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1、专题一：行列式1、利用行列式性质计算例、设均为3维列向量,记矩阵,假如,那么 .例、：，1计算行列式；2线性方程组有无穷多解，求，并求通解。例、设矩阵,现矩阵满意方程,其中,(1)求证.(2)为何值,方程组有唯一解,求.(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.2、利用矩阵性质计算例、设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满意,那么= .例、设矩阵,矩阵满意,其中为伴随矩阵,是单位矩阵,那么=_ .专题二：矩阵1、逆矩阵例、设,那么= _.例、设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 假设,那么 (A)不行逆,不行逆(B)不行逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不行逆例、设矩阵伴随矩阵且,其中为4阶单位矩阵,求
2、矩阵.例、设均为2阶矩阵,分别为伴随矩阵,假设,那么分块矩阵伴随矩阵为(A)(B) (C)(D)2、初等矩阵例、设是3阶方阵,将第1列与第2列交换得,再把第2列加到第3列得,那么满意可逆矩阵为(A) (B) (C) (D)例、设A为3阶矩阵，把A第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B第二行与第3行得到单位阵E，记，那么A= A B C D 例、设为3阶矩阵,将第2行加到第1行得,再将第1列-1倍加到第2列得,记,那么(A)(B) (C)(D)例、设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，那么 A BC D例、设为阶可逆矩阵,交换第1行与第2行得矩阵分别为伴随矩阵,那么(A)交换第1列与第2列得 (B)
3、交换第1行与第2行得 (C)交换第1列与第2列得 (D)交换第1行与第2行得3、矩阵秩例、,为转置,为转置.证明:(1).(2)假设线性相关,那么.例、设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，那么矩阵秩为_。例、设矩阵,那么秩为_.例、设为型矩阵为型矩阵,假设那么(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩专题三：线性方程组1、解断定定理例、方程组无解,那么= _.例、设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.例、四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.假设,求线性方程组通解.例、3阶矩阵第一行是不全为零,矩阵(为常数),且,求线性方程组通解.2、根底解系例、设有齐次线性方
4、程组和,其中均为矩阵,现有4个命题: 假设解均是解,那么秩秩 假设秩秩,那么解均是解 假设与同解,那么秩秩 假设秩秩, 那么与同解以上命题中正确是(A) (B)(C) (D)例、非齐次线性方程组有3个线性无关解,(1)证明方程组系数矩阵秩.(2)求值及方程组通解.例、设线性方程组存在两个不同解.(1)求(2)求方程组通解.例、设线性方程组与方程有公共解,求值及全部公共解.例、设为线性方程组一个根底解系,其中为实常数,试问满意什么条件时也为一个根底解系例、设是4阶矩阵，为A伴随矩阵。假设是一个根底解系，那么根底解系可为 A B C D 3、应用数学一数学二例、平面上三条不同直线方程分别为 , ,
5、 .试证这三条直线交于一点充分必要条件为例、设有三张不同平面,其方程为()它们所组成线性方程组系数矩阵与增广矩阵秩都为2,那么这三张平面可能位置关系为专题四：向量1、线性表示例、设是3维向量空间一组基,那么由基到基过渡矩阵为(A)(B) (C)(D)例、设向量组，不能由向量组，线性表示；（1） 求值；（2） 将用线性表示2、线性相关性例、设其中为随意常数，那么以下向量组线性相关是 A BC D例、设维列向量组线性无关,那么维列向量组线性无关充分必要条件为(A)向量组可由向量组线性表示 (B)向量组可由向量组线性表示(C)向量组与向量组等价 (D)矩阵与矩阵等价例、设向量组I:可由向量组II:线
6、性表示,那么(A)当时,向量组II必线性相关 (B)当时,向量组II必线性相关(C)当时,向量组I必线性相关 (D)当时,向量组I必线性相关例、设为满意随意两个非零矩阵,那么必有(A)列向量组线性相关行向量组线性相关(B)列向量组线性相关列向量组线性相关 (C)行向量组线性相关行向量组线性相关(D)行向量组线性相关列向量组线性相关例、设均为维列向量,是矩阵,以下选项正确是(A)假设线性相关,那么线性相关(B)假设线性相关,那么线性无关(C)假设线性无关,那么线性相关(D)假设线性无关,那么线性无关.3、极大无关组例、设假设由形成向量空间维数是2,那么= .例、从基到基过渡矩阵为 .4、综合运用
7、例、设,(1)求满意.全部向量,.(2)对(1)中随意向量,证明无关.专题五：特征值特征向量1、特征值特征向量定义与性质例、设为2阶矩阵,为线性无关2维列向量,那么非零特征值为.例、假设3维列向量满意,其中为转置,那么矩阵非零特征值为 .例、设是矩阵两个不同特征值,对应特征向量分别为,那么,线性无关充分必要条件是(A) (B) (C) (D)2、相像对角化例、设矩阵特征方程有一个二重根,求值,并探讨是否可相像对角化.例、设为4阶对称矩阵,且假设秩为3,那么相像于(A)(B) (C)(D)例、设,那么与(A)合同且相像 (B)合同但不相像(C)不合同但相像 (D)不合同且不相像例、设矩阵,那么与
8、(A)合同,且相像 (B)合同,但不相像(C)不合同,但相像 (D)既不合同,也不相像例、设为同阶方阵,(1)假设相像,证明特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵例子说明(1)逆命题不成立.(3)当为实对称矩阵时,证明(1)逆命题成立.3、对称矩阵对角化例、设矩阵,求特征值与特征向量,其中为伴随矩阵,为3阶单位矩阵.例、设3阶实对称矩阵各行元素之和均为3,向量是线性方程组两个解.(1)求特征值与特征向量.(2)求正交矩阵和对角矩阵,使得.例、A为3阶实对称矩阵，A秩为2，且求1A特征值与特征向量 2 矩阵A例、设3阶实对称矩阵特征向量值是属于特征值一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(1)验证是
9、矩阵特征向量,并求全部特征值与特征向量.(2)求矩阵.例、三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满意.(1)记求使.(2)计算行列式.4、应用例、某适应性消费线每年1月份进展娴熟工与非娴熟工人数统计,然后将娴熟工支援其他消费部门,其缺额由招收新非娴熟工补齐.新、老非娴熟工经过培训及理论至年终考核有成为娴熟工.设第年1月份统计娴熟工与非娴熟工所占百分比分别为和记成向量(1)求与关系式并写成矩阵形式:(2)验证是两个线性无关特征向量,并求出相应特征值.(3)当时,求例、设为3阶实对称矩阵,假如二次曲面方程在正交变换下标准方程图形如图,那么正特征值个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3专题六：二次型实二次型经正交变换可化为标准型,那么=_.二次型秩为2.(1)求值；(2)求正交变换,把化成标准形.(3)求方程=0解.设二次型.(1)求二次型矩阵全部特征值;(2)假设二次型标准形为,求值.设二次型在正交变换下标准形为且第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.三阶矩阵，为矩阵转置，且二次型。1求2求二次型对应二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。