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1、第1章 组合数学根底1. 排列组合的根本计数问题2. 多项式系数的计算及其组合意义3. 排列组合算法1.1 绪 论（一） 背景起源：数学嬉戏幻方问题：给定自然数1, 2, , n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。这样的n阶方阵称为n阶幻方。每一行或列、或对角线之和称为幻方的和简称幻和。例：3阶幻方，幻和(1239)/315。关切的问题 （1） 存在性问题：即n阶幻方是否存在？ （2） 计数问题：假如存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？ （3） 构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。816276357951492438奇数阶幻方的生成方法：一坐上
2、行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入以下幻方：【例】拉丁方36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。问能否把这些军官排成66的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？本问题的答案是否认的。A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6B2 C3 D4 E5 F6 A1 B3 C4 D5 E6 F1 A2C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1
3、 F2 A3 B4D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6【例】计数图形染色用3种颜色红r、黄y、蓝b涂染平面正方形的四个顶点，假设某种染色方案在正方形旋转某个角度后，及另一个方案重合，那么认为这两个方案是一样的。求本质上不同的染色方案。举例：ryybbbrbab形式总数：81种。实际总数见第6章：L24【例】存在性不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必定是由低到高或由高到低排列的见第5章。留意：不变更原来的相对
4、依次。（二） 探讨内容算法分类：l 第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、解方程组、求积分等，其数学根底是高等数学及线性代数解决建模问题，数值分析或称计算方法解决离散化问题，即在计算机上的求解方法问题。l 第二类：组合算法。解决搜寻、排序、组合优化等问题，其数学根底为组合数学。按所探讨问题的类型，探讨内容：l 组合计数理论l 组合设计l 组合矩阵论l 组合优化本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。（三） 探讨方法分类：第一类：从组合学根本概念、根本原理动身解题的所谓常规方法利用容斥原理、二项式定理、Plya 定理解计数问题；解递推关系的特征根方法、母函数方法；解存在性
5、问题的抽屉原理等。第二类：通常及问题所涉及的组合学概念无关，而对多种问题均可运用。例如：（1） 数学归纳法：前提是问题的结果。（2） 迭代法【例】数列满意关系，求的解析表达式。解干脆迭代即得：1（3） 一一对应技术原理：建立两类事物之间的一一对应关系，把一个较困难的组合计数问题A转化成另一个简洁计数的问题B，从而利用对B的计数运算到达对A的各种不同方案的计数。思路：将未解决问题的形式转化为一种已经解决的问题形式。（4） 殊途同归方法原理：从不同角度探讨计数问题，以建立组合等式。应用：组合恒等式的证明也称组合意义法。（5） 数论方法特殊是利用整数的奇偶性、整除性等数论性质进展分析推理的方法。组合
