C的标准方程为.6分（2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为7分当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为，8分联立解得，即两圆过点猜测以AB为直径的圆恒过定点9分对一般状况证明如下：设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,则整理得，所以12分（注：假如不猜测，干脆写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分）因为所以所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为16分19. 解（1）当时，由 则 -得，即，2分当时，由知，即，解得或（舍），所以，即数列为等差数列，且首项，所以数列的
14、通项公式为.5分（注：不验证扣1分）由知，所以，由题意可得对一切恒成立，记，则，所以，8分当时，当时，且，所以当时，获得最大值，所以实数的取值范围为.11分（2）由题意，设（），两边取常用对数，令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，13分若为定值，令，则，即对恒成立，因为，问题等价于将代入，解得.因为，所以，所以，又故.16分20. 解（1）当时，当时，则，令，解得或（舍），所以时， 所以函数在区间上为减函数.2分当时，令，解得，当时，当时，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.4分综上，函数的单调减区间为与，单调增区间为5分（注：将单调减区间为与写出的扣1分）（2）设，则，所以，
15、由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.6分记，则，7分令，因为，所以，故解得，当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处获得最小值.9分要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满意题意的实数a的取值范围为.10分（3）由题意，当时，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件冲突，所以.11分令，解得，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，则介于m，n之间，12分不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，由，可得，故，又在上单调递减，且，所以所以，同理14分即解得，所以.16分2018届高三调研测试数学附加题参考答案21A 选修41 几何证明选
16、讲证明 连PB，PC，因为分别为同弧BP上的圆周角与弦切角，所以.2分因为，所以PDBPFC，故.5分同理，又，所以PFBPEC，故.8分所以，即.10分21B 选修42 矩阵与变换解 矩阵的特征多项式为，2分令，解得，解得属于1的一个特征向量为，属于2的一个特征向量为5分令，即，所以解得7分所以10分21C 选修44 坐标系与参数方程解 由曲线C的极坐标方程是，得2sin2=2cos所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x2分由直线l的参数方程 (t为参数)，得，所以直线l的一般方程为4分将直线l的参数方程代入曲线C的一般方程y2=2x，得，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以，7分因为
17、原点到直线的间隔 ，所以AOB的面积是10分21D 选修45 不等式选讲解 因为a，b，cR，由柯西不等式得，4分因为对一实在数a，b，c恒成立，所以当时，即；当时，不成立；当时，即；综上，实数x的取值范围为10分22. 解（1）因为平面ABCD平面ABEP，平面ABCD平面ABEPAB，BPAB，所以BP平面ABCD，又ABBC，所以直线BA，BP，BC两两垂直， 以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），因为BC平面ABPE，所以为平面ABPE的一个法向量，
18、2分，设平面PCD的一个法向量为，则 即令，则，故，4分设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为，则，明显，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值6分（2）设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于设，7分由（1）知，平面PCD的一个法向量为，所以，即，解得或（舍去）9分当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为10分23. 解（1）因为，整理得，由，代入得，所以2分（2）由，可得3分以下用数学归纳法证明存在实数，使成立 当时，明显成立4分 当时，假设存在，使得成立，5分那么，当时，即当时，存在，使得成立9分由，可知，存在实数，使对随意正整数n恒成立10分