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1、排列组合典型题大全一可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复的元素看作“店，那么通过“住店法可顺当解题，在这类问题运用住店处理的策略中，关键是在正确推断哪个底数，哪个是指数【例1】 1有4名学生报名参与数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？2有4名学生参与争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？3将3封不同的信投入4个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？【解析】：12 3【例2】 把6名实习生支配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生支配到车间有7种
2、不同方案，第二步：将第二名实习生支配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 A、 B、 C、 D、【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店，3项冠军看作3个“客，他们都可能住进随意一家“店，每个“客有8种可能，因此共有种不同的结果。所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最终有多少种状况？3、4个同学参与3项不同的竞赛1每位同学必需参与一项竞赛，有多少种不同的结果？2每项竞赛只许一名同学参与，
3、有多少种不同的结果？4、5名学生报名参与4项竞赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项竞赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、全国II 文5位同学报名参与两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,那么不同的报名方法共(A)10种(B)20种(C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参与并负责两个课外活动小组，每个爱好小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，那么不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习老师被支配到3个班级，不同的分法有多少种？思索：4名不同科目的实习老师被支配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二相邻
4、问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】五人并排站成一排，假设必需相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把视为一人，且固定在的右边，那么此题相当于4人的全排列，种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进展排列，同时对相邻元素内部进展自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将须要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要留意合并元素内部也必需排列.
5、【例2】2021四川卷理3位男生与3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 种其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288 例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必需排在一起的不同排法有 C 种。A720 B360 C240 D120三相离问题插空法 ：元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位与两端.【例1】七人并排站成一行，假设甲乙两个
6、必需不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的依次，有 种不同的插法详细数字作答【解析】： 或分类【例3】 高三一班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目与1个曲艺节目的演出依次，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为3600【例4】 某工程队有6项工程须要单独完成，其中工程乙必需在工程甲完成后才能进展，工程丙必需在工程乙完成后才能进展，又工程丁必需在工程丙完成后立即进展。那么支配这6项工程的不同排法种数是 【解析】：
7、依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有20种不同排法。【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最终确定添加3个与“抗冰救灾有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最终一个，并且已经排好的10个节目的相对依次不变，那么该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】： 【例6】.公路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满意条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满意条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，假设
8、能转化为熟识的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题简洁解决.【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？【解析】： 解法1、先将3个人各带一把椅子进展全排列有A，*，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两边都空位的排法有=24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车须要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，那么在每2辆之间
9、及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法. 注：题中*表示元素，表示空.例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,那么节目的出场依次有多少种？解:分两步进展第一步排2个相声与3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同依次共有 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进展排队再把不相邻元素插入中间与两端四元素分析法位置分析法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例1】 2021年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小
10、王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张与小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】：方法一： 从后两项工作动身，实行位置分析法。 方法二：分两类：假设小张或小赵入选，那么有选法；假设小张、小赵都入选，那么有选法，共有选法36种，选A.【例2】 1名老师与4名获奖同学排成一排照相纪念，假设老师不站两端那么有不同的排法有多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不
11、排在末位的排法有多少种？【解析】 法一： 法二： 法三：五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】1 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种2把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为AB CD 38个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：1前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选. 2答案：C3看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的
12、四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特别元素有种,再排后4个位置上的特别元素丙有种,其余的5人在5个位置上随意排列有种,那么共有种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段探讨. 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现支配2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之
13、分，所以固定一人并从今位置把圆形展成直线其余7人共有8-1！种排法即！ 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120五定序问题缩倍法等几率法：在排列问题中限制某几个元素必需保持确定的依次，可用缩小倍数的方法.【例1】.五人并排站成一排，假设必需站在的右边可以不相邻那么不同的排法种数是 【解析】：在的右边与在的左边排法数一样，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的依次，有多少种不同的插法？【解析】：法一： 法二：【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，假设A、B、C必需按A在前，B居中，C在后的原那么A、
14、B、C允许不相邻，有多少种不同的排法？ 【解析】：法一： 法二： 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人依次确定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素依次确定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进展排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,那么共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，那么共有种方法。 思索:可以先让甲乙丙就坐吗 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从
15、左至右身高渐渐增加，共有多少排法？ 六标号排位问题不配对问题 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此接着下去，依次即可完成.【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不一样的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只
16、有两个的编号与座位号一样的坐法是 A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么4张贺年卡不同的支配方式共有( ) A6种B9种C11种D23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，那么乙的取法可分两类：1乙取a，那么接下来丙、丁取法都是唯一的，2乙取c或d2种方式，不管哪一种状况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。依据加法原理与乘法原理，一共有种支配方式。 应选B【例4】：五个人排成一列，重新站队
