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1、近世代数的根底学问初等代数, 高等代数和线性代数都称为经典代数 ，它的探讨对象主要是代数方程和线性方程组。近世代数 又称为抽象代数 ，它的探讨对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或假设干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论, 环论和域论等几个方面的理论，其中群论是根底。下面，我们首先简要回忆一下集合, 映射和整数等方面的根底学问，然后介绍本文须要用到的近世代数的相关学问。31 集合, 映射, 二元运算和整数311 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素是集合A的元记作“，反之，“表示“不是集合的元。设有两个集合A和B，假设对A中的随意
2、一个元素记作均有，那么称A是B的子集，记作。假设且，即A和B有完全一样的元素，那么称它们相等，记作。假设，但，那么称A 是B的真子集，或称B真包含A，记作。不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种：一种是干脆列出全部的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：；，其中表示元素具有的性质。本文中常用的集合及记号有：整数集合；非零整数集合；正整数自然数集合；有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。一个集合A的元素个数用表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否那么称为无限集。用表示A是无限集，表示A是有限集。312 映射映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元
3、素之间的关系。定义1 设A，B为两个非空集合，假设存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，那么称f是A到B的一个映射，记作(x)。y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f 的定值域。定义2 设f是A到B的一个映射(1) 假设和均有，那么称f是一个单射。(2) 假设均有使，那么称f是满射。(3) 假设f既是单射又是满射，那么称f是双射。313 二元运算3131 集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。定义3 设A，B是两个非空集合，由A的一个元素和B的一个元素可构成一个有序的元素对，全部这样的元素对构成的集合，称
4、为A与B的笛卡儿积，记作，即。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。定义4 设S是一个非空集合，假设有一个对应规那么f，对S中每一对元素和都规定了一个唯一的元素与之对应，即f是的一个映射，那么此对应规那么就称为S中的一个二元运算，并表示为，其中“表示运算符，假设运算“是通常的加法或乘法，就分别记作或。由定义可见，一个二元运算必需满意：(1) 封闭性：；(2) 唯一性：是唯一确定的。定义5 设S是一个非空集合，假设在S中定义了一种运算或假设干种运算+，等，那么称S是一个代数系统，记作S，或S，+，等。3132 二元关系我们常常须要探讨两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。定义6 设A，
5、B是两个集合，假设规定一种规那么R：使对和对均可确定和是否适合这个规那么，假设适合这个规那么，就说和有二元关系R，记作，否那么就说和没有二元关系R，记作。3123 等价关系和等价类等价关系是集合中一类重要的二元关系。定义7 设是集合A上的一个二元关系，满意以下条件：(1) 对，有； 反身性(2) 对，有 EMBED Equation.3 ； 对称性(3) 对，有和 EMBED Equation.3 。 传递性那么称为A中的一个等价关系。子集即全部与等价的元素的集合，称为所在的一个等价类，称为这个等价类的代表元。例如：设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系如下：，这个二元关系称为模