6、数学用的较多的方法：3及4。【例】有100名选手参与羽毛球竞赛，假如采纳单循环淘汰制，问要产生冠军共须要进展多少场竞赛？解常规思路：502512632199场10000名选手：5000250012506253121采纳一一对应方法：每场竞赛产生一个失败者，且每个失败者只能失败一次场次失败者。反之，要淘汰一个选手，必需恰好经过一场竞赛失败者场次。结论：失败者竞赛场次。应当竞赛99场。一般状况：单循环淘汰制，n个选手，竞赛n1场。【例】设某地的街道将城市分割成矩形方格，某人在其住处的向东7个街道、向北5个街道的大厦处工作见图1.1.3，根据最短途径即只能向东或向北走，他每次上班必需经过某12个街段
7、，问共有多少种不同的上班路途？解1将街道抽象为等长的。 2对应为元素可重复的排列问题：途径蓝色 排列排列 途径红色结论：最短途径7个x和5个y的排列3求解：再对应为元素不重复的排列问题7924一般情形：从0，0点到达m，n点的不同的最短途径数为 1.2 两个根本法那么1. 2. 1 加法法那么（一） 加法法那么l 常规描绘：假如完成一件事情有两个方案，而第一个方案有m种方法，第二个方案有n种方法可以实现。只要选择任何方案中的某一种方法，就可以完成这件事情，并且这些方法两两互不一样。那么完成这件事情共有mn种方法。l 集合描绘：设有限集合A有m个元素，B有n个元素，且A及B不相交，那么A及B的并
8、共有mn个元素。l 概率角度描绘：设事务A有m种产生方式，事务B有n种产生方式，那么事务“A或B有mn种产生方式。当然A及B各自所含的根本事务是互相不同的。（二） 应用【例】某班又男生18人，女生12人，从中选出一名代表参与会议，问共有多少种选法？解1两个选择方案：男生18种选法或女生12种选法。由加法法那么，有181230选法。2设集合：A男生，B女生。该班中的学生要么属于A，要么属于B，且AB，故181230。3事务A选男生18种可能，事务B选女生12种可能。事务“A或B选男生或女生，由加法法那么，有181230种可能。【例】用一个小写英文字母或一个阿拉伯数字给一批机器编号，问总共可能编出
9、多少种号码？解261036个。其中英文字母共有26个，数字09共10个。1. 2. 2 乘法法那么（一） 乘法法那么l 常规描绘：假如完成一件事情须要两个步骤，而第一步有m种方法、第二步有n种方法去实现。那么完成该件事情共有mn种方法。l 集合描绘：设有限集合A有m个元素，B有n个元素，且A及B不相交，记为一有序对。全部有序对构成的集合称为A和B的积集或笛卡儿乘积，记作。那么，共有个元素。l 概率角度描绘：设离散型随机变量X有m个取值，Y有n个取值，那么离散型随机向量X，Y有种可能的取值。（二） 应用【例】仍设某班有男生18人，女生12人，现要求从中分别选出男女生各一名代表全班参与竞赛，问共有
10、多少种选法？解1分两步选择，先选女生12种选法，再选男生18种选法。由乘法法那么，有1218216种选法。2设集合：A男生，B女生。由乘法法那么，AB1812216。3变量X男生18种取值，变量Y女生12种取值。由乘法法那么，随机向量X，Y有1812216种可能的值。【例】给程序模块命名，须要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少种程序命名？解首字符选法：7613种加法法那么。总数： 13991053种数字可重复运用乘法法那么。【例】从A地到B地有条不同的道路，从A地到C地有条不同的道路，从B地到D地有条不同的道路，从C地到D地有条不同的道路，那么，
11、从A地经B或C到达目的地D共有多少种不同的走法 解路途ABD：种走法乘法法那么 路途ACD：种走法乘法法那么总数：种走法加法法那么2334181.3 排列及组合1. 3. 1 相异元素不允许重复的排列数和组合数（一） 计算公式从n个相异元素中不重复地取r个元素的排列数和组合数：1排列： 推导：反复利用加法法那么及乘法法那么2组合： 推导：利用组合及排列的异同3例：n5，r3，即元素为1，2，3，4，5 排列：134，143，314，341，413，431；254，425，组合：134，245，4特点：排列考虑依次，组合不然。（二） 数学模型1排列问题：将r个有区分的球放入n个不同的盒子，每盒不
12、超过一个，那么总的放法数为P(n，r)。2组合问题：将r个无区分的球放入n个不同的盒子，每盒不超过一个，那么总的放法数为C(n，r)。对应关系元素盒子位置球元素和位置编号12345A B C排列1ABC1 3 4排列2CBA4 3 1排列3ACB1 4 3排列4ACB2 5 4排列5BAC4 2 5组合11 3 4组合22 4 51. 3. 2 相异元素允许重复的排列（一） 问题从n个不同元素中允许重复地选r个元素的排列，简称r元重复排列，排列数记为RP(，r)。（二） 模型将r个不一样的球放入n个有区分的盒子，每个盒子中的球数不加限制而且同盒的球不分次序。对应关系元素盒子位置球元素和位置编号
