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1、第十四讲等腰三角形中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求等腰三角形理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与断定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与断定解决简洁问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的学问解决有关问题学问点睛等腰三角形1 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3 等腰三角形的性质：(1)两腰相等(2)两底角相等(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称
2、轴线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点间隔 相等断定定理：与线段的两个端点间隔 相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是与线段两个端点间隔 相等的全部点的集合4 等腰三角形的断定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形5 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于6 等边三角形的断定： (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形7 等腰直角三角形的性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等等腰直角三角形的断定：(1)顶
3、角为的等腰三角形(2)底角为的等腰三角形重、难点重点：探究等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”的性质，这两特性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的扶植 难点：等腰三角形关于底与腰，底角与顶角的计算问题，由于等腰三角形底与腰，底角与顶角性质性质特点很简洁混淆，而且他们在用法与探讨上很有探究，只能在练习中加以训练例题精讲板块一、等腰三角形的相识【例 1】 下列两个命题：假如两个角是对顶角，那么这两个角相等；假如一个等腰三角形有一个内角是，那么这个等腰三角形肯定是等边三角形则以下结论正确的是( )A只有命题正确 B只有命题正确C命题、都正确 D命题、都不正确【解析】 C【例 2】 如图
4、，在 中，于请你再添加一个条件，就可以确定是等腰三角形你添加的条件是 【解析】 或平分或【例 3】 (2006年扬州中考)如图，在中，、分别是、上的点，与交于点，给出下列四个条件：；(1)上述四个条件中，哪两个条件可断定是等腰三角形(用序号写出全部状况)；(2)选择第小题中的一种情形，证明是等腰三角形【解析】 (1)，四种状况可断定是等腰三角形(2)下面以两个条件证明是等腰三角形是等腰三角形【例 4】 如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，则是等边三角形；当为多少度时，是等腰三角形？【解析】 分三种状况探讨：要使，需要使，需要使，需综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形【例
5、5】 (2007福建晋江中考)如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的个数有( )平分； 长为；是等腰三角形； 的周长等于的长A 1个； B2个； C3个； D4个【解析】 由图可知，又，的周长又，是等腰三角形故正确【例 6】 如图，分别平分，问：图中有几个等腰三角形？过点作，如图，交于，交于，图中又增加了几个等腰三角形？如图，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段与、有什么关系？如图，平分，平格外角交于，交于线段 与、有什么关系？如图，、为外角、的平分线，交延长线于，交 延长线于，线段与、有什么关系？ 【解析】 图中有两个等腰三角形：、
6、图中又增加了三个等腰三角形：、图中有两个等腰三角形：、，由于，故图所示中仍有两个等腰三角形、从而，又，故如图所示与类似，板块二、等腰三角形的性质【例 7】 (2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为与，则它的周长为( )A或【解析】 【例 8】 已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的倍，则腰长是( ) A B C D【解析】 B【例 9】 (2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为()A或或【解析】 【稳固】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A B C或 D【解析】 当等腰三角形的顶角为钝角时，内
7、角的度数之比为 ，此时顶角为；当顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为故选【例10】 (2007四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的一个底角为( )A B C或 D或【解析】 C【例11】 (2006自贡)从等腰三角形底边上随意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A两腰长的与周长一半周长 一腰长与底边长的与【解析】 A【例12】 (2000年常州市中考题)已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9与12两局部，求腰长与底长【解析】 设这个三角形的腰长为，底长为，则，解得，或，解得，而8，8，5与6，6，9均能组成等腰三角
8、形留意等腰三角形中的分类探讨【稳固】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32与22，求腰长【解析】 设这个三角形的腰长为，底长为，一腰上的中线为，依据题意可得：或，解得或【例13】 (05年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为12，腰长为，求的取值范围【解析】 ，且，解得【例14】 已知等腰三角形的周长为16，三边长为整数，求底边长【解析】 设腰长为，则，则，底边分别为6，4，2【稳固】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长【解析】 设腰长为，且，解得，则腰长为6、7、8、9，对应的底边长为8、6、4、2【例15】 等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数
9、【解析】 (1)若底角是顶角的2倍，设顶角为，则，三角形三内角依次是，(2)若顶角是一底角的2倍，设底角为，则，三角形三内角依次是，【例16】 已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数【解析】 若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为140，20，20；若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为100，40，40；若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为40，70，70【例17】 在中，求【解析】 设，则，在中，可得，【稳固】在中，求【解析】 设，则，在中，解得【例18】 (2000年威海市中考试题)等腰三角形的顶角，假如过它的顶角顶点作始终线可以将它分成两个等腰三角形，求【解析】 由题意，画出
10、图形如图所示，这里，与都是等腰三角形设，则，中，【例19】 的两边与的垂直平分线分别交于、，若，求【解析】 依据题意可得：，则即，解得【例20】 (河南省数学竞赛)如图，在中，在上，在上取一点，使得，求的度数【解析】 由题设，及三角形外角定理，即，有而故，即【例21】 (2001年龙岩市、宁德市中考试题)如图所示，已知中，、为边上的点，且，求证：【解析】 作于，又，考察垂直平分线的性质【例22】 如图，为等边三角形，延长到，又延长到，使，连接，求证：为等腰三角形【解析】 延长到，使得，连接为等边三角形，又为等边三角形 【例23】 如图，在中，为锐角，分别为边、上的点，满意，且求证：【解析】 分
11、析若，则问题迎刃而解干脆证明困难，可考虑反证法解 若，则在上取一点，使，连接交于，连接在与中，故于是有，所以，从而，故从而有但另一方面，由于，知，所以从而冲突故假设不成立若，同法可证假设不成立综上所述，于是由知，从而说明：在某些平面几何问题的证明中，反证法也是常用的方法家庭作业【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4与9，则第三边长为 【解析】 当腰长为9时，三边长为4、9、9；当腰长为4时，三边长为4、4、9 ，不符合三角形的三边关系，故腰长为9【习题2】(1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成与两局部，则这个等腰三角形的底边的长为( )A B C或 D无法确定【解析】 设腰长为，底边长为，此题可分为两类，或，第一类无解；第二类解为，故选【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为，求的取值范围【解析】 ，且，解得【习题4】(2001年江苏中考题)如下图所示，中，在上，求的度数【解析】 设，则，由外角定理得，即，则又，月测备选【备选1】的一个内角的大小是，且，那么的外角的大小是( )A B或 C 或 D 或【解析】 D【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12与15两局部，求腰长与底长【解析】 设这个三角形的腰长为，底长为，则，解得，或，解得，而10，10，7与8，8，9均能组成等腰三角形