6、的同余关系，与模同余指和分别用来除所得的余数一样。同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作称为一个同余类或剩余类。314 整数在近世代数中整数是最根本的代数系。这里仅重述有关整数的根本性质和常用概念。3141 整数的运算整数的运算包括加, 减, 乘, 除, 开方, 乘方, 取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个根本的定理：带余除法定理 设，那么存在唯一的整数，满意：。当时，称能被整除，或整除，记作；当时，称不能被整除。只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。算术根本定理 每一个不等于1的正整数可以分解为素数的幂之积：，其中
7、为互不一样的素数，。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式称为整数的标准分解式。3142 最大公因子和最小公倍数设，不全为0，它们的正最大公因子记作，正最小公倍数记作。设，由算术根本定理可将它们表示为：，其中为互不一样的素数，为非负整数，某些可以等于0。令：，那么，且有。最大公因子还有以下重要性质：最大公因子定理 设，不全为0，那么存在使。3143 互素假设，满意，那么称与互素。关于整数间的互素关系有以下性质：(1)，使。(2)且。(3)设，为素数，那么有：或。(4)，。(5)，且。(6) 欧拉函数：设n为正整数，为小于n并与n互素的正整数的个数，小于n并与n互素的正整数的集合记为：。假设n的
8、标准分解式为：，那么。32 群近世代数的探讨对象是代数系，最简洁的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最根本的一个代数系。321 群的根本概念 定义1 设G是一个非空集合，假设在G上定义一个二元运算满意：(1)结合律：对，有。那么称G是一个半群，记作。假设还满意：(2)存在单位元使对，有；(3)对有逆元，使，那么称是一个群。当二元运算“为通常的加法时，称为加法群或加群；当二元运算“为通常的乘法时，称为乘法群或乘群。定义中条件(2)可改为：有一个左单位元或右单位元，使或，对成立。因为由此可推出。定义中条件(3)可改为：对，有一个左逆元或右
9、逆元，使或成立。因为由此可推出。定理1 半群是群的充要条件是：对，方程和在G中均有解。定理2 半群是群的充要条件是左, 右消去律都成立：，。假如半群中含有单位元，那么称为含幺半群。假如群适合交换律：对，有，那么称G为可换群或阿贝尔()群。通常把群的定义概括为四点：封闭性, 结合律, 单位元和逆元。假如一个群G是个有限集，那么称G是有限群，否那么称为无限群。G的元素个数称为群的阶。元素的倍数和幂定义为：，n为正整数，并规定。且有：，当时有。满意的元素称为幂等元，满意的元素称为幂零元。例1：是整数模n的同余类集合，在中定义加法称为模n的加法为。由于同余类的代表元有不同的选择，我们必需验证以上定义的
10、运算结果与代表元的选择无关。设，那么有，所以模的加法是中的一个二元运算。明显，单位元是，的逆元是。所以是群。例2：设，在中定义乘法称为模n的乘法为。对这个运算不仅须要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由，得出并不明显。先证封闭性：因为由和，所以。再证唯一性：设，那么有， 所以模n的乘法是中的一个二元运算。结合律明显满意。单位元是。对，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。综上，对模n的乘法构成群。的阶数为欧拉函数：小于n并与n互素的正整数的个数。322 群的根本性质(1)群中单位元是唯一的证明：设G中有两个单位元和，那么有：，所以单位元是唯一的。在不致混淆的状况下，单位元简