13、12345A B C排列1ABC1 1 4排列2C BA4 3 3排列3A CB3 4 3排列4A B C2 2 2排列5BAC4 2 5（三） 计算公式RP(，r)（四） 集合描绘方式设无穷集合，从S中取r个元素的排列数即为RP(，r)。不重复排列：S。1. 3. 3 不尽相异元素的全排列（一） 问题有限重复排列或部分排列：设，从S中任取r个元素，求其排列数RP(n，r)。（二） 模型将r个有区分的球放入t个不同的盒子，每个盒子的容量有限，其中第i个盒子最多只能放入个球，求安排方案数。例： S21，42，13，34，251，1，2，2，2，2，3，4，4，4，5，5对应关系元素盒子位置球元素
14、和位置编号12345A B C排列1ABC1 1 4排列2B C A4 3 3排列3A CB3 4 3排列4A B C2 2 2排列5BAC4 2 5说明：1极端情形：相异元素不重复的排列强调的是不重复，即盒子的容量为1；2极端情形：相异元素允许重复的排列强调的是无限重复，即盒子的容量无限；3一般情形：不尽相异元素的排列强调的是有限重复，即盒子的容量有限，介于两者之间。（三） 特例11：RP(n, 1)t2n全排列例 及 及3t2，41，即不重复的排列5，即重复排列1. 3. 4 相异元素不允许重复的圆排列（一） 圆排列【例】把n个有标号的珠子排成一个圆圈，共有多少种不同的排法？解称为圆排列相
15、对于线排列。条件：元素同时按同一方向旋转，肯定位置变更，相对位置未变，即元素间的相邻关系未变，视为同一圆排列。结论：1个圆排列对应n个线排列。(n1)!32541 25413 54132 41325 13254【例】从n个相异元素中不重复地取r个围成圆排列，求不同的排列总数CP(n，r)。解 CP(n，r) （二） 项链排列【例】将5个标有不同序号的珠子穿成一环，共有多少种不同的穿法？解称为项链排列。条件：可以翻转的圆排列。即同一项链不用剪断重穿，翻过来仍是原项链。结论：两个圆排列对应一个项链排列，故有24/212种。a b图 项链排列一般情形：从n个相异珠子中取r个的项链排列数： 允许重复的
16、圆排列：状况困难，参见反演公式第四章。1. 3. 5 相异元素允许重复的组合（一） 问题设，从S中允许重复地取r个元素构成组合，称为r可重组合，其组合数记为RC(，r)。（二） 抽象记S为。例：n5，r4： 1111，1122，1345，5555（三） 计算公式设所选r个元素为：1a1a2arn令 ， i1，2，r那么 1b1b 2brn(r1)反之 结论：及从nr1个相异元素中不重复地取r个元素的组合方案一一对应。 例：n5，r4分类重复组合不重复组合元素1，2，3，4，51，2，3，5，6，7，8部分组合11111234112212452245236855555678（四） 模型将r个无区
17、分的球放入n个不同的盒子，每个盒子的球数不受限制。（五） 应用【例】不同的5个字母通过通信线路被传送，每两个相邻字母之间至少插入3个空格，但要求空格的总数必需等于15，问共有多少种不同的传送方式？解三步求解：1先排列5个字母，排列数 P(5，5)5!。2两个字母间各插入3个空格，将12个空格匀称地放入4个间隔内，有1种方案。 b d e a3将余下的3个空格插入4个间隔：分析：将3个一样的球放入4个不同的盒子，盒子的容量不限。方案1： b d e a方案2：b d e a归纳：从4个相异元素中可重复地取3个元素的组合数。4总方案数： L5！12024001. 3. 6 不尽相异元素任取r个的组
18、合问题（一） 问题设集合，从S中任取r个，求其组合数RC(n，r)。（二） 组合数中间工具：组合问题的母函数：答案：RC(n，r)（三） 应用【例】整数360有几个正约数？解1标准素因数分解：360233252正约数及其条件1203050，223050，320350，520305，22223050，6235032，902325，18022325，36023325结论：正整数d是360的正约数d且0a3，0b2，0c1。故14不是约数，16也不是约数。3问题转化：求的全部组合数之和。4求解：构造多项式P6 (x)(1xx2x3)(1xx2)(1x)13x5x26x35x43x5x6系数求和： 1