17、时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )A60种B44种C36种D24种 答案：B 4*2+4*3*3六不同元素的支配问题先分堆再支配：留意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按以下支配方式支配，问共有多少种不同的支配方式？（1） 分成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3） 分成每组都是2本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5） 分给5人每人至少1本。【解析】：1 2 3 4 5【例2】将4名高校生支配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的支配方案有 种用数字作答【解析】：第一步将4名高校
18、生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组支配到3个乡镇，其分法有所以满意条件得支配的方案有说明：支配的元素多于对象且每一对象都有元素支配时常用先分组再支配.【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有 A150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 【解析】：人数支配上有1,2,2与1,1,3两种方式，假设是1,2,2，那么有60种，假设是1,1,3，那么有90种，所以共有150种，选A【例4】 将9个含甲、乙平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为 A70B140C280D840 答案： A 【例5】 将5名
19、实习老师支配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，那么不同的支配方案有 A种B种 C种D种【解析】：将5名实习老师支配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么将5名老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的支配方案，选B.【例6】 某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程,且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有 种 A16种 B36种 C42种 D60种【解析】：按条件工程可支配为与的构造， 应选D；【例7】15本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、12
20、0种 D、96种 答案：.212名同学分别到三个不同的路口进展车流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的支配方案有多少种？答案：【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人担当，乙丙各需一人担当，从10人中选出4人担当这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种【解析】：先从10人中选出2人担当甲项任务，再从剩下的8人中选1人担当乙项任务，第三步从另外的7人中选1人担当丙项任务，不同的选法共有种，选.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参与中国西部经济开发建立，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】：
21、因为甲乙有限制条件，所以依据是否含有甲乙来分类，有以下四种状况：假设甲乙都不参与，那么有派遣方案种；假设甲参与而乙不参与，先支配甲有3种方法，然后支配其余学生有方法，所以共有；假设乙参与而甲不参与同理也有种；假设甲乙都参与，那么先支配甲乙，有7种方法，然后再支配其余8人到另两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种或者：8*8*A82+1*9*A 82【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.1、有6本不同的书(1)平均分成三份有多少
22、种不同的分法？(2)平均支配给三个人有多少种不同的分法？(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的分法？(4)支配给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？(5)分成三份，两分各1本，一份4本，有多少种不同的分法？(6)支配给三个人，两个人各1本，另外一个人4本，有多少种不同的分法？2、30名同学分成3个小组，每组10人，共有多少种不同的分组方法？3、有15本不同的小说、送给5名学生，每人3本，共有多少种不同的分送方法？4、三校联考4名不同科目的实习老师被支配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有 A144种B72种C36种D24种5、重庆理将4名高校生支
23、配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的支配方案有 6、宁夏 理某校支配5个班到4个工厂进展社会理论，每个班去一个工厂，每个工厂至少支配一个班，不同的支配方法共有种用数字作答7、 全国II5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有( )A150种B180种C200种D280种8、西宁模拟 理3名乒乓国手参与“渴望工程献爱心活动，他们打算赞助7名失学儿童，其中把他们分成1人，3人，3人三组后，再分给3名国手，那么这样的方案有_种。9、包头模拟 理将4名曾参与过奥运会的运发动支配到三个城市进展奥运学问宣扬，每个城市至少支配一名运发动，那么不同的支配方法有
24、36487224 10、陕西 理支配3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，那么不同的支配方案共有 种.用数字作答11、贵阳模拟 理3本不同的书分给6个人，每个人至多2本，那么不同的支配方案有 _种。用数字做答七一样元素的支配问题隔板法：【例1】：把20个一样的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，那么有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同支配方案？【解析】：1
25、0个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个一样的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种支配方案，故共有不同的支配方案为种.【例3】：将4个一样的白球、5个一样的黑球、6个一样的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、留意到小球都是一样的，我们可以承受隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个一样的白球、5个一样的黑球、6个一样的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、种方法。3、由分步计数原理可得=720种
26、例10.有10个运发动名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种支配方案？ 解：因为10个名额没有差异，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。将n个一样的元素分成m份n，m为正整数,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，全部分法数为练习题：1 10个一样的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2 .求这个方程组的自然数解的组数 八多面手问题 分类法-选定标准 【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中
27、找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？ 十排数问题留意数字“0【例1】1由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A、210种 B、300种 C、464种 D、600种【解析】：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种状况，分别有个，个，合并总计300个,选.2从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其与能被4整除的取法不计依次有多少种？【解析】：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这
28、四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.例2.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位与首位有特别要求,应当优先支配,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最终排其它位置共有 由分步计数原理得十一染色问题：涂色问题的常用方法有：1可依据共用了多少种颜色分类探讨;2依据相对区域是否同色分类探讨;3将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，假设只有5种颜
29、色可供运用，那么不同的染色方法的总数是_.【解析一】满意题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)假设恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。(2)假设恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。(3)假设恰用五种颜色染色，有种染色法综上所知，满意题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】42
30、0.规律小结 涂色问题的常用方法有：1可依据共用了多少种颜色分类探讨;2依据相对区域是否同色分类探讨;3将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。1、用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，那么不同的涂色方法有多少种？2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，假设颜色可以反复运用，共有多少种不同的涂色方法？3、把一个圆分成3块扇形，如今用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不一样，问有多少钟不同的涂法？假设分割成4块扇形呢？4、全国将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复
31、数字，下面是一种填法，那么不同的填写方法共有 A6种B12种C24种D48种5、全国I如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么不同的种法总数为 A96B84C60D486、全国如下图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得运用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的着方法共有多少种？十三 几何中的排列组合问题:【例1】 直线是非零常数与圆有公共点，且公共点的横坐标与纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有： 12 个 其中关于原点对称的有4 条 不满那么条件 切线有 ，其中平行于坐标轴的有14条 不满那么条件 66-4+12-14=60 答案:60第 - 21 - 页