11、记为1。(2)群中每个元素的逆元是唯一的证明：设，有两个逆元和，那么有：，所以的逆元是唯一的。的逆元有以下性质：(1)；(2)假设可逆，那么也可逆，且有；(3) 假设可逆，那么也可逆，且有。323 子群定义2 设S是群G的一个非空子集，假设S对G的运算也构成群，那么称S是G的一个子群，并记作：。当且时，称S是G的真子群，记作。定理3 设S是群G的一个非空子集，那么以下三个命题相互等价：()S是G的子群；()对，有和；()对，有。324 元素的阶定义3 设G是有限群，可以证明肯定存在最小的正整数使： (1)成立，称为的阶或周期，记作o()。假设没有这样的正整数存在，那么称的阶是无限的。由定义3可
12、知，单位元的阶是1。在加群中，式(1)变为： (2)定理4 设G是群，那么：。关于元素的阶还有以下重要结果：(1) 有限群中每一个元素的阶是有限的；(2) 设G是群，假设和，那么；(3) 设G是群，假设除单位元外其它元素都是2阶元，那么G是群。325 循环群和生成群设G是群，令：，因为，有，所以H是G的子群，此子群称为由生成的循环子群，记作，称为它的生成元。假设，那么称G是循环群。循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。定义4 设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称为由S生成的子群，记作，S称为它的生成元集。假如，且任何S的真子集的生成子群均不是G，那么称S是G
13、的微小生成元集。任何一个生成子群都有一个微小生成元集。当时，元素个数最少的生成元集称为最小生成元集。定义5 设G，是一个群，那么称为H的一个左陪集，称为H的一个右陪集。定义6 设G是群，H在G中的左右陪集个数称为H在G中的指数，记作。当G是有限群时，那么子群的阶数与指数也都是有限的，它们有以下关系：定理5拉格朗日() 设G是有限群，那么：这就是说，有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因子。由拉格朗日定理马上可得如下推论：(1) 设G是有限群，那么；(2) 当时，对任何，有；(3) 假设(素数)，那么(阶循环群)，即素数阶群必为循环群。33 环环是有两个二元运算并建立在群的根底上的一个代数系统。定
14、义1 设A是一个非空集合，在A中定义两中二元运算，一种叫加法，记作+，另一种叫乘法，记作。且满意：(1)A，+是一个可换群；(2)A，是一个半群；(3)左, 右安排律成立，对，有：，那么称代数系A，+，是一个环。例：设是整数模n的同余类集合，在中定义加法和乘法分别为模n的加法和乘法：，。在前面我们已经知道是群，是半群。下面我们证明安排律成立：。类似有，所以是环，称为整数模n的同余类或剩余类环。假如环A，+，对乘法也是可交换的，那么称A是可换环。设A，+，是一个环，加群A，+中的单位元通常记作0，称为零元。元素在加群中的逆元记作，称为负元。环中的单位元指乘法半群A，中的单位元，记作1。一个元素的
15、逆元指的是它在乘法半群中的逆元，记作。定义2 设A是一个环，假设，且和，那么称为左零因子，为右零因子。假设一个元素既是左零因子又是右零因子，那么称它为零因子。定义3 设A，+，是环假设，可交换，且无零因子，那么称A是整环。假设A满意：(1)A中至少有两个元0和1即环中有单位元；(2)构成乘法群。那么称A是一个除环。假设A是一个可换的除环，那么称A是域。在前述例子中，当n不是素数时，中有零因子，因而不是整环，但当n是素数时，是域。定理1 是域的充要条件是n是素数。环中无左右零因子的充分必要条件是乘法消去律成立。因此，在整环中，乘法消去律成立。定理2 一个非零的有限的无左右零因子环是除环。推论 有
16、限整环是域。定义4 设和是两个环，假设有一个 到的映射f满意：对任何有：，那么称f是一个到的同态。假如f是单射，那么称f是一个单同态。假如f是满射，那么称f是一个满同态。假如f是双射，那么称f是到一个同构映射，和称为同构。34 域341 素域和域的特征域是环的一种，假如一个环至少含有0和1两个元素，每一个非零元均有逆元，即非零元构成乘法群，那么此环称为除环，可交换的除环为域。在一个除环中，由于非零元素构成群，消去律成立，因而除环中无零因子。同样，域中也无零因子，因而域必需是整环。假如一个域F是个有限集，那么称F是有限域，否那么称为无限域。F的元素个数称为域的阶。定理1 设F是域，那么元素1在(