19、35653124方法化简：求P6(1)432245一般规律：设正整数n分解为，那么习题：18，21小结：课程任务；技巧性。1.4 组合等式及其组合意义组合等式的证明方法：（1） 归纳法（2） 组合意义法：借助于说明等号两端的不同表达式本质上是同一个组合问题的方案数殊途同归法，或者虽是两个不同组合问题的方案数，但二者的组合方案之间存在着一一对应关系，因此等式两端必需相等，从而到达证明等式成立的目的。对于恒等式的本质揭露得更为深入。（3） 母函数法：利用无穷级数包括有限时的多项式证明有关组合等式。是产生和证明组合恒等式的普遍方法。（4） 其它方法：二项式绽开、反演公式等【等式1】对称关系式 组合意
20、义：的r组合nr组合【等式2】加法公式 一组合意义：的r组合，分为两类：（1） 取出的元素中含有：组合数为。（2） 不含元素，组合数为。总数：留意：无第三种情形；两类状况互不重复；用加法法那么。二例：从1，2，3，4，5中取3个的组合状况：第一类包含元素“1： 123，124，125，134，135，145第二类不包含“1： 234，235，245，345三途径问题：等价形式组合意义：从0，0点到m，n点的途径数等于从0，0点分别到m，n1点和m1，n点的途径数之和。 【等式3】乘法公式 等式变形： 组合意义 （1） 左端：“将n个元素分为3堆：第一堆个，第二堆个，那么第三堆为r个，求组合方案
21、数。（2） 右端：“将n个元素分为3堆：第三堆r个，第二堆个，第一堆个，求组合方案数。（3） 两个组合问题等价。举例：n20578785，推广：n个元素分为t堆，且可以假设干堆个数相等n2042592945，【等式4】C(nr1，r) C(nr，r)C(nr1，r1)C(nr2，r2)C(nr3，r3)C(n，0) 或 C(nr1，r) C(nr，n)C(nr1，n)C(nr2，n)C(n，n)一组合意义：二说明：等式2的推广。三相应的途径问题： 【等式5】Vandermonde范德蒙恒等式, rmin(m，n) 组合意义 n个相异的红球，m个相异的蓝球，选r个的组合。分类统计：i个红球，ri
22、个蓝球的选法为。特例：mr， rn【等式6】和式公式：组合意义：n个相异元素选i个的组合两类元素的n可重排列组合排列不不不不不不000000取取取取取取111111取不取不不取101001【等式7】组合意义：等式变形奇组合数偶组合数。启发：存在一一对应关系。例：n4奇组合aabcabdacdbcdbcd偶组合bcbdcdabacadabcd【等式8】组合意义：从n名先生、n名太太中选出n人，其中一人担当主席，且必须为太太，求选法数。选法1：选一名太太任主席；再选n1人。选法总数为。选法2：从n名太太中选k人；从今k人中选一人任主席；再从n名先生中选nk人1kn。选法总数【等式9】设r，M都是自
23、然数，Mr那么有 组合意义概率问题：设袋中有M个大小一样的球，其中白球r个，其余为黑球。每次摸出一个球，不放回，直至摸到白球为止。是必定事务迟早会摸到白球，概率为1。另法：第一次摸到白球概率。第二次摸到白球，第k次才摸到白球k2, 3, , Mr1【等式10】当nm时，组合意义：从n人中选出m名正式代表及假设干名列席代表的选法列席代表人数不限。统计方法一：先选正式代表，再从人中选列席代表，总的选法为。统计方法二：先选mk人k0, 1, , nm ，再从中选出m名正式代表，其余的k人为列席代表，有种选法。总数1.5 多项式系数（一） Newton二项式(1) 二项绽开式Newton二项式定理n是
24、正整数右端称为二项式(ab)n的绽开式，叫做二项式系数。(2) 组合意义安排问题：将n个相异的球放入两个盒子，a盒放入个，b盒放入个，同盒的球不分次序，方案数为即项的系数为组合数。例 (ab)(ab)aaabbabb(ab)(ab)(ab)(aaabbabb)(ab)aaaaababaabbbaababbbabbb产生系数的根源：同一单项式中有依次，即排列问题球不同的安排问题。排列问题：从两种元素中选n个的排列a选r个，b选个（二） 一般安排问题问题：将n个相异的球放入t个盒子，要求第1个盒子放入个，第2个盒子放入个，第t个盒子放入个，且盒中的球无次序，求不同的安排方案数。转化：求n1n2nt
