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1、概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事务与其概率（一）一选择题1对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 C （A）不行能事务 （B）必定事务 （C）随机事务 （D）样本领件2下面各组事务中，互为对立事务的有 B （A）抽到的三个产品全是合格品 抽到的三个产品全是废品（B）抽到的三个产品全是合格品 抽到的三个产品中至少有一个废品 （C）抽到的三个产品中合格品不少于2个 抽到的三个产品中废品不多于2个 （D）抽到的三个产品中有2个合格品 抽到的三个产品中有2个废品3下列事务与事务不等价的是 C （A） （B） （C） （D）4甲, 乙两人进行射击，A, B分别
2、表示甲, 乙射中目标，则表示 C（A）二人都没射中 （B）二人都射中 （C）二人没有都射着 （D）至少一个射中5以表示事务“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事务为. D（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲, 乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6设，则表示 A（A） （B）（C） （D）7在事务，中，与至少有一个发生而不发生的事务可表示为 A（A） EMBED Equation.3 ； （B）；（C） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； （D） EMBED Equation.3 EMBED Eq
3、uation.3 .8, 设随机事务满意，则 D （A）互为对立事务 (B) 互不相容 (C) 肯定为不行能事务 (D) 不肯定为不行能事务 二, 填空题1若事务A，B满意，则称A与B 互不相容或互斥 。2“A，B，C三个事务中至少发生二个”此事务可以表示为 。三, 简答题： 1一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试依据下列3种不同的随机试验，写出对应的样本空间： （1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录用球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录用球的结果。答：（1）(1,2),(1,3),(
4、1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)（2）（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(3）(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 2设A, B, C为三个事务，用A, B, C的运算关系表示下列事务。 （1）A, B, C中只有A发生； （2）A不发生，B与C发生； （3）A, B, C中恰有一个发生； （4）A, B, C中恰有二个发生
5、； （5）A, B, C中没有一个发生； （6）A, B, C中全部三个都发生； （7）A, B, C中至少有一个发生； （8）A, B, C中不多于两个发生。答：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事务与其概率（二）一、 选择题：1掷两颗匀称的骰子，事务“点数之与为3”的概率是 B （A） （B） （C） （D）2袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是 B （A） （B） （C） （D）3 已知事务A, B满意，则 B（A） （B） （C） （D）4A, B为两事务，若，则 B（A） （B） （C） （D）5有6本
6、中文书与4本外文书，随意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 D （A） （B） （C） （D）二, 选择题：1设A与B是两事务，则 2设A, B, C两两互不相容，则0.5 解答：3若，则 0.8 。解：4设两两独立的事务A，B，C满意条件，且已知，则1/4 。解：5设，则A, B, C全不发生的概率为 1/2 。解： 6设A与B是两事务，则0.54 。解：三, 计算题： 1罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率； （2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。解
7、：（1）2加工某一零件共需经过4道工序，设第一, 二, 三与四道工序的次品率分别为2%, 3%, 5%与3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解：A,B,C,D分别表示第一, 二, 三四道工序出现次品3袋中人民币五元的2张，二元的3张与一元的5张，从中任取5张，求它们之与大于12元的概率。解：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事务与其概率（三）一、 选择题： 1设A, B为两个事务，且，则下列必成立是 A （A） （D） （C） （D） 2设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球
8、，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)= D 。（A） （B） （C） （D） 3设A, B为两事务，且均大于0，则下列公式错误的是 B （A） （B）（C） （D）4设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 B （A） （B） （C） （D）解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。5设A, B为两个随机事务，且，则必有 C （A） （B）（C） （D）解： 二, 填空题： 1设A, B为两事务，则 1/6 解：2设，则 0.6 解： 3若，则 0.9 解： 4某产品的次品率为2%，且合格品中
9、一等品率为75%。假如任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735 解：A：合格品；C：一等品. 5已知为一完备事务组，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 1/18 解：三, 计算题： 1某种动物由诞生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？解：A: 某种动物由诞生活到10岁.B: 某种动物由诞生活到12岁2某产品由甲, 乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：（1）任取一件产品是正品的概率；（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。解：A：某产品由甲两车
10、间生产。B：任取一件产品是正品。已知：3为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独运用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则依据题意有P(A)=0.92, P(B)=0.93, (1) 两个系统至少一个有效的事务为A+B, 其对立事务为两个系统都失效, 即, 而, 则(2) B失灵条件下A有效的概率为, 则4某酒厂生产一, 二, 三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才