17、F，+)中的阶数或为某个素数p，或为无穷大。定义1 设F是域，假设元素1在(F，+)中的阶数为素数p，那么称p为域F的特征。假设元素1在(F，+)中的阶数为无穷大，那么称F的特征为0，F的特征记作。关于域有以下的结论：(1)假设0，那么F是无限域。假设F是有限域，那么是某个素数。(2)假设F是特征为p的域，那么：()对任何，有；()对任何(0)，且，那么；()对任何，有，m为随意正整数。(3)，为素数，且不能被整除，那么有：。(4)域F的乘群的任何有限子群都是循环群。342 子域与扩域定义2 设(K，+，)是域，F是K的非空子集，且(K，+，)也是域，那么称F是K的子域，K是F的扩域，记作FK
18、。设S是域F中的一个非空子集，那么包含S的最小子域，称为由S生成的子域，记作。由元素1生成的子域称为素域。343 扩张次数, 代数元和超越元设是域，是的扩域，由于对任何和对任何，有，我们可以把中元素看作向量，那么是向量与在上的线性组合，从而是上的一个向量空间或线性空间，此空间的维数就称为对的扩张次数，记作()。当()有限时，称K是F上的有限扩张，否那么称为无限扩张。扩张次数反映了扩域与子域之间的相对大小，但还没有反映它们的元素在性质上的差异。我们对域中的元素作以下的分类：设K是F的扩域，uK，假设u是F上的一个多项式f(x)的根，那么称u是F上的代数元，否那么称为超越元，多项式f(x)称为u的
19、化零多项式， F上次数最低的首1多项式的根，称为u在F上的最小多项式。设u在F上的最小多项式为m(x)，且m(x)，那么称u是F上的r次代数元。有理数域Q上的代数元称为代数数，Q上的超越元称为超越数。设K是F的扩域，假设K中的每一元素都是F上的代数元，那么称K是F上的代数扩张域，否那么，称K为F上的超越扩张域。344 有限域具有有限个元素的域，称为有限域。一个有限域的特征必定是某个素数p，即，F的素域为，设F对的扩张次数为n，即()，因为F是上的n维线性空间，存在一组基使，所以F中元素个数即F中元素在基下坐标组的个数为：。这就是说，有限域的阶为特征之幂。有限域又称为伽罗瓦域，将阶有限域记作。3
20、45 有限域元素的性质的非零元的集合是一个乘群，具有以下性质：定理2 是一个阶循环群。的生成元又叫本原元。定义3(1)乘群中阶的元素称为域的n次本原元。的n次本原元在上的最小多项式称为上的n次本原多项式。(2)假设是方程的根，但不是任何的根，那么称是r次本原单位根或单位原根。由以上定义可以看出，上的n次本原元就是乘群的生成元，也是次本原单位根即，可以通过本原元把表示的更简洁一些。设是的一个n次本原元，那么又可表示为：。定理3 任何两个元素个数一样的有限域是同构的。两个同构的域，假如不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同起来看作一个域。伽罗瓦域，有两种类型：第一种：包含个元素，
21、p为一个素数，这种域同构于整数模p的同余类域。例如：假设在集合为素数中定义模p加法和模p乘法,那么是域。第二种：包含个元素，p为素数，n为大于或等于2的整数，称为的扩域。可看成一个多项式环，多项式的最高次数为(1)，多项式的系数为的元素，环中的运算为模f(x)的多项式加法和乘法，其中，f(x)为上的任一个n次不行约多项式即f(x)的全部根都不在上，那么这个多项式环就是有限域。例 设Fx是数域F上的多项式环例 构造一个8阶的域。解 因为，那么2，取，由于，故在上不行约，所以上的扩域：就是一个8阶的有限域。有限域还具有以下的性质：(1)假设F是有限域，那么F的特征()是某个素数。(2)假设F是特征