25、n的全排列数RP(n，n)：仿照二项式系数，记为。（三） 多项式系数一般多项式系数及的关系：x3y3z33x2y3xy23x2z6xyzx3 y3 z3x2y xy2x2zxyzx3y3z3x2yxy2x2z 【定理】设n及t均为正整数，那么有其中求和是在使的全部非负整数数列n1,n2,nt上进展。证1全部项都具形式，且2一般项的系数：个因式中选取，得项，其系数为称为多项式系数。（四） 多项式绽开的项数【定理】绽开式的项数等于，而这些项的系数之和为.证绽开式的项从t种元素中取n个的n可重组合。在定理中令1得（五） 例【例】求的绽开式。解n3，t4，有RC(，3)C(431，3)20项33336
26、abc6abd6acd6bcd【例】的绽开式中，项的系数。420【例】在的绽开式中，项的系数是什么？解令，。l 绽开：的系数中的系数l 的系数：36000【例】求证，n1证证明组合等式在二项式中取ax，b1x1【例】今日是星期日，再过天是星期几？解求余数，同余运算等价问题：除以7的余数除以7的余数4mod 7另法：34mod 7（六） 问题请给出多项式的绽开式中和两项的系数答：22680，189/2。1.6 排列的生成算法1. 6. 1 序数法（一） 数的位权表示1十进制数：小于的正整数n的位权形式：n， 0910例 315r32推广p进制数n， 0p3特点：固定进制；逢p进一；十进制r位数最
27、小为0，最大为99991；将十进制换算为p进制数方法：除p取余法。（二） 变进制表示1根据： n!(n1)(n1)!(n1)!递归：n!(n1)(n1)!(n2)(n2)!(n2)!(n1)(n1)!(n2)(n2)!(n3)(n3)!(n3)!(n1)(n1)!(n2)(n2)!22!11!1!n!1n!1(n1)(n1)!(n2)(n2)!22!11!类似 19991019结论：从0到n!1的任何整数m都可唯一地表示为m(n1)!(n2)!2!1!其中 1，2，n1结论： m将十进制转换为变进制：203*3!1*2!0*1!(310)301*4!1*3!0*2!0*1!(1100)1004
28、*4!0*3!2*2!0*1!(4020)200(13110)，8005(143201)2的计算记 an1an2a3a2m2!(m)3!算法：其中表示不大于x的最大整数。 3特点： 变进制； 从右向左，第位逢1进一；n1位数最小为0，最大为：(n1)(n1)!(n2)(n2)!22!11!n!1n!；将十进制换算为变进制数方法。（三） 序数法1规那么设n 个元素为1，2，n。特点：n元排列n1位变进制数。对应规那么：序列排列p，其中ai为排列p中数i1所在位置后面比i1小的数的个数，即排列p中从数i1开始向右统计不大于i的数的个数2实例1排列数：n4 p3124(020)2数排列 (111)
29、p23413数 (7 3 5 2 3 3 2 2 0) 排列 3 5 A 8 6 4 9 7 1 2 数 (987654321) 排列A 9 8 7 6 5 4 3 2 14排列 3, 5, 7, 9, A, 8, 6, 4, 2, 1 数 (5 5 4 4 3 3 2 2 1)3例：4元排列的生成ma3 a2 a1p1 p2 p3 p4ma3 a2 a1p1 p2 p3 p401234567891011000001010011020021100101110111120121123421341324231431243214124321431342234131423241121314151617
30、1819202122232002012102112202213003013103113203211423241314322431341234214123421341324231431243211. 6. 2 字典序法（一） 算法将全部n元排列根据“字典依次排成队。初始排列： 设当前排列为（1） 求满意关系式的k的最大值，设为i，即（2） 求满意关系式的k的最大值，设为j，即（3） 及互换位置得（4） 中部分的元素依次逆转，得新排列。（二） 例1设3421：i2，j2，p1及p2交换得q1 q2 q3 q4 4321，321逆转得下一排列4123 。n4的全部排列：1234 1243 1324