11、能区分品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，推断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任依据平常资料知道甲, 乙, 丙3位专家判定的精确率分别为。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？解：A：这瓶酒是一等品。分别表示甲, 乙, 丙说是一等品。相互独立。已知：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事务与其概率（四）一、 选择题： 1设A，B是两个相互独立的事务，则肯定有 B （A） （B） （C） （D） 2甲, 乙两人各自考上高校的概率分
12、别为0.7，0.8，则两人同时考上高校的概率是 B （A）0.75 （B）0.56 （C）0.50 （D）0.94 3某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 D （A） （B） （C） （D） 4设A，B是两个相互独立的事务，已知，则 C （A） （B） （C） （D） 5若A，B之积为不行能事务，则称A 与B B （A）独立 （B）互不相容 （C）对立 （D）构成完备事务组二, 填空题： 1设与是相互独立的两事务，且，则 0.12 2设事务A，B独立。且，则A，B至少一个发生的概率为 0.82 3设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同
13、时被打开的概率为 4某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率为 ，5件中至多有2件次品的概率 三, 计算题： 1设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为 2某类灯泡运用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在运用1000小时以后最多只坏一个的概率。 解：设A =“灯泡运用寿命在1000个小时以上”， 则 所求的概率为 3甲, 乙, 丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。假如只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；假如2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0
14、.6；假如3人都击飞机，则飞机肯定被击落，求飞机被击落的概率。 解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” 4一质量限制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有肯定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷的确存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为。（1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）；（2）求缺陷在第个过程结束之前被查出的概率；（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）, （2
15、）, （3）都是在缺陷的确存在的前提下探讨的。（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；（5）已知一元件已通过检查，求该元件的确是有缺陷的概率（设）。 解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出” B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查” （1） （2） （3） （4） （5）5设A，B为两个事务，证明A与B独立。 证： 由于 已知 有 即 所以 A与B独立概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事务与其概率（五）一, 选择题： 1对于随意两个事务A与B B （A）若，则A，B肯定独立 （B）
16、若，则A，B有可能独立 （C）若，则A，B肯定独立 （D）若，则A，B肯定不独立 2设，则 D （A）事务A与B互不相容 （B）事务A与B相互对立 （C）事务A与B互不独立 （D）事务A与B相互独立 3设A，B为随意两个事务且，则下列选项必定成立的是 B （A） （B） （C） （D）二, 填空题：1已知A，B为两个事务满意，且，则 2设两两独立的事务A，B，C满意条件，且已知，则 0.25 3假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3 三, 计算题： 1设两个相互独立的事务都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与
17、B发生A不发生的概率相等，求A发生的概率 解：已知 又 而 所以，有 故 2假如一危急状况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善牢靠性。在发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。假如两个这样的开关并联连接，它们每个具有的牢靠性（即在状况发生时闭合的概率），问这时系统的牢靠性（即电路闭合的概率）是多少？假如须要有一个牢靠性至少为的系统，则至少须要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。 解：设一个电路闭合的牢靠性为p，已知 ，所以 设n个开关并联，可使系统牢靠性至少为0.9999 则 即 , 所以 取6个开关并联，可使系统牢靠性至少为
18、0.9999。3将三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其他一字母的概率为。今将字母串之一输入信道，输入的概率分别为，已知输出为，问输入的是的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解： 4一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为，假设产品的优质率为。假如各件产品是否为优质品相互独立。求： （1）计算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，）优质品的概率； （2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。 解： 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量与其分布（一）一选择题： 1设X是离散型随机
19、变量，以下可以作为X的概率分布是 （A） （B） （C） （D） 2设随机变量的分布列为 EMBED Equation.3 为其分布函数，则= （A）0.2 （B）0.4 （C）0.8 （D）1二, 填空题： 1设随机变量X 的概率分布为 ，则a = 2某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为 3设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为 三, 计算题： 1同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之与”求： （1）X的概率分布； （2）； （3） 2产品有一, 二, 三等品与废品四种，其中一, 二, 三等品与废品率分别为6
20、0%，10%，20%与10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。 3已知随机变量X只能取，0，1，2四个值，相应概率依次为，试确定常数c，并计算 4一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律与分布函数。 5设随机变量，若，求概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量与其分布（二）一, 选择题： 1设连续性随机变量X的密度函数为，则下列等式成立的是 A （A） （）（）（）解：（A） 2设连续性随机变量X的密度函数为，则常数 A （A） （B） （C） （D）解： 3设，要使，则 C