22、为p的域，那么：()对任何，有；()对任何，且，那么；()对任何，有，n为随意正整数。(3)，为素数，且pn，那么有：。(4)域F的乘群的任何有限子群都是循环群。以下给出有限域性质(5)(14)的证明，性质(1)(4)的证明参看文献121315。(5)中含有个本原元，表示欧拉函数，且肯定为偶数。证明 设的标准分解式为29：，式中：为互不一样的素数，。那么： (1)留意到肯定为正偶数，设。因为，所以：假设，那么，所以肯定为2的倍数，即肯定为偶数；假设，那么，所以中至少有一个不为2的素数，即中至少有一个为奇数，所以肯定为2的倍数，即肯定为偶数。综上，肯定为偶数。(1)中含有个本原元，表示欧拉函数。
23、例 对，因为，故，所以具有40个本原元。(6)中含有的本原元最多为个，当且仅当时，本原元的个数到达最大值。证明 因为q为大于或等于2的素数。当2时，中含有一个本原元1。设q为大于2的奇数，那么(1)为偶数。所以与(1)互素的正整数必需为奇数，而小于(1)的奇数个数为，这样小于(1)并与(1)互素的个数肯定小于或等于，即。所以，中含有的本原元个数最多为个。当时，即中含有的本原元到达最大值。假设中含有的本原元到达最大值，即，由此可推出：，且，即。 (7)设为的本原元，那么：。证明 因为为的本原元，所以的阶为(1)，即(1)是使的最小正整数。由，可得。假设，与(1)是使的最小正整数冲突，所以。(8)
24、 设为的本原元，那么：也是的本原元，且。证明 因为为的本原元，所以的各次幂生成的全部非零元素，这些非零元素构成循环群，所以的逆元存在且唯一。又因为的逆元为，所以每个存在且唯一。即的各次幂生成的全部非零元素，所以也是的本原元。因为 (2)所以 (3)(9)设为中的非零元素，那么：。证明 设，为本原元，为随意非零元素，且： (4)得到： (5)(10)设和为的本原元，那么：，且m为奇数。特殊地，假设为的本原元， 为小于(1)并与(1)互素的正整数的集合，那么：的全部本原元可表示为：，即。证明 假设为的本原元，那么：，当 q2时，这与性质(7)是冲突的在中，但这种状况只出现在中。因此，当 q2时，中
25、的一个本原元不能是另一个本原元的偶次幂。即中的一个本原元只能是另一个本原元的奇次幂。即：，且m为奇数。设，且，那么存在，使得，那么：，因为，所以不是本原元。另外，设，且，n是使的最小正整数，那么n等于(1)，即的阶为(1)，所以是本原元。所以的全部本原元可表示为：，即中含有个本原元。(11)有限域中，具有个本原元，其中，为欧拉函数，为正整数。全部个本原元可分为两组，设为和，每组个元素，这两组的元素之间可用某个幂指数n(1n1)，且(1)=1)来联系，即：。假设幂指数n变更值，那么组与组对应的元素对会发生变更，但每组的元素个数不变，都为。证明 设为的本原元，为小于(1)并与(1)互素的正整数的集
26、合，由有限域性质(10)可知，的全部本原元可表示为：。设，由，可得：，所以为本原元。设，那么：，即：。以上证明说明，有限域中任一本原元的n次幂为本原元，任一本原元肯定是某个本原元的n次幂。假设，那么和称为一对本原元。这样的是不是存在呢？由于-1(2)+1(1)=1，所以(21)=1。当2时，n2=(2)2=(1)(3)+1，。事实上，此时和为一对互逆的本原元。除了2外，只要满意，时，就可使得成立。由有限域性质(5)可知，在有限域中，具有个本原元，其中，为欧拉函数，为正整数。由上面探讨可知，当n2(1)+11,2,时，中具有对类似于和这样的本原元对。此外，假设中本原元通过幂指数n能依次形成首尾相
27、连的形式，此时全部本原元也可分为两组，每组个元素，两组的元素可用幂指数n来联系。由此可得如下结论：有限域中，全部个本原元可分为两组，设为和，每组个元素，这两组的元素之间可用某个幂指数n(1n1)，且(1)=1)来联系，即：。假设幂指数n变更值，那么组与组对应的元素对会发生变更，但每组的元素个数不变，都为。(12)设21，e为偶数，为的本原元，那么是的本原元，且。证明 因为为的本原元，所以。又，为偶数，所以，由于，所以，即与互素，且，所以由性质(10)可知是的本原元。因为e为偶数，设，那么，所以(13)设和为的本原元，为的随意非零元，假设，那么：证明 设，即：。但，所以。得： (6)即： (7)(14)设为的本原元，a和b为的随意非零元，那么：证明 设，即：。因此： (8)可得： (9)附：定理：五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法即由方程的系数经有限次四那么运算和开方运算求根的方法。这就是定理。