31、1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321说明：第4步的必要性285376421 i4，j6 85476321 8541236785412367 i8，j8 85412376 85412376 i7，j8 85412673 8541263785413726 i8，j8 8541376285413762 i6，j7 85416732 854167231. 6. 3 邻位互换生成算法初始排列：当一个数上方箭头所指的一侧相邻的数比该数小
32、时，称该数处于活动状态初始排列：设当前排列为 （1） 假设排列中无一数处于活动状态，那么停顿，否那么转2；（2） 求全部处于活动状态的数中的最大者，设为k，k和它的箭头所指的一侧的相邻数互换位置，转3;（3） 令比k大的全部数的箭头变更方向，转1。举例n4： 规律：4从一端移到另一端，共进展了3次换位，然后暂停一次，3开始活动。3和4不能动时换2，依次类推。1.7 组合的生成算法【例】从6个元素1, 2, 3, 4, 5, 6中取3个的组合：123 124 125 126 134 135 136 145 146 156 234 235 236 245 246 256 345 346 356 4
33、56规律：低位累加，逐位前移。1设组合c1c2cr满意 c1c2cr那么 crn，cr1n1，c1nr1即 cinri，i1, 2, , r2当cjnrj时，令imax，并令得新组合d1d2dr 。假设每个cj nrj，那么已经到达最终一个组合，生成完毕。算法：初始组合： 当前组合：（1） 假设imax存在，转2，否那么，停顿；（2） cici1;（3） ，ji1, i2, , r。输出，转1。例：n10，r514678 14679 1467A 14689 1468A 1469A 147891.8 应用举例【例】试确定由1，2，3，4，5这五个数字能组成多少个大于43500的五位数？解有限制条
34、件的RP(，5)的问题。分类统计：（1） 万位上数字是5：有15 4个符合要求的数；（2） 万位4，千位4，5：有1253个；（3） 万、位、百位分别为4、3、5：有11152个。总数： 5425352900 个【例】从2，1，0，1，2，3共6个数中不重复地选3个数作为二次函数的系数，使得抛物线的开口方向向下，共可作出多少个二次函数？解不重复排列抛物线开口向下a0。第一步：a从2、1中选一个，有种方法；第二步：在余下的五个数中选b和c，有种方法。函数个数 40个【例】满意的正整数解有多少组？解组合问题方法思路：长度为100的线段被分为4段，每段的长度均为正整数，记为，。例：10，35，40，
35、15，10354015100。 问题转化：在99个空位置上放3个“号，未放“号的线段合成一条线段，求放法总数。首尾和两“之间至少一段。安排模型：将3个一样的球放入99个相异的盒子，每盒最多放一个球。排列组合问题：从99个相异元素中不重复地选3个。156849组方法：安排模型：将100个一样的“1放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个。求不同的放法数。排列组合问题：从4种相异元素中可重复地选100个，每种元素至少选一个。第一步：每个盒子先放一个，共有一种放法。第二步：将余下的96个1放入，有变异一：求非负整数解即。用方法求解： 答：176851用方法求解：将100个一样的球放入4个不同的盒子，每
36、个盒子的容量无限。求不同的放法数。答：176851变异二：求解。，。思想：将问题转化为变异一。原方程 变换 ，转化 答：解数为 166650问题：将原题用变异二的思路求解。【例】把r个相异物体放入n不同的盒子里,每个盒子允许放随意个物体,而且要考虑放入同一盒中的物体的次序,求这种安排方案有多少特点：既不是相异元素的不重复排列，也不是简洁的重复排列。思路：放一个物体增加一个隔板盒子。方案数 n(n1)(n2)(nr1)12345n1n说明：不考虑盒中相异物体的次序，方案数为应用：A、B、C、D、E共5位同学由两个门排队进入教室，每个门每次只能同时进一人，问有多少种进法？答：23456720种前门人数后门人数方法备注0515!1200!5!1414!1201!4!232!3!120323!2!120414!1!120505!0!120假设不考虑次序，总数为32。问题1：设前门宽大，可以同时进2人，那么又有多少种不同的进法？答：有 34567252