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1、第二讲 数数与计数（一）数学须要视察.大数学家欧拉就特殊强调视察对于数学发觉的重要作用，认为“视察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培育同学们的视察实力.在这里请大家记住，视察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.例1 数一数，图21与图22中各有多少黑方块与白方块？解：细致视察图21，可发觉黑方块与白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块与4个白方块，共有8行，所以：黑方块是：48=32（个）白方块是：48=32（个）再细致视察图22，从上往下看：第一行白方块5个，黑方块4个；第二行白方块4个，黑方块5个；第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最终的第九行是
2、白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）再一种方法是：每一行的白方块与黑方块共9个.共有9行，所以，白、黑方块的总数是：99=81（个）.由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.例2 图23所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问须要几块正六边形的砖（图24）才能把它补好？解：细致视察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.假如动手画一画，就会看得更清晰了.例3将8个小立方块组成如图25所示的“丁
3、”字型，再将外表都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？解：如图26所示，看着图，想像涂色状况.当把整个外表都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫相互接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图26所示.（1）3面涂色的小立方体共有1个；（2）4面涂色的小立方体共有4个；（3）5面涂色的小立方体共有3个.例4如图27所示，一个大长方体的外表上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线
4、所示）.在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？解：细致视察图形，并发挥想像力，可知：（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最终检验一下小立体总块数：2+8+8=18（个）. 习题1.如图28所示，数一数，须要多少块砖才能把坏了的墙补好？2.图29所示的墙洞，用1号与2号两种特型砖能补好吗？若能补好，共需几块？3.图210所示为一块地板，它是由1号、2号与3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？4.如图211
5、所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.假如沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块？（2）2面涂成红色的有多少块？（3）1面涂成红色的有多少块？（4）各面都没有涂色的有多少块？（5）切成的小正方体共有多少块？5.图212所示为棱长4寸的正方体木块，将它的外表全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？（2）有2面被染成蓝色的多少块？（3）有1面被染成蓝色的多少块？（4）各面都没有被染色的多少块？（5）锯成的小正方体木块共有多少块？6.图213所示为一个由小正方体堆成的“塔”.假如把它的外外表（包括底面）
6、全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？7.图214中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗？（细致视察，想方法比拟出来）.习题解答1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数（发挥想像力）：共1+2+2+1+2+2=10（块）.假如用铅笔把砖画出来（留意把砖缝对好）就会非常清晰了，如图215所示.2.解：细致视察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也就是共需（如图216所示）1+2=3（块）.3.解：因为图形困难，要特殊细致，最好是有次序地按行分类数，再进展统计：4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角
7、上的4块与最下层四个角上的4块.（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块与中层四角的4块.（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.（5）共切成了333=27（块）.或是如下计算：8+12+6+1=27（块）.5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块；（4）8块；（5）64块.6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图218中有“点”的那些块（留意最下层有2块看不见）.7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比拟长.因为小狗身体的外形是由32条直线段与6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段与8条斜线段组成.