21、（A） （B） （C） （D） 4设，则下列等式不成立的是 C （A） （B） （C） （D） 5X听从参数的指数分布，则 C （A） （B） （C） （D）解：二, 填空题： 1设连续性随机变量X的密度函数为，则常数A = 3 解： 2设随机变量，已知，则 0.1 三, 计算题： 1设求与解： 2设随机变量X的密度函数为，且求：（1）常数 （2） （3）的分布函数解： 3设某种电子元件的运用寿命X（单位：h）听从参数的指数分布，现某种仪器运用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求： （1）一个元件时间在200h以上的概率； （2）三个元件中至少有两个运用时间在200h以上的概率。概率论与数
22、理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量与其分布（三） 1已知X的概率辨别为 ，试求： （1）常数a； （2）的概率分布。2设随机变量X在（0，1）听从匀称分布，求： （1）的概率密度； （2）的概率密度。3设，求： （1）的概率密度； （2）的概率密度。4设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量与其分布（一）一, 填空题：1, 设二维随机变量的联合密度函数为，则常数1/6 。2, 设二维随机变量的联合分布函数为，则常数 。二, 计算题： 1在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，
23、考虑两种试验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：试分别就（1），（2）两种状况，写出X与Y的联合分布律。解：1（1）放回抽样 （2）不放回抽样 Y 0 1X 0 15/22 5/331 5/33 1/66 Y 0 1X 0 25/36 5/361 5/36 1/36YX 2设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求（1）， （2）解：（1）， （2） Y 0X 1 1/4 1/4 2 1/6 a 3设随机变量的联合分布律如表： 求：（1）a值； （2）的联合分布函数 （3）关于X，Y的边缘分布函数与解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3（2）（3） 0
24、 1-1 0 1/4 1/4 1/6 1/3 XY pip j 5/12 7/12 1/2 1/2 4设随机变量的概率密度为，求： （1）常数k； （2）求； （3）； （4）（1）（2）（3）（4） EMBED Equation.DSMT4 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量与其分布（二）一, 选择题：1, 设随机变量与独立，且，则仍听从正态分布，且有 D （A） (B) (C) (D) 2, 若听从二维匀称分布，则 B （A）随机变量都听从匀称分布 （B）随机变量不肯定听从匀称分布（C）随机变量肯定不听从
25、匀称分布 （D）随机变量听从匀称分布二, 填空题：1, 设二维随机变量的密度函数为，则 。2, 设随机变量同分布，的密度函数为，设与相互独立，且，则 。三, 计算题： 1已知，X与Y独立，确定a，b的值，求出的联合概率分布以与的概率分布。 解：由归一性 所以 由归一性 所以 Y X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539的联合概率分布 由于 的概率分布为：2随机变量与的联合密度函数为，分别求下列概率密度函数：（1）； （2）； （3）。 解：（1） 即 所以 Z的概率密度函数为 或 当时， 当时
26、，所以 Z的概率密度函数为 （2）由于则X与Y相互独立。当时， 当时， 所以 （3） 当时， 当时， 所以 3设与是独立同分布的随机变量，它们都听从匀称分布。试求 （1）的分布函数与概率密度函数； （2）的概率密度函数。解：（1） 当或时， 当时， 当时， 所以， （2）当时，；当时， 当时，； 当时，； 当时， 即 的分布函数为： 所以 的概率密度函数为： 4设X与Y相互独立，其概率密度函数分别为，求：（1）常数A， （2）随机变量的概率密度函数。 解：（1） 由于，所以A = 1 （2） 随机变量的概率密度函数 当时， 当时， EMBED Equation.DSMT4 当时， EMBED
27、Equation.DSMT4 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一）一, 选择题： 1设随机变量X，且存在，则是 B （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数 2设X的概率密度为，则 C （A） （B） （C） （D）1 3设是随机变量，存在，若，则 D （A） （B） （C） （D）二, 填空题： 1设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.5 2设X为正态分布的随机变量，概率密度为，则 9 X 0 1 2 P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 3设随机变量X的概率
28、分布 ，则 116/15 4设随机变量X的密度函数为，则 0 三, 计算题： 1袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求 解：X的可能取值为3，4，52设随机变量X的密度函数为，求解： 3设随机变量，求解： 4设随机变量X的密度函数为，试求下列随机变量的数学期望。（1） （2） （3）解：（1） （2）（3）概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（二）一, 选择题： 1已知，则 B （A）9 （B）6 （C）30 （D）36 2设，则有 D （A） （B） （C） （D） 3设听从参数为的泊松分布，则 D
29、 （A） （B） （C） （D）二, 填空题： 1设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.45 2设随机变量X的密度函数为，则 2 3随机变量X听从区间0，2上的匀称分布，则 1/3 4设正态分布Y的密度函数是，则 1/2 三, 计算题： 1设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：的期望与方差；解： 2设随机变量，试求, , 与 解： = sqrt() EMBED Equation.DSMT4 = 1 所以 EMBED Equation.3 = 0 = 33设随机变量X的分布密度为，已知，求：（
30、1）常数A，B，C的值； （2）方差； （3）随机变量的期望与方差。解：（1）得 得 得 所以 解得概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（三）一, 选择题： 1对随意两个随机变量与，若，则 C （A） （B） （C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立 2由即可断定 A （A）X与Y不相关 （B） （C）X与Y相互独立 （D）相关系数二, 填空题： 1设维随机变量听从，则 13 2设与独立，且，则 27 三, 计算题：010.1250.1250.12500.12500.125101250.1250.1251 已知二维随机变量的分布律如表：试验证与不相关，但与Y不独立。解：X的分布律为: X 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y的分布律为: X 0 1 P 0.375 0.25 0.375 = 0 所以与不相关。 所以X与Y不相互独立。 2设，求：解： EMBED Equation.DSMT4 3设，且X，Y相互独立，求：解：， ，4设X，Y相互独立，其密度函数分别为，求解：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理一, 选择题： 1设是n次重复试验中事务A出现的次数，p是事务A在每次试验中出现的概率，则对随意的均有