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1、专题二 二进制问题学问要点用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示全部整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理本质是一样的。现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，。为了区分十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上
2、2或10即可。任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的乘积的和的形式，如9758（10）=9103+7102+5101+8100（注：100=1）。任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与2的次方数的乘积的和的形式，如110101（2）=125+124+023+122+021+120典例评析例1 将139（10）化成二进制【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=692+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=342+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=1
3、72，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=82+1，即第四位为1；8=42，即第五位为0；4=22，即第六位为0；2=21，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。解 因为说明 十进制数139（10）的下标10，是为了与其它进位制区分开来，同理10001011（2）的下标2是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其余的进制，则下标不行省。特殊提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以2所得的余数写在被除数的后面，始终得到商是1为止。例2 将101101（2）改成十进制数。【分析】我们可
4、以思索一下二进制数101101（2）上各个数位上的1是怎么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上满2才进上去是，这个数可以看做21101，第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应是（11,01），同理得出（22,1），（22,1）得45。对于一个十进制数，假如是7385，可以写成7385=7103+3102+8101+5100。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积，就没必要像上述改写那样费事了。解 101101（2）=125+024+123+122+021+1 =
5、25+23+22+1 =32+8+4+1 =45 说明 对于随意一个二进制数amam-1am-2a2a1(2)改写成十进制数，都有如下的方法：amam-1am-2a2a1(2)=am2m-1+am-12m-2+a221+a120。例3 计算：10110（2）+1010（2）。【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算解 10110（2）+ 1010（2） 100000（2）10110（2）+1010（2）=100000（2）说明 在将一样数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法中满十进一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第2位开场，便连续出现了4次“满二进一”。例4 计算1101
6、101（2）-1011110（2），并要求验算。【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。解 1101101（2） 1011110（2） -1011110（2） 验算 + 1111（2） 1111（2） 1101101（2）说明 在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区分的，十进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法当中，出现不够减时时借一当二。如在本题中，从右往左第2位不够减时向前一位借一当二，得2-1=1，其余数位上则依次类推。为了计算的正确，用减法的逆运算作适当检验。例5 计算：11101（2）11（2）【分析】二进制数的
7、乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要留意两点：（1）1乘任何数仍得原数；（2）0乘任何数都得零。解 11101（2）11（2）=1010111（2） 11101（2） 11（2） 11101（2） 11101（2） 1010111（2）说明 通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要根据二进制数加法的方法计算出结果。例6 计算：1001011（2）1111（2）。【分析】二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法协助除法计算。解 1001011（2）1111（2）=101（2） 稳固练习 1.将下
8、列二进制数化成十进制的数（1） 1101101（2）解：原式126+125+123+122+1 64+32+8+4+1 109（2） 111101101（2） 解：原式128+127+126+125+123+122+1 256+128+64+32+8+4+1 4932.将下列十进制数化成二进制数。（1） 28解：短除法可得：11100（2）（2） 63解：短除法可得：111111（2）3计算（1） 1100110（2）+10011（2）1100110（2） + 10011（2） 1111001（2）（2） 1010011（2）-11011（2）（要求验算）解： 1010011（2） - 110
9、11（2） 111000（2）（3） 101101（2）1101（2）解： 101101（2） 1101（2） 101101 101101 101101 1001001001（2）（4） 11011101(2)1011(2)解： 10100（2） 1011（2）11011101（2） 1011 1011 1011 14. 150粒糖果需至少装在几个盒子，就能保证150以内全部糖果都可以几只盒子凑齐，而不必翻开盒子？此时每只盒子里面多少粒糖果？分析与解：先用1+21+22+23+2n150，找出n最大是多少，然后计算出1+21+22+23+2n的结果。把每一个加数作为一个盒子的糖果数，最终一盒用
10、150减去前面全部盒子中糖果数的和。1+21+22+23+26=127150（粒）150-127=23（粒）150=1+21+22+23+26+23答：这8个盒子，每个盒子中分别是1,2,4,8,16,32,64,23粒即可。5. 一位老大爷带上了1000元钱上街买东西。东西的价格都是整元数，为了保证至少1000元的东西都能马上付钱，他把钱包分成若干包。付钱时只要拿出几包而无需折散也无需找零便行。他应如何包这些钱？解：应分别包成1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元、128元、256元及489元功10包。支付不超过511元时，把钱化为二进制数，易知取前九包中的若干包可按要求支付；超过5
11、11元，可支付489元，再把余钱转化为二进制数再选取若干包支付。6.有1、2、4、8克的砝码各1个，每次从中取3个称重，假如天平的两边都可以放砝码，能称出多少种重量？解：由于每次取3个砝码和天平两边可以同时放，可知：用1、2、4三种砝码，可称出421克，即1、3、5、7克；用1、2、8三种砝码，可称出821克，即5、7、9、11克；用1、4、8三种砝码，可称出841克，即3、5、11、13克；用2、4、8三种砝码，可称出842克，即2、6、10、14克；答：可称出1、2、3、5、6、7、9、10、11、13、14共11种重量。 7. 欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数，两人各出
12、一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发觉一共能得到16个不同的和，那么，两人卡片上所写数中最大最小是多少？（全国第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛总决赛试题）分析与解：因为涉及的4和16是2的次方数，所以想到二进制。两张卡片的和至少是2,16个不同的和中的最大的至少是17。这样考虑不便利，所以假设两张卡片上是非负整数，可以包含0，和是0到15，也就是二进制的0000到1111。那么，明显了，每个人限制其中两位的开关，两个人就能限制全部四位的开关了。为了使得最大的数最小，限制最高位的那个人再限制最低位就行了。一个人限制最高位和最低位：0000,0001，1000,1001；另一个
13、人限制中间两位：0000,0010,0100,0110。最大数最小是1001也就是9，简单发觉8不行。原题要求正整数，所以每个数再加1，答案是108市中心的建立大厦高26.5米，先将一张足够大的厚度匀称且为0.01厘米的纸，进展“对折裁开叠放整齐”算作一次操作，至少要进展多少次这样的操作后，全部纸片叠放的总高度比建立大厦还高？解；26.5米=2650厘米26500.01=265000（层）210282621442614426500021826500018+1=19（次）答：全部纸片叠放的总高度要比建立大厦高，必需超过18次，即至少19次。9. 有一批规格一样的圆棒，每根划分为长度一样的五节，每节用红黄蓝三种颜色来涂，问可以得到多少种着色不同的圆棒。分析与解：用2表示“红”、1表示“黄”、0表示“蓝”，于是一种涂色对应着一个五位数，如“红红黄蓝黄”对应“22101”。由于这种五位数只用三个数码，即为三进制数。这种五位数中最大是22222，而22222（3）=234+233+232+23+2242，再加上“00000”共计243种。但像“22101”与“10122”互为反序数